Rozdział 8 Ciągi i szeregi funkcyjne 8.1 Zbieżność ciągu i szeregu

Rozdział 8
Ciągi i szeregi funkcyjne
8.1
Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Dla skrócenia zapisu przyjmijmy pewne oznaczenie.
Definicja . Niech X, Y 6= ∅. Przez Y X oznaczamy zbiór wszystkich funkcji określonych
na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y .
Definicja ciągu funkcyjnego. Niech X ⊂ R, X 6= ∅. Funkcję określoną na zbiorze N o
wartościach w zbiorze funkcji RX nazywamy ciągiem funkcyjnym i oznaczamy (fn )n∈N lub
X
X
(fn )∞
lub (fn )∞
n=1 lub fn : X → R, n = 1, 2, ..., piszemy również (fn )n∈N ⊂ R
n=1 ⊂ R .
X
Definicja zbieżności ciągu funkcyjnego. Niech (fn )∞
n=1 ⊂ R . Mówimy, że ciąg funkcyjny (fn )∞
n=1 jest zbieżny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka, że dla każdego x ∈ X zachodzi f (x) = lim fn (x). Funkcję f nazywamy granicą ciągu (fn )∞
lim fn .
n=1 i piszemy f =n→∞
n→∞
Ciąg funkcyjny, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.
∞
X
bądą ciągami funkcyjnymi zbieżnymi odpoUwaga 8.1.1. Niech (fn )∞
n=1 , (gn )n=1 ⊂ R
wiednio do f, g : X → R. Wprost z własności granic ciągów liczbowych dostajemy, że:
∞
∞
suma (fn + gn )∞
n=1 , różnica (fn − gn )n=1 i iloczyn (fn gn )n=1 są ciągami zbieżnymi odpowiednio
do f + g, f − g i f g. Jeśli ponadto g(x) 6= 0, gn (x) 6= 0 dla x ∈ X oraz n ∈ N, to
fn ∞
ciąg gn
jest zbieżny do fg .
n=1
X
Definicja szeregu funkcyjnego. Niech (fn )∞
będzie ciągiem funkcyjnym.
n=1 ⊂ R
Ciąg funkcyjny sn = f1 + · · · + fn , n = 1, 2, ... nazywamy ciągiem sum częściowych
ciągu (fn )∞
n=1 .
∞
Szeregiem funkcyjnym nazywamy parę uporządkowaną ((fn )∞
n=1 , (sn )n=1 ) i oznaczamy
∞
P
n=1
fn . Wtedy ciąg (sn )∞
n=1 nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu
Definicja zbieżności szeregu funkcyjnego. Szereg funkcyjny
∞
P
n=1
∞
P
n=1
fn .
fn , gdzie (fn )∞
n=1 ⊂
RX nazywamy zbieżnym, gdy zbieżny jest jego ciąg sum częściowych. Jeśli s : X → R jest
183
184
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
granicą ciągu sum częściowych szeregu
∞
P
n=1
fn , to mówimy, że szereg ten jest zbieżny do
s, funkcję s zaś nazywamy sumą tego szeregu i piszemy s =
∞
P
n=1
fn .
Szereg funkcyjny, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
Uwaga 8.1.2. Niech fn (x) = xn , x ∈ (−1, 1], n=1,2,... Ciąg ten jest zbieżny do funkcji
g : (−1, 1] → R określonej wzorem g(x) = 0 dla x ∈ (−1, 1) oraz g(1) = 1. Szereg
funkcyjny zaś
∞
P
n=1
fn (x) jest rozbieżny, gdyż rozbieżny jest w punkcie x = 1. Szereg ten
rozważany w zbiorze (−1, 1) jest zbieżny i jego sumą jest
x
.
1−x
Uwaga 8.1.3. Przypomnijmy, że dla k ∈ Z oznaczamy Zk = {m ∈ Z : m > k}. Podobnie
jak w przypadku ciągów i szeregów liczbowych, w wielu zagadnieniach wygodnie jest rozważać ciągi i szeregi funkcyjne w nieco ogólniejszym sensie, gdzie wskaźniki przebiegają zbiór
Zk . Dokładniej, niech X ⊂ R, X 6= ∅. Funkcję określoną na zbiorze Zk o wartościach w
zbiorze funkcji RX nazywamy ciągiem funkcyjnym i oznaczamy (fn )n∈Zk lub (fn )∞
n=k lub
∞
X
fn : X → R, n = k, k + 1, ... lub fk , fk+1 , ..., piszemy również (fn )n=k ⊂ R .
X
Podobnie postępujemy dla szeregów funkcyjnych. Niech (fn )∞
będzie ciągiem
n=k ⊂ R
funkcyjnym. Ciąg funkcyjny sn = fk + · · · + fn , n = k, k + 1, ... nazywamy ciągiem sum
częściowych ciągu (fn )∞
n=k .
∞
Szeregiem funkcyjnym nazywamy parę uporządkowaną ((fn )∞
n=k , (sn )n=k ) i oznaczamy
∞
P
n=k
fn . Wtedy ciąg (sn )∞
n=k nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu
∞
P
fn .
n=k
Podobnie jak wyżej deiniujemy pojęcia zbieżności ciągu i szeregu funkcyjnego. W dalszym ciągu ograniczymy się głównie do ciągów i szeregów których wskaźniki przebiegają
zbiór liczb naturalnych (wyjątek stanowią szeregi potęgowe). Wprowadzone dalej pojęcia i
udowodnione twierdzenia przenoszą się łatwo na ogólny przypadek.
8.2
Jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego
Definicja jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego. Mówimy, że ciąg funkcyjny
X
(fn )∞
n=1 ⊂ R jest jednostajnie zbieżny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka, że dla
każdego ε > 0 istnieje N ∈ R, że dla każdego n ∈ N takiego, że n > N oraz dla każdego
x ∈ X zachodzi |fn (x) − f (x)| < ε. Wtedy mówimy, że ciąg (fn )∞
n=1 jest jednostajnie
zbieżny do funkcji f i piszemy fn ⇒ f .
X
Uwaga 8.2.1. Niech (fn )∞
oraz niech f : X → R. Z definicji zbieżności mamy
n=1 ⊂ R
f = lim fn ⇔ ∀x∈X ∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N |fn (x) − f (x)| < ε
n→∞
oraz
fn ⇒ f ⇔ ∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N ∀x∈X |fn (x) − f (x)| < ε
Różnica między definicją zbieżności ciągu funkcyjnego i zbieżności jednostajną polega na
tym, że w pierwszej definicji dobieramy N do x oraz do ε, w drugiej zaś dobieramy N do
ε, wspólne dla wszystkich x ∈ X
8.2. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU FUNKCYJNEGO
185
Bezpośrednio z definicji dostajemy następującą własność.
X
Własność 8.2.2. Jeśli ciąg funkcyjny (fn )∞
jest jednostajnie zbieżny do funkcji
n=1 ⊂ R
f : X → R, to ciąg ten jest zbieżny do f .
Uwaga 8.2.3. Definicje zbieżności i zbieżności jednostajnej nie są równoważne. Na przykład ciąg funkcyjny fn : R → R, n ∈ N określony wzorem fn (x) = nx , x ∈ R jest zbieżny
do funkcji f (x) = 0 dla x ∈ R. Ciąg ten nie jest jednak zbieżny jednostajnie do funkcji f .
Podobnie jak dla szeregów liczbowych dostajemy
∞
X
Własność 8.2.4. Niech (fn )∞
oraz niech f, g : X → R. Jeśli fn ⇒ f i
n=1 , (gn )n=1 ⊂ R
gn ⇒ g,to (fn + gn ) ⇒ (f + g) oraz (fn − gn ) ⇒ (f − g).
