Ciągi i szeregi funkcyjne

Emilia Domińczyk
Aleksandra Chrzuszcz
Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne
1.Co to jest ciąg funkcyjny? Co to jest szereg funkcyjny? Podać przykłady.
Definicja ciągu funkcyjnego
Niech X c R, X ≠Ø. Funkcję określoną na zbiorze N o wartościach w zbiorze funkcji R
nazywamy ciągiem funkcyjnym i oznaczamy (fn) . Ciąg funkcyjny jest to taki ciąg,
którego wyrazami są funkcje.
Ciągi funkcyjne są oznaczane w następujący sposób:
(fn)
(fn)∞
fn: X → R , n = 1,2, …
(fn)
cR
∞
(fn)
cR
Przykład:
f (x) =
f (x) =
x +
Definicja szeregu funkcyjnego
Niech (fn)∞ c R będzie ciągiem funkcyjnym. Ciąg funkcyjny S = f + · · · + f , n = 1, 2, ...
nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu(fn)∞ .
Szeregiem funkcyjnym nazywamy parę uporządkowana((fn)∞ , (Sn)∞ ) i
oznaczamy ∑∞ fn. Wtedy ciąg (Sn)∞ nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu
∑∞ fn.
Przykład:
∑∞
∑∞
(
x
)
2. Co to jest zbieżność punktowa? Co to jest zbieżność jednostajna? Jak
jest zależność
między tymi zbieżnościami (podać własność i przykład).
Zbieżność punktowa
Mówimy, że ciąg (f ) jest zbieżny punktowo do funkcji f : X -> R na zbiorze X, gdy
∀!"# ∀$%& ∃(∈* ∀+,( | .+ (!) − .(!)| < $
Piszemy: .+ (!) → .(!).
Zbieżność jednostajna
Mówimy, że ciąg (fn) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze X, gdy:
∀$%& ∃(∈* ∀+%( ∀!∈# | .+ (!) − .(!)| < $
Piszemy: .+ (!) ⇉ .(!).
Zależność między tymi zbieżnościami:
Zauważmy, że definicje różnią się jedynie kolejnością kwantyfikatorów. W pierwszej
definicji dobieramy m do x i , a d w drugiej zaś dobieramy m do
Stąd oczywiście implikacja: f (x) ⇉ f(x) ⇒ f (x) → f(x).
dla wszystkich x.
Własności:
•
•
Analogiczne jak dla ciągu liczbowego.
f ⇉ f ⇔ sup ∈6 |f (x) − f(x)| → 0
Definicja
Mówimy, że szereg funkcyjny ∑∞ f (x) , gdzie f : X -> R dla n ϵ N jest zbieżny
jednostajnie, gdy ciąg sum częściowych tego szeregu jest zbieżny jednostajnie.
Definicja
Mówimy, że szereg funkcyjny ∑∞ f (x) , gdzie f : X -> R, n ϵ N jest zbieżny punktowo
do funkcji f: X -> R na zbiorze x, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny punktowo
do f.
Przykład:
f (x) = x dla x ϵ [0,1]
lim f (x) = lim x = ;
→∞
→∞
1,
0,
dlax = 1 ?
dlax ∈ [0,1)
Zatem ciąg { f } jest zbieżny punktowo do funkcji f(x) = ;
1, dlax = 1 ?
0, dlax ∈ [0,1)
Zbadajmy zbieżność jednostajną. Oczywiście (@A ) może być zbieżny
jednostajnie jedynie do funkcji @. Zauważmy, że
BCDE∈[&, ] |@A (G) − @(G)| = 1,
więc ciąg { f } nie jest zbieżny jednostajnie.
3. Sformułować kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej.
Tw. (kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego).
Niech (fn)∞ cR będzie ciągiem funkcyjnym. Jeśli istnieje ciąg liczbowy
(Mn)∞ taki, że dla każdego n ϵ N zachodzi |fn (x)| Mn dla x ϵ X oraz szereg
liczbowy∑∞ Mn jest zbieżny, to szereg ∑∞ fn jest jednostajnie zbieżny.
Przykład:
∑∞
(
)
, x ϵR
Zauważmy, że dla każdego x ϵ R mamy
1
1
1
J = ≤
J
(1
)
(1
)
+n x
n
+n x
n
n
Ponieważ ∑∞
A
jest zbieżny jako harmoniczny rzędu α =2, to na mocy kryterium
Weierstrassa zbieżności jednostajnej szereg ten jest zbieżny jednostajnie.
4. Czy granica ciągu funkcji ciągłych musi być ciągłą. Podać kontrprzykład i
sformułować odpowiednie twierdzenie.
Odp. Nie
Kontrprzykład:
0, LMNG ∈ [0,1)?
fn(x) = G A dla x ϵ [0,1] zbieżny punktowo do funkcji f(x) = ;
1,LMNG = 1
Aby granica ciągu funkcji ciągłych była ciągła trzeba założyć zbieżność jednostajną.
Mamy:
Twierdzenie
E
Jeśli ciąg (@O)∞
A PQ , gdzie X c R, funkcji ciągłych jest zbieżny jednostajnie do
funkcji f: X -> R to f jest funkcją ciągła.
