Stabilność liniowych układów dyskretnych

Transkrypt

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Definicja stabilności BIBO (Boundary Input Boundary Output) i stabilność zerowo-wejściowa może
zostać łatwo rozszerzona na liniowe stacjonarne układy sterowania dyskretnego. Problem badania
stabilności układów dyskretnych jest w istocie problemem sprawdzania czy wszystkie pierwiastki
równania charakterystycznego znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego z 1 na płaszczyźnie z.
Kryterium Nyquista, linie pierwiastkowe, wykresy Bodego, które wyprowadzone zostały dla układów
ciągłych mogą również zostać rozszerzone do przypadków badania stabilności układów dyskretnych.
Pewnym wyjątkiem jest tutaj kryterium Routha, które w swojej oryginalnej postaci jest ograniczone
tylko do osi liczb urojonych na płaszczyźnie s jako granicy stabilności, a więc może być stosowane
tylko do układów ciągłych. W celu zastosowania kryterium Routha dla układów dyskretnych
wymagane jest przekształcenie, które dokona transformacji okręgu jednostkowego z płaszczyzny z na
oś liczb urojonych na innej płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
2. STABILNOŚĆ TYPU BIBO
Zakładając, że u(kT) jest sygnałem wejściowym, y(kT) sygnałem wyjściowym oraz g(kT) jest
dyskretną odpowiedzią impulsową liniowego stacjonarnego układu dyskretnego SISO. Mówi się, że
układ z zerowymi warunkami początkowymi jest stabilny w sensie BIBO, lub po prostu stabilny, jeśli
jego wyjściowy sygnał dyskretny y(kT) jest ograniczony na ograniczone wejście u(kT) czyli dla ukłądu
stabilnego w sensie BIBO musi być spełniony warunek
g ( kT )
(1)
k 0
3. STABILNOŚĆ ZEROWO WEJŚCIOWA
Dla stabilności zerowo-wejściowej, dyskretny sygnał wyjściowy układu musi spełniać następujace
warunki:
1. y (kT )
(2)
M
2. lim y (kT )
(3)
0
k
Stabilność zerowo-wejściową określa się jako stabilność asymptotyczną. Można wykazać, że zarówno
stabilność BIBO jaki i stabilność zerowo wejściowa układów dyskretnych wymaga aby pierwiastki
równania charakterystycznego znajdowały się wewnątrz okręgu jednostkowego z 1 na
płaszczyźnie z. Nie ma w tym nic dziwnego, gdyż oś j
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06
M. Tomera
z płaszczyzny s jest przekształcana na
Teoria sterowania
płaszczyznę z na okrąg jednostkowy. Obszary stabilności i niestabilności układów dyskretnych na
płaszczyźnie z pokazane są na rysunku 1.
jIm z
Płaszczyzna
z
Niestabilny
Niestabilny
Okrąg
jednostkowy
1
Re z
Stabilny
1
0
Stabilny
Niestabilny
Niestabilny
Rys. 1. Obszary stabilności i niestabilności dla biegunów układu dyskretnego znajdujących się na płaszczyźnie z.
Zakładając, że z i , (i = 1, 2, ...., n) są pierwiastkami równania charakterystycznego liniowego
stacjonarnego układu dyskretnego SISO, wówczas możliwe warunki stabilności układu zebrane
zostały w tabeli 1.
Tabela 1. Warunki stabilności dyskretnych układów liniowych stacjonarnych.
Warunki stabilności
Wartości pierwiastków
Stabilny asymptotycznie
zi
Na granicy stabilności
zi
1 dla wszystkich i, i = 1, 2,..., n. (Wszystkie pierwiastki znajdują się
wewnątrz okręgu jednostkowego)
1
dla pewnych pojedynczych pierwiastków oraz brak jest
pierwiastków dla których z i 1 dla i = 1, 2,..., n. (Żadnego