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ fn ⇒ f , gn ⇒ g, to istnieje N ∈ R, że dla
każdego n > N oraz x ∈ X zachodzi
|fn (x) − f (x)| <
ε
2
oraz
ε
|gn (x) − g(x)| < .
2
Wówczas dla n > N oraz x ∈ X mamy
|fn (x) + gn (x) − f (x) − g(x)| 6 |fn (x) − f (x)| + |gn (x) − g(x)| < ε
oraz
|fn (x) − gn (x) − f (x) + g(x)| 6 |fn (x) − f (x)| + |gn (x) − g(x)| < ε.
To daje tezę.
∞
X
Własność 8.2.5. Niech (fn )∞
oraz f, g : X → R. Jeśli fn ⇒ f , gn ⇒ g
n=1 , (gn )n=1 ⊂ R
oraz istnieje M ∈ R, M > 0, że |fn (x)|, |gn (x)| 6 M dla wszystkich x ∈ X oraz n ∈ N, to
(fn gn ) ⇒ (f g).
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ fn ⇒ f , gn ⇒ g, to istnieje N ∈ R, że dla
każdego n > N oraz x ∈ X zachodzi
|fn (x) − f (x)| <
ε
2M
oraz
|gn (x) − g(x)| <
ε
.
2M
Ponieważ |gn (x)| 6 M dla x ∈ X oraz n ∈ N, więc przechodząc do granicy mamy
|g(x)| 6 M dla x ∈ X. W konsekwencji dla n > N oraz x ∈ X mamy
|fn (x)gn (x)−f (x)g(x)| 6 |fn (x)||gn (x)−g(x)|+|g(x)||fn (x)−f (x)| < M
To daje tezę.
ε
ε
+M
= ε.
2M
2M
Uwaga 8.2.6. W powyższej własności założenia, że funkcje fn , gn są ograniczone nie
można opuścić. Mianowicie ciągi fn (x) = x, gn (x) = n1 , x ∈ R, n ∈ N są jednostajnie
∞
zbieżne lecz ciąg (fn gn )∞
n=1 nie jest jednostajnie zbieżny. Ponadto ciąg (fn )n=1 nie jest
ograniczony.
186
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Podobnie jak własność 8.2.5 dowodzimy
X
Własność 8.2.7. Niech (fn )∞
oraz fn ⇒ f , gdzie f : X → R. Jeśli g : X → R
n=1 ⊂ R
jest funkcją ograniczoną, to (fn g) ⇒ (f g).
X
Własność 8.2.8. Niech (fn )∞
będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech f : X → R.
n=1 ⊂ R
Oznaczmy
Mn = sup{|fn (x) − f (x)| : x ∈ X}
dla
n ∈ N.
Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a)
fn ⇒ f .
(b) istnieje m ∈ N, że Mn ∈ R dla n > m oraz n→∞
lim Mn = 0.
Dowód. Ad. (a)⇒(b) Ponieważ fn ⇒ f , więc istnieje m ∈ N, że dla każdego n > m
oraz x ∈ X mamy |fn (x) − f (x)| < 1. Zatem 0 6 Mn 6 1, a więc Mn ∈ R dla n > m.
Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas, wobec (a), istnieje N > m takie, że dla n > N
oraz x ∈ X zachodzi |fn (x) − f (x)| < 2ε . Stąd i z określenia Mn dla n > N mamy
|Mn − 0| = Mn 6 2ε < ε. To daje, że n→∞
lim Mn = 0.
Ad. (b)⇒(a) Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas, wobec (b), istnieje N > m, że dla
n > N zachodzi Mn < ε. Ponieważ z określenia Mn dostajemy, że dla x ∈ X zachodzi
|fn (x) − f (x)| 6 Mn , więc dla n > N oraz x ∈ X mamy |fn (x) − f (x)| < ε. To daje
jednostajną zbieżność ciągu (fn )∞
n=1 do funkcji f .
Twierdzenie 8.2.9. (warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego). Niech (fn )∞
n=1 będzie ciągiem funkcyjnym, gdzie fn : X → R dla n ∈ N. Wów∞
czas ciąg (fn )n=1 jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący
warunek Cauchy’ego:
(8.1)
∀ε>0 ∃N ∈R ∀n,l>N ∀x∈X |fn (x) − fl (x)| < ε.
Dowód. Załóżmy najpierw, że ciąg (fn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny, powiedzmy do
funkcji f : X → R. Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje N ∈ R, że dla n > N oraz
x ∈ X mamy |fn (x) − f (x)| < 2ε . Zatem dla każdych n, l > N oraz x ∈ X mamy
|fn (x) − fl (x)| 6 |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fl (x)| <
ε ε
+ = ε.
2 2
To daje, że ciąg (fn )∞
n=1 spełnia warunek Cauchy’ego (8.1).
Załóżmy teraz, że ciąg (fn )∞
n=1 spełnia warunek Cauchy’ego (8.1). Wówczas dla każdego x ∈ X ciąg liczbowy (fn (x))∞
n=1 spełnia warunek Cauchy’ego. Zatem na podstawie
twierdzenia Cauchy’ego 4.7.3 dla każdego x ∈ X istnieje skończona granica lim fn (x).
n→∞
Oznaczając tę granicę przez f (x) dla x ∈ X mamy określoną funkcję f : X → R do której
jest zbieżny ciąg (fn )∞
n=1 .
Pokażemy, że fn ⇒ f . Weźmy dowolne ε > 0. W myśl (8.1) istnieje N ∈ R, że dla
n, l > N oraz x ∈ X zachodzi |fn (x) − fl (x)| < 2ε . Zatem przechodząc do granicy przy
l → ∞ dostajemy, że dla n > N oraz x ∈ X zachodzi |fn (x) − f (x)| 6 2ε < ε. To daje
fn ⇒ f .
8.3. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ SZEREGU FUNKCYJNEGO
187
ZADANIA
∞
Zadanie 8.2.1. Niech (fn )∞
n=1 (gn )n=1 będą ciągami funkcyjnymi, gdzie fn , gn : X → R
dla n ∈ N. Niech fn ⇒ f , gn ⇒ g, gdzie f, g : X → R. Wówczas jeśli istnieją M, K ∈ R,
M, K > 0 że |gn (x)| > M , |f (x)| 6 K dla x ∈ X oraz n ∈ N, to fgnn ⇒ fg .
8.3
Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Definicja jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Mówimy, że szereg funk∞
P
cyjny
fn , gdzie fn : X → R dla n ∈ N, jest jednostajnie zbieżny, gdy ciąg sum
n=1
częściowych tego szeregu jest jednostajnie zbieżny.
Bezpośrednio z definicji dostajemy następującą własność.
Własność 8.3.1. Każdy szereg funkcyjny zbieżny jednostajnie jest zbieżny.
Z własności 8.2.4 i 8.2.7 dostajemy natychmiast
∞
P
Własność 8.3.2. Niech szeregi
∞
X
(fn )∞
n=1 , (gn )n=1 ⊂ R . Wówczas
(a) szeregi
∞
P
n=1
(fn + gn ),
∞
P
n=1
n=1
fn i
∞
P
gn będą zbieżne jednostajnie, przy czym
n=1
(fn − gn ) są zbieżne jednostajnie.
(b) jeśli funkcja g : X → R jest ograniczona, to szereg
∞
P
n=1
fn g jest zbieżny jednostajnie.
