Zapisz jako PDF

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności
d'Alemberta i Cauchy'ego
Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu
jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie:
są dodatnie, ciąg jego sum częściowych
Stwierdzenie
Szereg o wyrazach dodatnich jest albo zbieżny, albo rozbieżny do
.
CBDO
Twierdzenie (kryterium porównawcze)
Można je wyrażać w różnych wersjach; tu jest jedna z nich
Jeśli dla wszystkich
również szereg
zachodzi
i jeśli szereg
. Przy tym zachodzi
jest zbieżny, to zbieżny jest
Dowód
Oznaczmy sumy częściowe szeregów
i
jako
i
:
Mamy oczywiście
. Mamy też: (przypomnijmy sobie odpowiednie twierdzenia o granicach
ciągów monotonicznych)
Z nierówności tej wnioskujemy, że ciąg sum częściowych szeregu
więc szereg
jest zbieżny. Z drugiej strony, wynika stąd nierówność
jak pamiętamy, dla ciągów było: Jeżeli dla ciągu {
.
CBDO
jest ograniczony, a
} każdego
zachodzi:
. Bo
, to
Przykład
Kryterium powyższe jest ogólne i sukces w jego stosowaniu do jakiegoś szeregu
od tego, czy znajdziemy taki szereg zbieżny
, który szacuje od góry
zależy
.
Pokażemy zbieżność szeregu
Uczynimy to przez porównanie go z szeregiem:
mamy:
czyli granica sum częściowych
szeregu (2) jest:
Na mocy kryterium porównawczego, szereg
.
jest zbieżny[1].
Biorąc do porównywania w kryterium porównawczym szereg geometryczny, otrzymujemy
następujące dwa kryteria.
Twierdzenie (kryterium d'Alemberta)
Szereg
o wyrazach dodatnich, spełniający warunek
jest zbieżny.
Dowód
Weźmy
takie, aby były spełniona nierówności:
. Istnieje więc
mamy
, czyli
. Tak więc szereg
odpowiednio nie większe od składników szeregu geometrycznego
Ten szereg geometryczny jest zbieżny, bo
takie, że dla
ma składniki
.
. Z kryterium porównawczego jest więc zbieżny
szereg
, a co za tym idzie — i szereg
.
CBDO
Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego)
Szereg
o wyrazach dodatnich, spełniający warunek
jest zbieżny.
Dowód
Podobnie jak w kryterium d'Alemberta, istnieje takie i takie , że dla
zachodzi
,a
to jest równoważne nierówności
. Porównując teraz szereg
z szeregiem
geometrycznym
, widzimy, że jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny (tzn.
),
to zbieżny jest również szereg
.
CBDO
Ustaliliśmy więc pewne kryteria zbieżności. Daje się też znaleźć kryteria rozbieżności.
Twierdzenie (Kryteria rozbieżności)
Jeśli dla szeregu
o składnikach dodatnich zachodzi jedna z nierówności
to szereg jest rozbieżny.
Dowód
Jeśli ma miejsce pierwsza z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych
mamy
a to znaczy, że ciąg { } nie jest zbieżny do 0, czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności
szeregu — tak więc szereg
jest rozbieżny.
Jeśli natomiast spełniona jest druga z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych
i znowu ciąg {
} nie jest zbieżny do 0. CBDO
mamy
Przykład
Szereg:
dla
jest zbieżny.
Dowód
Mamy:
Z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg (6) jest zbieżny.
Przykład
Kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu harmonicznego ani szeregu (2), bo
w obu przypadkach.
Szeregi bezwzględnie zbieżne
Def. Szereg
nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg
jest
zbieżny. Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo
zbieżnym.
Twierdzenie
Jeśli szereg
jest zbieżny bezwzględnie, to jest też zbieżny w zwykłym sensie. Ponadto
Dowód
Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności szeregów, musimy oszacować sumę:
i pokazać, że dla dostatecznie dużych
i dowolnych
suma ta jest
dowolnie mała. Mamy:
Ostatnia suma powyżej, jako reszta
szeregu zbieżnego, dąży do 0, gdy
dąży do
. Innymi
słowy, dla dowolnego
każdego
.
istnieje takie
, że
W ten sposób pokazaliśmy zbieżność szeregu
, skąd
dla
. Ponadto, oznaczając:
oraz
mamy:
, skąd, po przejściu do
granicy, wynika
a to jest dokładnie wzór (7).
CBDO
Przykłady
1. Szereg geometryczny
jest zbieżny szereg
, gdzie
, jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ
.
2. Szereg
jest zbieżny bezwzględnie dla każdego . Jak się niedługo okaże, jego suma jest
równa .
3. Szereg anharmoniczny jest zbieżny warunkowo, ponieważ szereg wartości bezwzględnych jego
składników to szereg harmoniczny, który jest rozbieżny.
(Pozorne) paradoksy z szeregami nieskończonymi
Przyjrzymy się teraz zagadnieniu przemienności szeregów nieskończonych. Wiemy, że dodawanie
jest przemienne, tzn.
, co implikuje, że suma skończonej ilości składników jest
przemienna, tzn. nie zależy od kolejności składników. Okazuje się, że analogiczna własność ma też
miejsce dla szeregów bezwzględnie zbieżnych, natomiast na ogół nie zachodzi dla szeregów
zbieżnych warunkowo. Będziemy to pokazywać, ale najsampierw sprecyzujemy, co rozumiemy przez
zmianę kolejności składników, gdy ilość tych składników jest nieskończona.