pierwiastka wielokrotnego na okręgu jednostkowym i brak
pierwiastków na zewnątrz okręgu jednostkowego)
zi
Niestabilny
1 dla pewnych pierwiastków i, lub z i 1 dla pewnych
pierwiastków wielokrotnych. i = 1, 2,..., n. (Przynajmniej jeden
pojedynczy pierwiastek na zewnątrz okręgu jednostkowego
i przynajmniej jeden pierwiastek wielokrotny na okręgu
jednostkowym.
Poniższy przykład ilustruje zależności pomiędzy biegunami transmitancji układu zamkniętego, które
są pierwiastkami równania charakterystycznego
Przykład 1
Poniższy przykład ilustruje warunki stabilności układu w odniesieniu do biegunów
transmitancji, które są również pierwiastkami równania charakterystycznego, a warunkami
stabilności układu.
G( z)
(z
20 z
0.4)( z 0.6)( z
0.8)
Układ stabilny
M. Tomera
2
Teoria sterowania
G( z)
20( z 3)
( z 1.5)( z 2 1.8 z
G( z)
20( z 1)
z ( z 1)( z 2 0.4)
G( z)
20
z ( z 1) 2 ( z
G( z)
z( z
Układ niestabilny z powodu bieguna z = 1.5
0.8)
Układ na granicy stabilności z powodu bieguna w z 1
Układ niestabilny z powodu bieguna wielokrotnego w
z 1
0.5)
5( z 1.5)
0.5)( z 2 2 z
Układ niestabilny z powodu biegunów w z 1
2)
j
4. KRYTERIUM ROUTHA
Kryterium Routha będzie mogło być stosowane dla układów dyskretnych jeśli znajdzie się
przekształcenie, które dokona transformacji okręgu jednostkowego z płaszczyzny z na oś liczb
urojonych na innej płaszczyźnie zespolonej. Nie można zastosować zależności z = exp(Ts) gdyż
przekształca równanie algebraiczne w funkcji z na niealgebraiczne równanie w funkcji s i kryterium
Routha w dalszym ciągu nie będzie mogło być stosowane, ale poniżej znajdują. Jednakże jest wiele
transformacji biliniowych o postaci
ar b
(4)
z
cr d
gdzie a, b, c, d są stałymi rzeczywistymi, natomiast r jest zmienną zespoloną. Przekształcenie opisane
równaniem (4) będzie przekształcać okręgi z płaszczyzny z na linie proste na płaszczyźnie r. Pewna
taka transformacja, która przekształca obszar wnętrza okręgu jednostkowego z płaszczyzny z na lewą
półpłaszczyznę na płaszczyźnie z ma postać
z
1 r
1 r
(5)
i określana jest mianem transformacji r. Po przekształceniu równania charakterystycznego
określonego na płaszczyźnie z przy użyciu zależności (5) uzyskuje się równanie względem r, które
może być badane przy użyciu kryterium Routha. Transformacja r opisana wzorem (5)
prawdopodobnie jest najprostszą postacią, która może być użyta do ręcznego przekształcania równania
M(z) na równanie w funkcji zmiennej zespolonej r.
Poniższe przykłady ilustrują zastosowanie transformacji r do równania charakterystycznego
określonego na płaszczyźnie z po to aby można było badać te równania przy użyciu kryterium
Routha.
Przykład 2
Przy użyciu kryterium Routha zbadaj stabilność układu dyskretnego opisanego poniższym
równaniem charakterystycznym
z3
5.94 z 2
7.7 z
0.368 0
(2.1)
Rozwiązanie: Podstawiając równanie (5) do równania (2.1) i upraszczając je otrzymuje się
3.128r 3
11.74r 2
2.344 r 14.27 0
(2.2)
Tablica Routha dla równania (2.2)
M. Tomera
3
Teoria sterowania
s3
s2
s1
s0
3.128
2.344
14.27
11.74
6.146
14.27
W pierwszej kolumnie tablicy Routha występują dwie zmiany znaku czyli równanie
charakterystyczne (2.2) ma dwa pierwiastki znajdujące się na zewnątrz okręgu jednostkowego