Z warunku Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego 8.2.9 dostajemy
Twierdzenie 8.3.3. (warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej szeregu funkX
cyjnego). Niech (fn )∞
będzie ciągiem funkcyjnym. Wówczas szereg
n=1 ⊂ R
∞
P
n=1
fn jest
jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący warunek Cauchy’ego:
∀ε>0 ∃N ∈R ∀m>l>N ∀x∈X
(8.2)
m
X
f
(x)
< ε.
n
n=l
Udowodnimy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego
Twierdzenie 8.3.4. (kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu
X
funkcyjnego). Niech (fn )∞
będzie ciągiem funkcyjnym. Jeśli istnieje ciąg liczn=1 ⊂ R
∞
bowy (Mn )n=1 taki, że dla każdego n ∈ N zachodzi |fn (x)| 6 Mn dla x ∈ X oraz szereg
liczbowy
∞
P
n=1
Mn jest zbieżny, to szereg
Dowód. Pokażemy, że szereg
∞
P
n=1
∞
P
n=1
fn jest jednostajnie zbieżny.
fn spełnia warunek Cauchy’ego (8.2). Istotnie, weź-
my dowolne ε > 0. Ponieważ szereg liczbowy
∞
P
n=1
Mn jest zbieżny, więc z twierdzenia
188
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Cauchy’ego 5.1.6, istnieje N ∈ R, że dla każdych m > l > N mamy |Ml + · · · + Mm | < ε.
Zatem dla każdego m > l > N oraz x ∈ X mamy
|fl (x) + · · · + fm (x)| 6 |fl (x)| + · · · + |fm (x)| 6 Ml + · · · + Mm < ε.
To daje, że szereg
∞
P
n=1
fn spełnia warunek Cauchy’ego (8.2). Stąd i z twierdzenia 8.3.3
dostajemy tezę.
Uwaga 8.3.5. Nie zachodzi twierdzenie odwrotne do kryterium Weierstrassa. Na przykład
∞
P
(−1)n x
szereg
jest w przedziale [0, 1] zbieżny jednostajnie (co czytelnik sprawdzi bez
n
n=1
trudu) lecz dla x ∈ (0, 1], szereg ten nie jest zbieżny bezwzględnie.
Udowodnimy kryterium Abela jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego.
Twierdzenie 8.3.6. (kryterium Abela jednostajnej zbieżności szeregu funkcyj∞
X
nego). Niech (fn )∞
będą ciągami funkcyjnymi. Jeśli
n=1 , (gn )n=1 ⊂ R
(i) istnieje M ∈ R, M > 0, że dla każdego n ∈ N oraz x ∈ X zachodzi |fn (x)| 6 M ,
(ii) dla każdego x ∈ X ciąg (fn (x))∞
n=1 jest malejący,
(iii) szereg
∞
P
n=1
to szereg
∞
P
n=1
gn jest jednostajnie zbieżny,
fn gn jest zbieżny jednostajnie.
∞
P
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ, wobec (iii), szereg
n=1
stajnie, więc z warunku Cauchy’ego 8.3.3 istnieje N
m > l > N oraz x ∈ X zachodzi
∈
gn jest zbieżny jednoN, że dla każdego
m
X
ε
gn (x) <
.
4M
n=l
Ustalmy l > N . Zatem, oznaczając
n
X
An (x) =
gj (x)
dla
x ∈ X,
n = l, l + 1, ...,
j=l
mamy
ε
dla
n = l, l + 1, ...
4M
Stosując przekształcenie Abela (patrz dowód kryterium Dirichleta 5.4.1) i uwzględniając (8.3), (i) oraz (ii) dla m > l oraz x ∈ X dostajemy
|An (x)| <
(8.3)
m
P
fn (x)gn (x)
=
n=l
6
6
=
m−1
P
An (x)(fn (x) − fn+1 (x)) + Am (x)fm (x)
n=l
m−1
P
|An (x)||fn (x) − fn+1 (x)| + |Am (x)||fm (x)|
n=l
m−1
P
ε
ε
(fn (x) − fn+1 (x)) + 4M
|fm (x)|
4M
n=l
ε
ε
ε
ε
f (x) − 4M
fm (x) + 4M
|fm (x)| 6 4M
M
4M l
+
ε
M
4M
+
ε
M
4M
< ε.
8.4. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A CIĄGŁOŚĆ
189
Dla m = l zaś mamy
m
X
ε
fn (x)gn (x) = |fl ||gl | 6 M
< ε.
4M
n=l
Reasumując szereg
∞
P
fn gn spełnia warunek Cauchyego zbieżności jednostajnej szeregów
n=k
8.3.3, więc jest to szereg zbieżny jednostajnie. To kończy dowód.
Powtarzając dowód kryterium Dirichleta zbieżności szeregu liczbowego 5.4.1 dostajemy
Twierdzenie 8.3.7. (kryterium Dirichleta jednostajnej zbieżności szeregu funk∞
X
cyjnego). Niech (fn )∞
będą ciągami funkcyjnymi. Jeśli
n=1 , (gn )n=1 ⊂ R
(i) istnieje M ∈ R, że dla każdego m ∈ N oraz x ∈ X zachodzi |
(ii) dla każdego x ∈ X ciąg (gn (x))∞
n=1 jest malejący,
m
P
n=1
fn (x)| 6 M ,
(iii) Ciąg (gn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny do funkcji tożsamościowo równej zeru,
to szereg
∞
P
n=1
8.4
fn gn jest zbieżny jednostajnie.
Zbieżność jednostajna a ciągłość
X
Twierdzenie 8.4.1. Niech ciąg funkcyjny (fn )∞
n=1 ⊂ R , gdzie X ⊂ R, będzie zbieżny
jednostajnie do funkcji f : X → R. Jeśli wszystkie funkcje fn , n ∈ N, są ciągłe w punkcie
x0 ∈ X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie x0 .
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ fn ⇒ f , więc istnieje N ∈ N, że dla każdego
n > N oraz x ∈ X zachodzi |fn (x) − f (x)| < 3ε . W szczególności dla n = N mamy
(8.4)
|fN (x) − f (x)| <
ε
3
dla x ∈ X.
Ponieważ fN jest funkcją ciągłą, więc istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że
|x − x0 | < δ mamy
(8.5)
ε
|fN (x) − fN (x0 )| < .
3
Reasumując z (8.4) i (8.5) dla każdego x ∈ X takiego, że |x − x0 | < δ mamy
|f (x) − f (x0 )| 6 |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN (x0 ) − f (x0 )| <
To daje ciągłość funkcji f w punkcie x0 .
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
Z twierdzenia 8.4.1 dostajemy natychmiast
X
Twierdzenie 8.4.2. Jeśli ciąg (fn )∞
n=1 ⊂ R , gdzie X ⊂ R, funkcji ciągłych jest zbieżny
jednostajnie do funkcji f : X → R, to f jest funkcją ciągłą.
190
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Analogicznie jak twierdzenia 8.4.1 dowodzimy
X
Twierdzenie 8.4.3. Jeśli ciąg (fn )∞
n=1 ⊂ R , gdzie X ⊂ R, funkcji jednostajnie ciągłych
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f : X → R, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.
Z twierdzenia 8.4.1 dostajemy
X
Twierdzenie 8.4.4. Niech (fn )∞
n=1 ⊂ R , gdzie X ⊂ R, będzie ciągiem funkcyjnym
zbieżnym jednostajnie do funkcji f : X → R. Niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X
oraz dla każdego n ∈ N istnieje skończona granica an = lim fn (x). Wówczas ciąg (an )∞
n=1
x→x0
jest zbieżny, funkcja f ma granicę skończoną w punkcie x0 oraz
lim f (x) = lim an
x→x0
n→∞
(1 ).
Dowód. Dla n ∈ N określmy funkcje hn : X ∪ {x0 } → R wzorami hn (x) = fn (x)
dla x ∈ X \ {x0 } oraz hn (x0 ) = an . Wtedy z założenia, że an =x→x
lim fn (x) dostajemy, że
0
funkcje hn są ciągłe w punkcie x0 .
Pokażemy, że ciąg funkcyjny (hn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny. Istotnie, weźmy dowolne
jest
jednostajnie
zbieżny, więc z warunku Cauchy’ego zbieżε > 0. Ponieważ ciąg (fn )∞
n=1
ności jednostajnej ciągu funkcyjnego 8.2.9 dostajemy, że istnieje N ∈ R, że dla każdych
m, l > N oraz x ∈ X zachodzi
ε
|fm (x) − fl (x)| < .