5. Sformułować definicję szeregu potęgowego oraz przedziału zbieżności
szeregu potęgowego.
Definicja szeregu potęgowego.
∞
A
Niech (NA )∞
A & będzie ciagiem liczbowym oraz G& ϵ R. Szereg postaci ∑A & NA (G − G& ) ,
gdzie x ϵ R, nazywamy szeregiem potęgowym o środku G& lub szeregiem Taylora o środku
G& . Przyjmujemy tutaj 0& = 1. Liczby NA , n = 0, 1, ... nazywamy współczynnikami szeregu
potęgowego.
Definicja przedziału zbieżności szeregu potęgowego.
Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego ∑ NA (G − G& )A nazywamy zbiór
R ≔ {GUQ ∶ BWXYXZ ∑ NA (G − G& )A [XB\W]^XżO_}.
Można pokazać, że zbiór R jest rzeczywiście przedziałem.
Jest on bowiem postaci:(G& − Y, G& + Y) albo :(G& − Y, G& + Y] albo :[G& − Y, G& + Y) albo
[G& − Y, G& + Y] albo :(−∞, ∞), gdzie Y > 0 jest pewną liczbą.
6.Sformułować twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Zilustrować je na
przykładzie.
Twierdzenie (Cauchy’ego-Hadamarda)
A
Szereg potęgowy ∑∞
A & NA (G − G& ) jest zbieżny w przedziale otwartym (G& − Y, G& + Y),
gdzie
= M^dA→∞ fe|NA |.
c
Jeśli M^dA→∞ fe|NA | = 0 , przyjmujemy Y = ∞.
Jeśli zaś M^dA→∞ fe|NA | = ∞ , przyjmujemy Y = 0.
Liczbę Y nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
Mamy więc
Y=
k
i
∞,
1
,
M^d e|NA | = 0
A→∞
f
0 < M^d fe|NA | < +∞?
A→∞
M^d e|NA |
jA→∞
i
0, M^d fe|NA | = ∞
h
A→∞
f
Przykład:
f
A
∑∞
A & (G − 5) ma promień zbieżności Y = 1, bolimA→m e|NA | = limA→m
A
f
= 1. Z
twierdzenia Cauchy’ego Hadamarda wynika więc, że szereg jest zbieżny w
przedziale (4,6). Oczywiście dla G = 4 szereg jest zbieżny, ma bowiem postać
A
∑∞
A & A (−1) oraz dla G = 6 jest rozbieżny, stąd przedziałem zbieżności jest
przedział [4,6).
7. Co to jest szereg Taylora? Co to jest szereg Maclaurina? Podać
przykłady.
Szereg Taylora
Niech P będzie przedziałem oraz niech f: P -> R będzie funkcją klasy p ∞ . Niech G& UR.
Szereg potęgowy ∑∞
t
&
qr (Es )
(G
t!
− G& )t nazywamy szeregiem potęgowym lub szeregiem
Taylora funkcji f o środku w punkcie G& .
Definicja rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy
Jeśli funkcja f w pewnym otoczeniu punktu G& UQ jest sumą szeregu potęgowego o
środku G& , postaci
A
∑∞
A & NA (G − G& ) ,
to znaczy szereg postaci ten jest zbieżny punktowo do funkcji @ w pewnym otoczeniu
punktu G& , to mówimy, że funkcja @ rozwija się w otoczeniu punktu G& w szereg potęgowy
lub szereg Taylora. Wtedy szereg ten nazywamy rozwinięciem funkcji @ w szereg
potęgowy w otoczeniu G& lub rozwinięciem Taylora.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja @ rozwija się w pewnym otoczeniu pkt. G& w szereg potęgowy
A
@(G) = ∑∞
A & NA (G − G& ) ,
to rozwinięcie to jest określone jednoznacznie, ponadto
NA = qf (Es )
,
A!
dla O = 0,1, ….
W szczególności rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora jest szeregiem Taylora tej
funkcji.
Twierdzenie (wzór Taylora II)
Niech @ ∶ [N, ]] → Q będzie funkcją klasy p Av posiadającą O −tą pochodną w przedziale
(a,b) oraz niech G& ϵ [a, b]. Wówczas dla każdego x ϵ [a, b] takiego, że x G& istnieje
punkt c leżący miedzy G& i x taki, że
@(G) = ∑Av
t &
q (r) (Es )
t!
(G − G& )t + q (f) (w)
A!
(G − G& )A .
Szereg Maclaurina
Szereg Taylora w punkcie G& = 0 nazywamy szeregiem Maclaurina.
Przykłady rozwinięć
X E = ∑m
A
Ef
,
A!
(v )f
B^OG = ∑m
G A
A
( A )!
(v )f
PxBG = ∑m
G A
A
( A)!
A
@(G) = = ∑∞
A & G dla G ∈ (−1,1) (wzór na sumę szeregu geometrycznego)
vE
A
E
vE
vE
y
@(G) = yEv = G yEv = G v( vyE) = G
= z = ∑∞
z
A & { G| =
v ( v E)
v E
A
f
vE
y
y
∞
A
A
∑∞
A & { | G = − ∑A & f}~ G .
y
Oczywiście powyższe zachodzi dla • G• < 1 czyli dla x ϵ (− ; ).
y y