na płaszczyźnie z. Wyniki te mogą być sprawdzone zarówno na płaszczyźnie z jak i r. Dla
równania (2.1) pierwiastki maja następujące wartości z = 2.0, z = 3.984, z = 0.0461. Trzy
pierwiastki na płaszczyźnie r mają następujące wartości r = 3.0, r = 1.67, z = 0.9117.
Przykład 3
Przy projektowaniu
charakterystyczne
układu
M ( z)
z3
dyskretnego
z2
z
K
uzyskane
zostało
następujące
0
równanie
(3.1)
gdzie K jest stałą rzeczywistą. Problem polega na znalezieniu zakresu K dla którego układ ten
będzie układem stabilnym.
Rozwiązanie: Po pierwsze trzeba przekształcić M(z) na równanie względem r przy użyciu
transformacji biliniowej (5). W efekcie tego uzyskuje się
(1 K )r 3
(1 3K )r 2
3(1 K )r
3
K
0
(3.2)
Tablica Routha dla równania (3.2)
s3
s
2
s1
s0
1 K
1 3K
3(1
3
3K)
K
8K (1 K )
1 3K
3 K
Dla układu stabilnego wszystkie elementy w pierwszej kolumnie tablicy Routha muszą być
dodatnie. Otrzymuje się następujące warunki
1
K>0
1
3K > 0
8K (1 K )
>0
1 3K
3
K>0
(3.3)
Prowadzi to do warunku stabilności
0<K<1
(3.4)
5. METODY BEZPOŚREDNIE BADANIA STABILNOŚCI
W literaturze można również znaleźć metody badania stabilności, które mogą zostać zastosowane
bezpośrednio do równania charakterystycznego zdefiniowanego w funkcji z w odniesieniu do okręgu
jednostkowego na płaszczyźnie z. Jednakże metody te są bardzo kłopotliwe dla równań rzędu
wyższego od drugiego, szczególnie dla równań z nieznanymi parametrami. Nie ma powodu
wykorzystywania tych metod jeśli wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są znane,
gdyż w tym przypadku można skorzystać z programu komputerowego i wyznaczyć dokładne wartości
pierwiastków. Jednakże warto wprowadzić warunki konieczne stabilności, które pozwalają na wstępna
ocenę na podstawie współczynników równania charakterystycznego przy użyciu metody badania
stabilności metodą Jury’ego.
M. Tomera
4
Teoria sterowania
Równanie charakterystyczne liniowego stacjonarnego układu dyskretnego ma postać
M ( z)
an z n
an 1 z n
1
an 2 z n
2
... a1 z
a0
0
(6)
gdzie wszystkie współczynniki są rzeczywiste. Pośród wszystkich warunków wprowadzonych przez
Jury’ego, poniższe warunki konieczne muszą być spełnione przez równanie M(z) aby nie miało
pierwiastków ani na okręgu, ani na zewnątrz okręgu jednostkowego.
M (1) 0
M ( 1) 0
dla n parzystego
M ( 1) 0
dla n nieparzystego
a0
(7)
an
Jeśli równanie o postaci (6) nie spełnia wszystkich powyższych warunków to wówczas nie wszystkie
pierwiastki znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego i układ na pewno nie będzie stabilny.
Poniższe przykłady ilustrują zastosowanie warunków (7).
Przykład 4
Sprawdź poniższe równanie przy wykorzystaniu warunków (7).
M ( z)
z3
z2
0.5 z
0.25 0
(4.1)
Rozwiązanie: Warunki (7) po zastosowaniu do równania (4.1) przyjmują wartości
M (1) 2.75 0
(4.2)
0.75 0 ; dla n = 3 (nieparzyste)
(4.3)
M ( 1)
a0
0.25 a 3
1
(4.4)
Wszystkie warunki (7) są spełnione i dlatego też nic nie da się powiedzieć o stabilności układu.
Przykład 5
M ( z)
z3
z2
0.5 z 1.25 0
(5.1)
Rozwiązanie: Warunki (7) po zastosowaniu do równania (5.1) przyjmują wartości
M (1) 1.75 0
(5.2)
M ( 1) 0.75 0 ; dla n = 3 (nieparzyste)
(5.3)
a0
1.25 powinno być mniejsze od a 3
(5.4)