2
Przechodząc w powyższej nierówności do granicy przy x
|hm (x0 ) − hl (x0 )| 6 2ε < ε dla m, l > N . Stąd mamy
|hm (x) − hl (x)| < ε
dla x ∈ X ∪ {x0 },
→
x0 dostajemy
m, l > N.
Zatem z twierdzenia 8.2.9 dostajemy jednostajną zbieżność ciągu (hn )∞
n=1 . W szczególności
∞
ciąg (an )n=1 jest zbieżny. Niech a = lim an .
n→∞
Określmy funkcję h : X ∪ {x0 } → R wzorami h(x) = f (x) dla x ∈ X \ {x0 } oraz
h(x0 ) = a. Wówczas ciąg (hn )∞
n=1 jest zbieżny do h. Ponieważ ciąg ten jest jednostajnie
zbieżny, więc jest on jednostajnie zbieżny do h. W konsekwencji z twierdzenia 8.4.1 wynika
ciągłość funkcji h w punkcie x0 . Ponadto
lim f (x) = lim h(x) = h(x0 ) = a.
x→x0
x→x0
To kończy dowód.
Z twierdzenia 8.4.1 dostajemy
Wniosek 8.4.5. Jeśli szereg funkcyjny
∞
P
n=1
X
fn , gdzie (fn )∞
n=1 ⊂ R , X ⊂ R, jest jedno-
stajnie zbieżny i wszystkie funkcje fn , n ∈ N, są ciągłe w punkcie x0 ∈ X, to suma tego
szeregu jest funkcją ciągłą w punkcie x0 .
1
inaczej lim ( lim fn (x)) = lim ( lim fn (x)).
x→x0
n→∞
n→∞ x→x0
8.5. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A RÓŻNICZKOWALNOŚĆ
Dowód. Istotnie, sumy częściowe szeregu
∞
P
n=1
191
fn są funkcjami ciągłymi w punkcie
x0 , jako sumy skończonej ilości funkcji ciągłych w punkcie x0 . Zatem z twierdzenia 8.4.1
dostajemy tezę.
Z wniosku 8.4.5 dostajemy
∞
P
Wniosek 8.4.6. Jeśli szereg funkcyjny
n=1
X
fn , gdzie (fn )∞
n=1 ⊂ R , X ⊂ R, jest jedno-
stajnie zbieżny i wszystkie funkcje fn , n ∈ N, są ciągłe, to suma tego szeregu jest funkcją
ciągłą.
Wobec faktu, że suma funkcji jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągła, z twierdzenia 8.4.3 dostajemy
∞
P
Wniosek 8.4.7. Jeśli szereg funkcyjny
n=1
X
fn , gdzie (fn )∞
n=1 ⊂ R , X ⊂ R, jest jedno-
stajnie zbieżny i wszystkie funkcje fn , n ∈ N, są jednostajnie ciągłe, to suma tego szeregu
jest funkcją jednostajnie ciągłą.
8.5
Zbieżność jednostajna a różniczkowalność
Twierdzenie 8.5.1. Niech (fn )∞
n=1 będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych na przedziale
0 ∞
[a, b]. Jeśli ciąg (fn )n=1 jest jednostajnie zbieżny (na [a, b]) oraz dla pewnego x0 ∈ [a, b]
ciąg (fn (x0 ))∞
n=1 jest zbieżny, to
(a) ciąg (fn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej f : [a, b] → R,
(b) f 0 = lim fn0 , to znaczy f 0 (x) = lim fn0 (x) dla x ∈ [a, b].
n→∞
n→∞
∞
Dowód. Ponieważ ciąg (fn0 )∞
n=1 jest zbieżny jednostajnie oraz ciąg (fn (x0 ))n=1 jest
zbieżny, więc z warunku Cauchy’ego dostajemy, że dla każdego ε > 0 istnieje Nε ∈ R, że
(8.6)
(8.7)
0
|fm
(x) − fl0 (x)| <
ε
2(b − a)
|fm (x0 ) − fl (x0 )| <
dla każdych m, l > Nε
ε
2
oraz x ∈ [a, b],
dla każdych m, l > Nε .
Pokażemy, że ciąg (fn )∞
n=1 jest zbieżny jednostajnie w [a, b]. Istotnie, wystarczy pokazać, że ciąg ten spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej. Weźmy więc dowolne
ε > 0 i niech N = Nε . Zauważmy, że
(8.8)
|fm (x) − fl (x)| < ε
dla każdych m, l > N
oraz x ∈ [a, b].
Istotnie, niech m, l > N . Dla x = x0 (8.8) wynika z (8.7). Dla x ∈ [a, b]\{x0 } z twierdzenia
Lagrange’a o wartości średniej 7.3.7 istnieje c leżący między x i x0 , że
0
(fm (x) − fl (x)) − (fm (x0 ) − fl (x0 )) = (fm
(c) − fl0 (c))(x − x0 ),
192
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
więc z (8.6),
|fm (x) − fl (x) − fm (x0 ) + fl (x0 )| <
ε
ε
|x − x0 | 6 .
2(b − a)
2
Stąd i z (8.7) mamy
ε ε
+ = ε.
2 2
To daje (8.8). Z dowolności ε > 0 oraz z (8.8) wynika, że ciąg (fn )∞
n=1 spełnia warunek
Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych, więc z twierdzenia 8.2.9 jest to
ciąg zbieżny jednostajnie. Niech więc f : [a, b] → R będzie granicą ciągu (fn )∞
n=1 .
Pokażemy teraz, że
|fm (x) − fl (x)| 6 |fm (x) − fl (x) − fm (x0 ) + fl (x0 )| + |fm (x0 ) − fl (x0 )| <
f 0 (x) = lim fn0 (x)
(8.9)
dla x ∈ [a, b].
n→∞
Istotnie, weźmy dowolny x1 ∈ [a, b] i rozważmy ilorazy różnicowe
ϕn (x) =
fn (x) − fn (x1 )
,
x − x1
ϕ(x) =
f (x) − f (x1 )
,
x − x1
x ∈ [a, b] \ {x1 },
n ∈ N.
Z określenia funkcji f dostajemy, że
(8.10)
lim ϕn (x) = ϕ(x)
n→∞
dla x ∈ [a, b] \ {x1 }.
Ponadto z założenia o różniczkowalności funkcji fn dla n ∈ N mamy
(8.11)
lim ϕn (x) = fn0 (x1 )
x→x1
dla n ∈ N.
Pokażemy, że ciąg (ϕn )∞
n=1 jest zbieżny jednostajnie. Istotnie, weźmy dowolne η > 0 i
niech ε > 0 będzie takie, że
ε
< η.
2(b − a)
Niech N = Nε , gdzie Nε jest dobrane na początku dowodu tak, że zachodzi (8.6). Niech
m, l > N . Wówczas, z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, dla dowolnego x ∈
[a, b] \ {x1 } istnieje c leżący między x i x1 taki, że
ε
0
|fm (x) − fl (x) − fm (x1 ) + fl (x1 )| = |fm
(c) − fl0 (c)||x − x1 | <
|x − x1 | < η|x − x1 |,
2(b − a)
więc
f (x) − f (x) − f (x ) + f (x ) η|x − x1 |
l
m 1
l 1 m
|ϕm (x) − ϕl (x)| = <
= η.
x − x1
|x − x1 |
To daje, że ciąg (ϕn )∞
n=1 spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego i w konsekwencji jest to ciąg jednostajnie zbieżny. To, wraz z (8.10) daje, że ciąg
(ϕn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny do ϕ. Stąd, wobec (8.11), mamy spełnione wszystkie
założenia twierdzenia 8.4.4. Zatem istnieje skończona granica lim fn0 (x1 ) oraz
n→∞
0
f (x1 ) = lim ϕ(x)
x→x1
= lim fn0 (x1 ).
n→∞
To daje, że funkcja f jest różniczkowalna oraz zachodzi (b). W konsekwencji, wobec
jednostajnej zbieżności ciągu (fn )∞
n=1 do f , mamy (a). To kończy dowód.
