xx prostu

Szczególne przypadki ruchu punktu
Najczęściej wyróżniamy następujące szczególne przypadki ruchu punktu:
•
ruch prostoliniowy (jednostajny lub jednostajnie zmienny, harmoniczny)
•
ruch po okręgu lub elipsie
•
rzut ukośny
•
ruch tłoka mechanizmu korbowo-wodzikowego, i inne
tor (linia prosta)
parabola
y
y
y
okrąg
V0
elipsa
g - przysp.
grawitacyjne
x
x
x
korba
łącznik
ω
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch prostoliniowy
a) jednostajny (a=0)
b) jednostajnie zmienny (a=const, ale ≠ 0; a>0 – przyspieszony, a<0 – opóźniony)
c) ruch harmoniczny
Ruch prostoliniowy - równania ruchu
we współrzędnych kartezjańskich:
x = x(t )
y=0
we współrzędnych naturalnych:
s = s (t )
- linia prosta ( ρ - promień krzywizny)
tor
ρ =∞
z=0
tor
x
t
A
A
y
x = x(t)
z
s = s(t)
n
Prof. Edmund Wittbrodt
Ad. a) ruch jednostajny (a=0)
dv
a=
=0
dt
v = C1
⇒ dv = 0 ⋅ dt
at = &s& = 0
v = s& = v0
⇒ dx = C1 ⋅ dt
x = C1 ⋅ t + C 2
ρ
=0
s = v0 ⋅ t + C
Z warunków początkowych: t = t 0 = 0; x = x0 , v = v0
otrzymujemy: C1 = v 0 , C 2 = x0
x = x0 + v0 ⋅ t ,
Zatem:
an =
s& 2
v = v0 ,
t = t 0 = 0 ; s = s 0 , v = v0
C = s0
s = s0 + v0 ⋅ t ,
a=0
v = v0 ,
a=0
Ad. b) ruch jednostajnie przyspieszony (a=a0=const)
dv
dt
v = a 0 ⋅ t + C1
a = a0 =
x = a0
⇒ dv = a0 ⋅ dt
a = at = a0 = const
⇒ dv = a0 ⋅ dt
⇒ dx = a0 ⋅ t ⋅ dt + C1 ⋅ dt
v = a0 ⋅ t + C1
⇒ dx = a0 ⋅ t ⋅ dt + C1 ⋅ dt
t2
+ C1 ⋅ t + C 2
2
s = a0
Z warunków początkowych: t = t 0 = 0; x = x0 , v = v0
otrzymujemy: C1 = v 0 , C 2 = x0
Zatem:
x = x0 + v0 ⋅ t + a0
2
t
,
2
v = v0 + a0 ⋅ t ,
t2
+ C1 ⋅ t + C 2
2
t = t 0 = 0 ; s = s 0 , v = v0
C = s0
a = a0
s = s0 + v0 ⋅ t + a0
t2
,
2
v = v0 + a0 ⋅ t ,
a = at = a 0
Prof. Edmund Wittbrodt
Ad. c) ruch harmoniczny
=
ω
x
T=
Przykładowo: x = x0 sin(ωt + ϕ )
gdzie: x0 - amplituda
ω - częstotliwość (częstość) kołowa
ϕ - faza
t - czas
2π
ω
x0
t
tϕ =
ϕ
ω
Położenie:
x = x0 sin(ωt + ϕ )
T=
v = x& = x0ω ⋅ cos(ωt + ϕ )
tϕ =
Prędkość:
2π
ω
- okres
ϕ
ω
Przyspieszenie:
a = v& = &x& = − x0ω 2 ⋅ sin(ωt + ϕ )
Z powyższych wzorów widać, że:
a = −ω 2 ⋅ x
- w ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia
(jest to definicja ruchu harmonicznego)
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch tłoka mechanizmu korbowo-wodzikowego
ω = const
A
Zależności geometryczne: x = r ⋅ cos α + l ⋅ cos β
α = ω ⋅t ,
gdzie: ω = const
r
l
=
twierdzenie sinusów
x
sin β sin α
r
sin β = λ ⋅ sin α ,
gdzie: λ =
l
l
O
r
α = ωt
β
B
x
cos β = 1 − sin 2 β = 1 − λ2 sin 2 α
Położenie:
x = r ⋅ cos ωt + l 1 − λ2 sin 2 ωt
Prędkość:
v = x& = − rω sin ωt + l
− 2λ2ω sin ωt ⋅ cos ωt
2 1 − λ2 sin 2 ωt
= − rω sin ωt −
λ2ωl sin 2ωt
2 1 − λ2 sin 2 ωt
Przyspieszenie:
lωλ 2 2ω cos 2ωt ⋅ 2 1 − λ2 sin 2 ωt − lωλ 2 sin 2ωt ⋅ 2
a = &x& = −rω 2 cos ωt −
4(1 − λ2 sin 2 ωt )
− λ2ω 2 sin ωt ⋅ cos ωt
2 1 − λ2 sin 2 ωt
= − rω 2 cos ωt −
4λ2 lω 2 − 4λ4 lω 2 sin 2 ωt + λ4 lω 2 sin 2 2ωt
4 (1 − λ2 sin 2 ωt ) 3
Prof. Edmund Wittbrodt