Ponieważ warunki (5.3) oraz (5.4) według zasady (7) dla równania (5.1) nie są spełnione
dlatego też przynajmniej jeden pierwiastek znajduje się na zewnątrz okręgu jednostkowego.
5.1. Układy drugiego rzędu
Warunki (7) są konieczne i wystarczające kiedy układ jest drugiego rzędu. Dlatego też warunki
konieczne i wystarczające stabilności dla równania drugiego rzędu
M. Tomera
5
Teoria sterowania
M ( z)
a2 z 2
a1 z
a0
(8)
0
po to aby nie miało pierwiastków na zewnątrz koła jednostkowego są następujące
M (z 1) 0
M (z
(9)
1) 0
a0
a2
Przykład 6
M ( z)
z2
z
0.25 0
(6.1)
Warunki (7.15) po zastosowaniu do równania (7.6.1) przyjmują wartości
M (1) 2.75 0
(6.2)
M ( 1) 0.25 0
(6.3)
a0
(6.4)
0.25 a 2
1
Wszystkie warunki (9) są spełnione i dlatego też pierwiastki równania (7.6.1) znajdują się
wewnątrz okręgu jednostkowego i układ jest stabilny.
Przykład 7
Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego pokazany jest na rysunku 7.1. Dla T = 1 [s],
znajdź wartości K dla których układ ten jest stabilny asymptotycznie w chwilach próbkowania.
r(t)
r*(t)
r(t)
K
s(s+1.5)
ZOH
T
y(t)
Rys. 7.1. Schemat blokowy układu dyskretnego.
Rozwiązanie: W pierwszej kolejności należy przekształcić układ z rysunku 7.1 do postaci
dyskretnej. W tym celu należy wyznaczyć zastępczą transmitancję dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji operatorowej obiektu.
Go (z ) = (1 z 1 ) Z
G p (s)
s
=
K (0.3214 z 0.1965)
z 2 1.2231z 0.2231
(7.1)
Na podstawie równania (7.1) uzyskuje się następujące równanie charakterystyczne układu z
rysunku 7.1
M ( z ) z 2 (0.3214 K 1.2231) z (0.1965 K 0.2231) = 0
(7.2)
Ponieważ uzyskane równanie (7.2) jest drugiego rzędu, dlatego też najłatwiej wyznaczyć zakres
dopuszczalnych wartości dla parametru K korzystając z metody bezpośredniej, dla której
warunki opisane są wzorem (9). W tym przypadku uzyskuje się następujące warunki:
M ( z 1) 0.5179 K > 0
M. Tomera
(7.3)
6
Teoria sterowania
M (z
1)
0.1249 K
0.1965 K
2.4463 > 0
0.2231 < 1
(7.4)
(7.5)
Wyznaczając wspólny zakres parametru K spełniający warunki (7.3), (7.4) oraz (7.5) uzyskuje
się zakres stabilności dla strojonego parametru K
0 < K < 3.9531
(7.6)
Ten sam zakres stabilności można uzyskać stosując kryterium Routha po przekształceniu
równania charakterystycznego (7.2) przy użyciu transformacji biliniowej (5), w tym przypadku
uzyskuje się następujące równanie charakterystyczne
M (r ) ( 0.1249 K 2.4463)r 2 ( 0.3930 K 1.5537 ) z 0.5179 K = 0
(7.7)
W tym przypadku tablica Routha zawiera następujące współczynniki
s2
s1
s0
0.1249K + 2.4463
0.3930K + 1.5537
0.5179K
0.5179K
Układ opisany równaniem (7.7) będzie stabilny asymptotycznie jeśli wszystkie elementy
w pierwszej kolumnie tablicy Routha będą większe od zera. Uzyskuje się w ten sposób
następujące warunki
0.1249K + 2.4463 > 0
(7.8)
0.3930K + 1.5537 > 0
(7.9)
0.5179K > 0
(7.10)
Wspólny zakres spełniający powyższe warunki jest identyczny z tym uzyskanym metodą
bezpośrednią i opisany zależnością (7.6). Wyniki uzyskane metodą polegającą na zastosowaniu
kryterium Routha zostały uzyskane przy użyciu następującego kodu programu Matlaba.
clear
% Parametry transmitancji operatorowej obiektu
numC = 1;
denC = conv([1 0],[1 1.5])
sysC = tf( numC, denC)
%sisotool( sysC)
Tp = 1;