8.6. SZEREGI POTĘGOWE
193
Uwaga 8.5.2. W twierdzeniu 8.5.1 nie można opuścić założenia o jednostajnej zbieżności
∞
ciągu (fn0 )∞
n=1 , nawet kosztem wzmocnienia założenia o zbieżności ciągu (fn )n=1 . Istotnie,
rozważmy ciąg funkcyjny fn : R → R, n ∈ N określony wzorami
fn (x) = 2|x| dla |x| >
1
n
oraz
fn (x) =
n2 x2 + 1
n
dla |x| <
1
.
n
Można pokazać, że
(a) ciąg (fn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny do funkcji f (x) = 2|x|, x ∈ R, która nie jest
różniczkowalna,
(b) ciąg pochodnych jest zbieżny do funkcji g : R → R określonej wzorami g(x) = −2
dla x < 0, g(0) = 0 oraz g(x) = 2 dla x > 0.
Wniosek 8.5.3. Niech
[a, b]. Jeśli szereg
szereg
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
fn będzie szeregiem funkcji różniczkowalnych na przedziale
fn0 jest jednostajnie zbieżny (na [a, b]) oraz dla pewnego x0 ∈ [a, b]
fn (x0 ) jest zbieżny, to
∞
P
(a) szereg
n=1
fn jest jednostajnie zbieżny i jego suma s : [a, b] → R jest funkcją
różniczkowalną,
(b) s0 =
∞
P
n=1
8.6
fn0 , to znaczy s0 (x) =
∞
P
n=1
fn0 (x) dla x ∈ [a, b].
Szeregi potęgowe
W punkcie 5.9 wprowadziliśmy pojęcie szeregu potęgowego. W świetle wprowadzonych w
tym rozdziale pojąć, jest to szereg funkcyjny postaci
(8.12)
∞
X
an (x − x0 )n ,
x∈R
n=0
Biorąc % =lim sup
n→∞
gdzie (an )∞
jest ustalonym ciągiem
n=0
liczbowym oraz x0 ustalonym punktem.
q
n
|an |, zgodnie z (5.10), promieniem zbieżności szeregu (8.12) jest



0
R = 1/%


+∞
dla % = +∞,
dla 0 < % < +∞,
dla % = 0.
Z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda 5.9.1 wiadomo, że szereg (8.12) jest zbieżny bezwzględnie w przedziale {x ∈ R : |x − x0 | < R} (zwanym przedziałem zbieżności szeregu
potęgowego) oraz rozbieżny dla x ∈ R takich, że |x − x0 | > R.
Twierdzenie 8.6.1. Niech R > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego (8.12).
Wówczas dla każdego r ∈ R takiego, że 0 < r < R, szereg (8.12) jest jednostajnie zbieżny
w przedziale {x ∈ R : |x − x0 | 6 r}.
194
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Dowód. Weźmy dowolne r ∈ R takie, że 0 < r < R. Wówczas x0 + r należy do przedziału zbieżności szeregu (8.12). Ponieważ szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie w
swoim przedziale zbieżności, więc szereg
∞
P
n=0
|an |rn jest zbieżny. Ponadto dla x ∈ R takich,
że |x − x0 | 6 r mamy |an (x − x0 )n | 6 |an |rn dla n > 0. Zatem z kryterium Weierstrassa
zbieżności jednostajnej szeregów 8.3.4 dostajemy zbieżność jednostajną szeregu (8.12) w
{x ∈ R : |x − x0 | 6 r}. To daje tezę.
Definicja . Szeregiem pochodnych szeregu (8.12) nazywamy szereg
∞
P
n=1
nan (x − x0 )n−1 .
Uwaga 8.6.2. Szereg pochodnych szeregu potęgowego można traktować jako szereg potę∞
P
gowy, bowiem można go zapisać w postaci
(n + 1)an+1 (x − x0 )n .
n=0
Własność 8.6.3. Promienie zbieżności szeregu potęgowego (8.12) i szeregu pochodnych
∞
P
n=1
nan (x − x0 )n−1 są równe.
Dowód. Ponieważ n→∞
lim
√
n
n = 1, więc
lim sup
q
n
n→∞
|an | =lim sup
q
n
n→∞
Zatem promienie zbieżności szeregu (8.12) i szeregu
x 6= x0 szereg
∞
P
n=0
∞
P
pochodnych
n=0
|nan |.
∞
P
n=0
nan (x − x0 )n są równe. Dla
nan (x − x0 )n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
nan (x − x0 )n−1 =
∞
P
n=1
nan (x − x0 )n−1 . Reasumując mamy tezę.
Twierdzenie 8.6.4. Niech R > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego (8.12)
oraz niech f będzie sumą tego szeregu w przedziale zbieżności P = {x ∈ R : |x − x0 | < R}.
Wówczas funkcja f jest klasy C ∞ w P oraz
f (k) (x) =
(8.13)
∞
X
n=k
n!an
(x − x0 )n−k
(n − k)!
dla x ∈ P.
Dowód. W myśl własności 8.6.3, promienie zbieżności szeregu (8.12) i szeregu pochodnych
∞
P
n=1
nan (x − x0 )n−1 są równe. Pokażemy (8.13) dla k = 1. Istotnie, weźmy
dowolny x1 ∈ P i niech r ∈ R będzie takie, że |x1 − x0 | < r < R. Wobec twierdzenia
8.6.1, szereg (8.12) i jego szereg pochodnych są jednostajnie zbieżne w przedziale otwartym {x ∈ R : |x − x0 | < r}. Zatem z wniosku 8.5.3 dostajemy (8.13) dla k = 1. Postępując
dalej indukcyjnie dostajemy (8.13) dla wszystkich k ∈ N. W konsekwencji f jest funkcją
klasy C ∞ . To daje tezę.
Z twierdzenia 8.6.4 dostajemy natychmiast
Wniosek 8.6.5. Niech R > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego (8.12)
oraz niech f będzie sumą tego szeregu w przedziale zbieżności P = {x ∈ R : |x − x0 | < R}.
Wówczas funkcja f jest ciągła w P .
8.6. SZEREGI POTĘGOWE
195
Definicja rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy. Jeśli funkcja f w pewnym otoczeniu punktu x0 ∈ R jest sumą szeregu potęgowego o środku x0 postaci,
(8.14)
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n
w pewnym otoczeniu punktu x0 ,
n=0
to mówimy, że funkcja f rozwija się w otoczeniu punktu x0 w szereg potęgowy lub w szereg
Taylora. Wtedy szereg w (8.14) nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg potęgowy w
otoczeniu punktu x0 lub rozwinięciem w szereg Taylora.
Twierdzenie 8.6.6. Jeśli funkcja f rozwija się w pewnym otoczeniu punktu x0 w szereg
∞
P
potęgowy f (x) =
an (x − x0 )n , to rozwinięcie to jest określone jednoznacznie, ponadto
n=0
an =
(8.15)
f (n) (x0 )
n!
dla n = 0, 1, ...
W szczególności rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora jest szeregiem Taylora tej funkcji.
Dowód. W myśl twierdzenia 8.6.4 mamy, że f jest funkcją klasy C ∞ w pewnym
otoczeniu punktu x0 , ponadto, z (8.13) mamy f (k) (x0 ) = k!ak dla k ∈ N i oczywiṡcie
f (x0 ) = a0 . To daje (8.15) i, że współczynniki rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy są
określone jednoznacznie, a więc rozwinięcie jest określone jednoznacznie.