Permutacja
Przez permutację ciągu liczb naturalnych rozumiemy ciąg liczb naturalnych { }
taki,
że każda liczba naturalna występuje w ciągu {
} dokładnie raz. Jeśli
jest permutacją
ciągu liczb naturalnych, to mówimy, że szereg
powstał z szeregu
przez zmianę porządku jego składników.
Twierdzenie
Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest przemienny. Inaczej mówiąc, jeśli szereg
bezwzględnie zbieżny i jeśli
jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to
jest
Dowód
Niech
. Ze zbieżności szeregu
wynika, że istnieje takie
, że
Ponieważ ciąg {
} zawiera wszystkie liczby naturalne, więc istnieje takie , że wśród liczb
występują liczby
aż do . Ponieważ zaś każda liczba naturalna występuje
dokładnie raz w ciągu { }, to dla każdego
mamy
. Jeśli więc przy danym
ze
zbioru
skreślimy liczby
, to pozostaną w nim wyłącznie liczby
większe od (przy tym wszystkie różne). Tak więc, oznaczając
i skreślając w różnicy
składniki o równych wskaźnikach, otrzymamy w różnicy
jedynie składniki o wskaźnikach większych od . Wynika stąd, że
skąd mamy:
na mocy (9). Ponieważ ta ostatnia nierówność zachodzi dla każdego
, to zachodzi:
, a to oznacza, że spełniona jest teza twierdzenia, tzn. (8). CBDO
Uwaga
Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe dla dowolnego szeregu zbieżnego.
Jako przykład, weźmy szereg anharmoniczny i oznaczymy jego sumę przez
),
policzmy
(niedługo okaże się, że
:
w czym rozpoznajemy sumę szeregu anharmonicznego po przestawieniu składników. Tak więc przez
przestawienie składników uzyskaliśmy szereg zbieżny do innej wartości. Okazuje się, że ma miejsce
nawet bardziej (pozornie) paradoksalna sytuacja:
Twierdzenie (Riemanna)
Mając dany szereg zbieżny warunkowo, można przez zmianę porządku jego składników uzyskać
szereg rozbieżny lub zbieżny do dowolnej, z góry zadanej granicy (skończonej lub nieskończonej).
Bez dowodu. (Dla ciekawych, jest np. w skrypcie P. Urbańskiego, "Analiza", t. 1).
Zagadka
Widzieliśmy, że energia elektrostatyczna kryształu jednowymiarowego jest równa sumie szeregu
anharmonicznego. Czy to znaczy, że ta energia może być dowolna, jeśli przez zmianę kolejności
sumowania można uzyskać dowolną wartość? Może więc energia elektrostatyczna jest źle określoną
wielkością?
Mnożenie szeregów
Wiemy, że jeśli pomnożymy dwie skończone sumy, to znów otrzymamy jakąś sumę. Przy szeregach
nieskończonych pojawiają się pytania o zbieżność. Poniższe twierdzenie pokazuje, że dla szeregów
bezwzględnie zbieżnych szeregi dadzą się pomnożyć, i szereg w wyniku powstały ma taką postać,
jakiej oczekujemy.
Twierdzenie (Cauchy'ego)
Jeżeli szeregi:
i
jest bezwzględnie zbieżny.
Dowód
Oznaczmy
czyli
są bezwzględnie zbieżne, to również szereg
Będziemy szacować różnicę
Ponieważ szeregi:
każdego zachodzi:
i
są zbieżne, a więc ograniczone, to istnieje taka liczba
, że dla
Warunek zbieżności szeregu
oznacza dokładnie tyle, co warunek zbieżności ciągu { };
zapiszmy warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu { }: Dla każdego
istnieje takie , że jeśli
, to zachodzi
Podobnie dla szeregu
mamy
W dalszym ciągu weźmy
. Na mocy (q11) mamy
Oszacujmy teraz pierwszy nawias wykorzystując (13), a drugi — wykorzystując (12),pamiętając
zarazem, że
oraz
:
Tym samym pokazaliśmy, że nierówność:
to, że
zachodzi dla każdego
. Ponieważ zaś ciągi: {
} i { } są zbieżne, więc
, a to znaczy, że
, czyli
zachodzi wzór (10).
CBDO
Przykład
Pokażemy, że
. Znaczy
Mamy bowiem:
(przy ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór dwumienny Newtona).
Uwaga
Twierdzenie o mnożeniu szeregów jest prawdziwe też przy słabszym założeniu, a mianowicie, że
jeden z szeregów (tu:
) jest bezwzględnie zbieżny, a drugi(tu:
) jest
zbieżny, ale niekoniecznie bezwzględnie. W dowodzie wykorzystywaliśmy bowiem tylko bezwzględną
zbieżność szeregu
. Jeśli natomiast oba szeregi są warunkowo zbieżne, to szereg
może być rozbieżny.
Przykład
Weźmy
szeregi
i
jest rozbieżny.
są wówczas zbieżne (z jakiego kryterium?), zaś szereg
1. ↑ Zobaczymy później, że suma szeregu (1) jest równa