% Okres próbkowania
sysD = c2d( sysC, Tp, 'zoh'); % konwersja do postaci dyskretnej
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
b2d = numD(1); b1d = numD(2); b0d = numD(3);
a2d = denD(1); a1d = denD(2); a0d = denD(3);
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(z)
a2z = [b2d a2d]
a1z = [b1d a1d]
a0z = [b0d a0d]
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(r)
a2r = a2z - a1z +a0z
a1r = 2*(a2z - a0z)
a0r = a2z + a1z +a0z
% Wyznaczenie granicznych wartości parametrów dla poszczególnych
% warunków stabilności
a2k = a2r(1); b2k = a2r(2); Kgr2 = -b2k/a2k
M. Tomera
7
Teoria sterowania
Zagadnienia kontrolne
1. Poniższe równanie charakterystyczne układu dyskretnego opisuje układ niestabilny, gdyż
zawiera współczynniki ujemne.
(Tak)
(Nie)
3
2
M ( z) z
z
0.1z 0.5 0
2. Poniższe równanie charakterystyczne układu dyskretnego opisuje układ niestabilny, gdyż jeden
ze współczynników jest równy zero.
(Tak)
(Nie)
2
M ( z) z
0.5 0
3. Bez prowadzenia szczegółowej analizy, łatwo jest sprawdzić, że poniższe równanie
charakterystyczne posiada przynajmniej jeden pierwiastek na zewnątrz okręgu jednostkowego.
(Tak)
(Nie)
2
M ( z) z
0.5 0
Zadania
M.1. Zastosuj transformację r do poniższych równań charakterystycznych układów sterowania
dyskretnego i określ warunki stabilności (asymptotycznie stabilny, na granicy stabilności,
niestabilny) dla tych układów przy użyciu kryterium Routha.
a) z 3
z2
b) z
3
2
c) z
3
1.2 z
d) z
3
2
e) z
3
f) z
3
z
z
2z
z
1.5z 1 0
3z
2
2z 2
3z 1 0
3
2z
2
3z 1 0
3 0
i) z 3
z2
0.5 0
j) z 3
1.5z 2
0.2 0
2z
2z
2
2
g) z 3
1.2 z
h) z
0.5 0
k) z
z 0.5 0
l) z
3
3
3z
0.5 z
1.6 z
2
0.2 0
3z
0.25 0
0.5 0
z
0.4 0
M.2. Dla poniższych przypadków znajdź wartości parametru K dla których układ pokazany na
rysunku M3.1. jest stabilny. Okres próbkowania T = 0.5 [s].
r(t)
r*(t)
r(t)
y(t)
Go(s)
ZOH
T
Rys. M3.1. Schemat blokowy układu dyskretnego.
a) Go ( s)
b) Go ( s)
c) Go ( s)
d) Go ( s)
K
e) Go (s)
( s 1)(s 2)(s 3)
K
s( s
2
f) Go (s)
3s 3)
K
( s 2)(s
2
g) Go (s)
2s 2)
K
h) Go ( s)
2
( s 1) ( s 2)
M. Tomera
K ( s 5)
s( s 1)(s 2)
K ( s 6)
s( s 1)(s 3)
K ( s 8)
s( s 5)(s 6)
K ( s 1)
(s
2
1)(s 4)
8
Teoria sterowania
i) Go ( s)
j) Go ( s)
k) Go ( s)
K ( s 10)
s( s
2
l) G o ( s)
2s 3)
K (s 2
( s 1)(s
2 s 2)
2
2 s 2)
K ( s 2)
( s 1)(s 2
2s 2)
K ( s 1)
( s 2)(s 2
2s 4)
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
M1.
a)
M2.
a)
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A.: Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed.
Addison-Wesley Publishing Company, 1998.
2. Kuo B. C.: Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
M. Tomera
9

Stabilność liniowych układów dyskretnych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Praca domowa 1 - Marek Pietrow

Zadanie Naszkicuj wykres funkcji 3 dla 0 2 5 dla 0 . Na podstawie

Data wydruku: 18.01.2017 06:54 Strona 1 z 2 Nazwa przedmiotu

Test kompetencji dla uczestników warsztatu ”Matematyka w fizyce

Algebra liniowa z geometrią II Zestaw 4 1. Dane są równania dwóch

Czy równianie jest zawsze równe?

Równanie Bellmana dla sterowania optymalnego stochastycznego

Mechanika płynów- pytania i zagadnienia na egzamin. Pytania 1

równania

1. Modelowanie matematyczne w fizyce i chemii