1
Uwaga 8.6.7. Funkcja f : R → R określona wzorami f (x) = e− x dla x > 0 oraz f (x) = 0
dla x 6 0 jest klasy C ∞ , ponadto f (n) (0) = 0 dla n = 0, 1, ..., więc suma szeregu Taylora
tej funkcji znika tożsamościowo. Zatem, wobec twierdzenia 8.6.6 funkcja ta nie rozwija się
w szereg potęgowy w otoczeniu punktu 0
Twierdzenie 8.6.8. Rozwinięciem funkcji f (x) = ln(1 + x), x ∈ (−1, 1), w szereg potęgowy w otoczeniu zera jest
(8.16)
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
Dowód. Ponieważ lim
n→∞
n
xn
dla x ∈ (−1, 1).
r
n+1 n (−1)
n = 1, więc z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda
5.9.1 dostajemy, że szereg potęgowy po prawej stronie (8.16) jest zbieżny w (−1, 1). Zatem
z twierdzenia 8.6.4, suma g : (−1, 1) → R tego szeregu jest różniczkowalna oraz
g 0 (x) =
∞
X
n=1
(−1)n+1 xn−1 =
1
1+x
dla x ∈ (−1, 1).
1
Z drugiej strony f 0 (x) = 1+x
dla x ∈ (−1, 1), więc f 0 = g 0 . Stąd i z wniosku 7.3.11, funkcja
f − g jest stała w (−1, 1). Ponieważ f (0) = 0 i g(0) = 0, więc f = g. To daje tezę.
Definicja funkcji analitycznej. Niech X ⊂ R będzie zbiorem otwartym oraz f : X →
R. Mówimy, że f jest funkcją analityczną w punkcie x0 ∈ X, gdy f rozwija się w szereg
potęgowy w otoczeniu punktu x0 . Mówimy, że f jest funkcją analityczną, gdy f jest
funkcją analityczną w każdym punkcie zbioru X.
196
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Uwaga 8.6.9. Wprost z definicji funkcji sinus i cosinus mamy,
sin x =
∞
X
n=0
(−1)n 2n+1
x
,
(2n + 1)!
cos x =
∞
X
(−1)n
(2n)!
n=0
x2n
dla x ∈ R.
Zatem dla każdego x0 ∈ R mamy
sin x = sin(x − x0 ) cos x0 + cos(x − x0 ) sin x0 =
∞
X
an (x − x0 )n ,
x∈R
n=0
n
n
cos x0
sin x0
gdzie a2n+1 = (−1)
oraz a2n = (−1)(2n)!
dla n = 0, 1, ... Stąd wynika, że funkcja
(2n+1)!
sinus jest analityczna. Analogicznie pokazujemy, że funkcja cosinus jest analityczna.
Uwaga 8.6.10. Z twierdzenia 5.9.5 mamy ex =
∞
P
n=0
x0 ∈ R mamy
ex = ex−x0 ex0 =
∞
X
ex0
n=0
n!
xn
n!
dla x ∈ R. Zatem dla każdego
(x − x0 )n ,
x ∈ R.
W konsekwencji funkcja f (x) = ex , x ∈ R jest analityczna.
Uwaga 8.6.11. W uwagach 8.6.9 i 8.6.10 funkcje analityczne w R rozwijały się w szereg
potęgowy zbieżny w całym zbiorze R. Nie musi to zachodzić dla każdej funkcji analitycznej.
1
Na przykład można sprawdzić, że funkcja f (x) = 1+x
2 , x ∈ R, jest analityczna lecz jej
rozwinięcie w otoczeniu punktu 0 jest postaci
∞
X
1
=
(−1)n x2n
2
x + 1 n=0
x ∈ (−1, 1).
Promieniem zbieżności powyższego szeregu potęgowego jest 1, więc szereg ten nie jest zbieżny w całym zbiorze R.
8.7
Rozwinięcie funkcji potęgowej w szereg potęgowy
Definicja ciągu reszt we wzorze Taylora. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy
C ∞ oraz x0 ∈ (a, b). Dla n ∈ N, funkcję Rn : (a, b) → R taką, że
(8.17)
n−1
X
f (x) =
k=0
f (k) (x0 )
(x − x0 )k + Rn (x)
k!
dla x ∈ (a, b)
nazywamy n-tę resztą we wzorze Taylora. Ciąg funkcyjny (Rn )∞
n=1 nazywamy ciągiem reszt
we wzorze Taylora.
Uwaga 8.7.1. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C ∞ oraz x0 ∈ (a, b). Ze wzoru
Taylora I, II, III (twierdzenia 7.5.4, 7.5.10, 7.5.11) mamy istnienie reszt Rn . Ponadto
można przyjąć Rn (x0 ) = 0 oraz dla x 6= x0 reszta w postaci Lagrange’a ma postać
Rn (x) =
f (n) (c)
(x − x0 )n ,
n!
gdzie c jest pewnym punktem leżącym między x i x0 ,
8.7. ROZWINIĘCIE FUNKCJI POTĘGOWEJ W SZEREG POTĘGOWY
197
reszta w postaci Cauchy’ego ma zaś postać
Rn (x) =
f (n) (c)(1 − θ)n−1
(x − x0 )n ,
(n − 1)!
gdzie c jest pewnym punktem leżącym między
c−x0
x i x0 oraz θ = x−x
,
0
Bezpośrednio z definicji (8.17) dostajemy
Twierdzenie 8.7.2. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C ∞ , x0 ∈ (a, b) oraz
(Rn )∞
n=1 będzie ciągiem reszt we wzorze Taylora. Wówczas funkcja f rozwija się w otoczeniu Ω ⊂ (a, b) punktu x0 w szereg potęgowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ Ω
zachodzi lim Rn (x) = 0.
n→∞
Definicja . Niech α ∈ R. Wówczas przyjmujemy
!
α
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
=
n
n!
!
dla n ∈ N oraz
Uwaga 8.7.3. Dla α ∈ R oraz n ∈ Z, n > 0, symbol
symbolu Newtona.
α
n
α
= 1.
0
jest naturalnym uogólnieniem
Naturalnym uogólnieniem wzoru dwumiennego Newtona jest następujące
Twierdzenie 8.7.4. Niech α ∈ R. Wówczas
(8.18)
α
(1 + x) =
∞
X
n=0
!
α n
x
n
dla x ∈ (−1, 1).
Dowód. Niech f (x) = (1 + x)α , x ∈ (−1, 1). Dla x = 0 równość (8.18) jest oczywista.
Pokażemy (8.18) dla x ∈ (−1, 1) \ {0}.
Jeśli α ∈ Z, α > 0, to teza wynika ze wzoru dwumiennego Newtona, gdyż wtedy
α
= 0 dla n > α. Załóżmy więc, że α ∈ R nie jest liczbą całkowitę nieujemną. Wtedy
n
α
n
6= 0 dla n ∈ Z, n > 0.
Stosując kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów dostajemy, że szereg
∞ P
α
n=0
n
nxn
jest zbieżny dla x ∈ (−1, 1). Zatem z warunku koniecznego zbieżności szeregów mamy
!
(8.19)
lim
n→∞
α
nxn = 0
n
dla x ∈ (−1, 1).
Indukcyjnie pokazujemy, że dla x ∈ (−1, 1) mamy
f (n) (x) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n ,
n ∈ N,
więc na mocy wzoru Taylora III 7.5.11 dla n ∈ N mamy
(8.20)
n−1
X
f (x) =
k=0
!
α k
x + Rn (x)
k
dla x ∈ (−1, 1) \ {0},
198
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
gdzie Rn jest resztą w postaci Cauchy’ego. Weźmy dowolny x ∈ (−1, 1) \ {0}. Wówczas
dla każdego n ∈ N istnieje cn ∈ R leżący między x i 0, że kładąc
cn
,
x
θn =
mamy 0 < θn < 1 oraz
f (n) (cn )(1 − θn )n−1 n
α
Rn (x) =
x =
nxn (1 − θn )n−1 (1 + cn )α−n .
(n − 1)!
n
!
(8.21)
Jeśli x ∈ (0, 1), to cn ∈ (0, 1), więc 1 + cn > 1 i dla n > α mamy 0 < (1 + cn )α−n 6 1.
Ponadto 0 < (1 − θn )n−1 6 1, więc
0 < (1 − θn )n−1 (1 + cn )α−n 6 1
dla
n > α.
Zatem wobec (8.19) mamy lim Rn (x) = 0. Stąd i z (8.20) dostajemy (8.18) dla x ∈ (0, 1).
n→∞
Załóżmy, że x ∈ (−1, 0). Ponieważ x < cn < 0, więc 0 <
n−1
|(1 − θn )
α−n
(1 + cn )
|=
1 − θn
1 + cn
1−θn
1+cn
6 1, zatem
!n−1
(1 + cn )α−1 6 (1 + cn )α−1 .
W konsekwencju
|(1 − θn )n−1 (1 + cn )α−n | 6 1,
gdy α > 1,
|(1 − θn )n−1 (1 + cn )α−n | 6 (1 + x)α−1 ,
gdy α 6 1.
Reasumując z (8.21) i (8.19) dostajemy n→∞
lim Rn (x) = 0. Stąd i z (8.20) dostajemy (8.18)
dla x ∈ (−1, 0). To kończy dowód.
8.8
Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji
Każda funkcja analityczna jest lokalnie sumą szeregu potęgowego, więc lokalnie jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów. W punkcie tym udowodnimy twierdzenie
Weierstrassa mówiące o tym, że każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów. Jest to uogólnienie wspomnianego faktu. Jednak pojęcie analityczności niesie znacznie większe konsekwencje niż zapowiadane
twierdzenie Weierstrassa.
Twierdzenie 8.8.1. (nierówność Schwarza). Jeśli a0 , ..., an , b0 , ..., bn ∈ R, to
2
n
n
n
X
X
X
2
a
b2i .
a
b
6
i i
i
(8.22)
i=0
Dowód. Niech A =
n
P
i=0
n
X
i=0
2
(Bai − Cbi ) = B
2
n
X
i=0
a2i , B =
n
P
i=0
a2i
− 2BC
i=0
b2i , C =
n
P
i=0
ai bi . Wówczas mamy
i=0
n
X
i=0
ai b i + C
2
n
X
i=0
b2i = B 2 A − BC 2 = B(AB − C 2 ).
8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI
199
Ponieważ pierwsza suma w powyższym wzorze jest nieujemna, więc B(AB − C 2 ) > 0.
Jeśli B = 0, to b0 = · · · = bn = 0, więc C = 0 i teza jest oczywista. Jeśli zaś B > 0, to
AB − C 2 > 0, co daje (8.22) i kończy dowód.
Lemat 8.8.2. Dla każdego n ∈ N oraz x ∈ [0, 1] zachodzi nierówność
n
√ X
i
n i
1
n−i
n
6 .
− x x (1 − x)
i n
2
i=0
!
(8.23)
Dowód. Ze wzoru dwumiennego Newtona mamy
n
X
(8.24)
!
n i
x (1 − x)n−i = 1
i
i=0
dla x ∈ R
oraz
n
X
(8.25)
!
n iy
e (1 − x)n−i = (ey + (1 − x))n
i
i=0
dla x, y ∈ R.
Różniczkując dwukrotnie względem y równość (8.25), otrzymujemy
n P
n
i=0
n P
i=0
i
n
i
ieiy (1 − x)n−i = ney (ey + (1 − x))n−1 ,
i2 eiy (1 − x)n−i = ney (ey + (1 − x))n−1 + n(n − 1)e2y (ey + (1 − x))n−2 .
Stąd dla x = ey , a więc dla x > 0 mamy
n
X
(8.26)
!
n
ixi (1 − x)n−i = nx,
i
i=0
n
X
i=0
!
n 2 i
i x (1 − x)n−i = nx + n(n − 1)x2 .
i
Powyższe równości zachodzą również dla x = 0. Z (8.26) i (8.24) dla x > 0 dostajemy
n P
n
i=0
=
i
(i − nx)2 xi (1 − x)n−i
n P
n
i=0
=
i
i2 xi (1 − x)n−i − 2nx
n P
n
i
i=0
2 2
ixi (1 − x)n−i + n2 x2
n P
n
i=0
nx + n(n − 1)x2 − 2nxnx + n x = nx(1 − x).
Dzieląc tę równość przez n2 dostajemy
n
X
i=0
!
n i
1
( − x)2 xi (1 − x)n−i = x(1 − x).
i n
n
Stąd i z nierówności x(1 − x) 6
(8.27)
n
X
i=0
n
i
!
1
4
i
−x
n
dla x ∈ [0, 1], mamy
2
xi (1 − x)n−i 6
1
,
4n
x ∈ [0, 1].
i
xi (1 − x)n−i
200
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Oznaczając
v !
u
i
u
n i
ai = − x t
x (1 − x)n−i ,
n
i
v !
u
u n
bi = t
xi (1 − x)n−i ,
i
i = 0, ..., n,
z nierówności Schwarza 8.8.1 dostajemy
n
X
i=0
!
i
n i
n−i
6
− x x (1 − x)
i
n
v
v
u n
u n 2
uX
uX i
t
i
n−i
− x x (1 − x) t
i=0
n
i=0
!
n i
x (1 − x)n−i .
i
Stąd, z (8.24) i (8.27) wynika (8.23). To kończy dowód.
Definicja modułu ciągłości funkcji. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b].
Modułem ciągłości funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy funkcję ω : (0, +∞) → R
określoną wzorem:
ω(δ) = sup{|f (x0 ) − f (x00 )| : x0 , x00 ∈ [a, b], |x0 − x00 | < δ},
gdzie δ > 0.
Uwaga 8.8.3. Definicja modułu ciągłości jest poprawna, bowiem funkcja ciągła na zbiorze
zwartym jest ograniczona.
Własność 8.8.4. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] oraz ω będzie modułem
ciągłości funkcji f na przedziale [a, b]. Wówczas lim ω(δ) = 0.
δ→0
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ f jest funkcją ciągłą na zbiorze zwartym
[a, b], więc jest to funkcja jednostajnie ciągła, a więc istnieje δ0 > 0 taka, że dla każdego
0 < δ < δ0 i każdych x0 , x00 ∈ [a, b] takich, że |x0 − x00 | < δ zachodzi |f (x0 ) − f (x00 )| < 2ε .
Zatem, z definicji modułu ciągłości mamy |ω(δ) − 0| 6 2ε < ε dla 0 < δ < δ0 . To daje tezę.
Lemat 8.8.5. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] oraz ω będzie modułem
ciągłości funkcji f na przedziale [a, b]. Wówczas dla każdych x1 , x2 ∈ [a, b] mamy
(8.28)
1
|f (x1 ) − f (x2 )| 6 (|x1 − x2 | + 1)ω(δ)
δ
dla każdego δ > 0.
Dowód. Weźmy dowolne x1 , x2 ∈ [a, b]. Jeśli x1 = x2 , to (8.28) jest oczywiste. Zatem,
bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że x1 < x2 . Weźmy dowolne δ > 0 i niech
n ∈ N będzie takie, że
(8.29)
1
1
(x2 − x1 ) < n 6 (x2 − x1 ) + 1.
δ
δ
Oczywiście taka liczba n istnieje. Połóżmy ai = x1 + ni (x2 − x1 ) dla i = 0, ..., n. Wówczas
x1 = a0 < a1 < · · · < an = x2 i z (8.29) mamy |ai −ai+1 | < δ, więc |f (ai )−f (ai+1 )| 6 ω(δ)
dla i = 0, ..., n − 1. Zatem,
|f (x1 ) − f (x2 )| = |(f (a0 ) − f (a1 )) + (f (a1 ) − f (a2 )) + · · · + (f (an−1 ) − f (an ))|
6 |f (a0 ) − f (a1 )| + |f (a1 ) − f (a2 )| + · · · + |f (an−1 ) − f (an )| 6 nω(δ).
8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI
Stąd i z (8.29) dostajemy |f (x1 ) − f (x2 )| 6 (|x1 − x2 | 1δ + 1)ω(δ), czyli mamy (8.28).
201
Definicja wielomianów Bernsteina. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [0, 1].
Wielomian
! n
X
n
i
Bn (x) =
f
xi (1 − x)n−i
i
n
i=0
nazywamy n-tym wielomianem Bernsteina dla funkcji f
(2 ).
Twierdzenie 8.8.6. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [0, 1]. Wówczas ciąg
{Bn }∞
n=1 wielomianów Bernsteina dla funkcji f jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w
przedziale [0, 1]. Ponadto
(8.30)
3
1
|Bn (x) − f (x)| 6 ω √
n
2
!
dla x ∈ [0, 1],
gdzie ω jest modułem ciągłości funkcji f na przedziale [0, 1].
Dowód. Wobec własności 8.8.4 i 8.2.8, wystarczy wykazać nierówność (8.30). Ze wzoru dwumiennego Newtona mamy
n
X
i=0
!
n i
x (1 − x)n−i = 1
i
dla x ∈ [0, 1].
Zatem z lematu 8.8.5 dla x ∈ [0, 1], dostajemy
n h i
P n
i
i
n−i |Bn (x) − f (x)| = f n − f (x) x (1 − x) i
i=0
n √ P
n
1
i
i
n−i
n − x x (1 − x)
.
6 ω √n 1 + n
i
i=0
Ponieważ z lematu 8.8.2 mamy
n
√ X
i
n i
1
x (1 − x)n−i 6
n
−
x
i n
2
i=0
!
dla x ∈ [0, 1],
więc dostajemy (8.30).
Udowodnimy teraz tytułowe twierdzenie tego punktu
Twierdzenie 8.8.7. (Weierstrassa). Każda funkcja f ciągła w przedziale domkniętym
[a, b] jest granicą pewnego jednostajnie zbieżnego w [a, b] ciągu wielomianów.
Dowód. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym [a, b]. Weźmy funkcję
ϕ : [0, 1] → [a, b] określoną wzorem
ϕ(t) = a + t(b − a)
2
Przyjmujemy tutaj 00 = 1
dla
t ∈ [0, 1].
202
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Łatwo sprawdzamy, że ϕ jest homeomorfizmem i funkcją odwrotną do ϕ jest wielomian
ϕ−1 (x) =
1
a
x−
,
b−a
b−a
x ∈ [a, b].
Zatem f ◦ ϕ jest funkcją ciągłą w przedziale [0, 1] i z twierdzenia 8.8.6 istnieje ciąg wielomianów {Bn }∞
n=1 zbieżny jednostajnie w przedziale [0, 1] do funkcji f ◦ ϕ. Oznaczmy
Mn = sup{|Bn (t) − f ◦ ϕ(t)| : t ∈ [0, 1]}
dla
n ∈ N.
Wówczas z własności 8.2.8 mamy
lim Mn = 0.
(8.31)
n→∞
Funkcje
1
a
x−
),
x ∈ R,
b−a
b−a
są wielomianami, ponadto Wn (ϕ(t)) = Bn (t) dla t ∈ [0, 1]. Zatem
Wn (x) = Bn (
sup{|Wn (x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} = sup{|Bn (t) − f ◦ ϕ(t)| : t ∈ [0, 1]} = Mn
dla n ∈ N.
Stąd, z (8.31) i własności 8.2.8 dostajemy, że ciąg wielomianów {Wn }∞
n=1 jest jednostajnie
zbieżny w [a, b] do funkcji f . To kończy dowód.
Uwaga 8.8.8. Można pokazać, że jeśli funkcja f : [0, 1] → R jest klasy C p , to dla ciągu
i-tych pochodnych, i 6 p, wielomianów Bernsteina, mamy Bn(i) ⇒ f (i) w [0, 1].
8.9
Twierdzenie Ascoliego-Arzeli
Definicja ograniczonej rodziny funkcji. Niech X ⊂ R, X 6= ∅ oraz niech R będzie
rodziną funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze X.
Mówimy, że rodzina R jest ograniczona w punkcie x0 ∈ X, gdy istnieje M ∈ R, że dla
każdej funkcji f ∈ R zachodzi |f (x0 )| 6 M .
Mówimy, że rodzina R jest ograniczona, gdy istnieje M ∈ R, że dla każdej funkcji
f ∈ R oraz każdego x ∈ X zachodzi |f (x)| 6 M .
Definicja jednakowo ciągłej rodziny funkcji. Niech X ⊂ R, X 6= ∅ oraz niech R
będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze X. Mówimy, że rodzina R ⊂
RX jest jednakowo ciągła, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdej funkcji
f ∈ R oraz każdych x0 , x00 ∈ X takich, że |x0 − x00 | < δ zachodzi |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.
Udowodnimy twierdzenie Ascoliego-Arzeli. Zacznijmy od dwóch lematów.
Lemat 8.9.1. Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na przedziale
ograniczonym P o końcach a, b ∈ R, a < b. Jeśli R jest rodziną jednakowo ciągłą, to
dla każdego ε > 0 istnieją l ∈ N, l > 2, liczby a0 , ..., al ∈ R, że a = a0 < a1 < · · · < al = b
oraz dla każdej funkcji f ∈ R i
(8.32)
dla każdego x ∈ P , jeśli ai−1 6 x 6 ai+1 , to |f (x) − f (ai )| < ε.
8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI
203
Dowód. Weźmy dowolny ε > 0. Ponieważ R jest rodziną jednakowo ciągłą, więc
istnieje δ > 0, że dla każdej funkcji f ∈ R oraz
dla każdych x0 , x00 ∈ P
takich, że |x0 − x00 | < δ
zachodzi |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.
Niech, wobec zasady Archimedesa, l ∈ N będzie taką liczbą, że
b−a
< δ.
l
Połóżmy
(b − a)i
,
l
Wtedy a = a0 < a1 < · · · < al = b oraz
ai = a +
|ai−1 − ai | < δ
dla
i = 0, ..., l.
i = 1, ..., l.
Zatem dla każdego x ∈ P , takiego, że ai−1 6 x 6 ai+1 mamy |x − ai | < δ i w konsekwencji
|f (x) − f (ai )| < ε. Reasumując mamy (8.32).
Lemat 8.9.2. Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na przedziale
ograniczonym P . Jeśli R jest rodziną jednakowo ciągłą i ograniczoną w pewnym punkcie x0 przedziału P , to R jest rodziną ograniczoną.
Dowód. Z założenia, że rodzina R jest ograniczona w punkcie x0 , istnieje M ∈ R, że
dla każdej funkcji f ∈ R zachodzi |f (x0 )| 6 M .
(8.33)
Weźmy ε = 12 i niech a, b ∈ R, a < b będą końcami przedziału P . W myśl lematu 8.9.1
istnieje l ∈ N, l > 2, liczby a0 , ..., al ∈ R, że a = a0 < a1 < · · · < al = b oraz
1
dla każdego x ∈ P , jeśli ai−1 6 x 6 ai+1 , to |f (x) − f (ai )| < .
2
Weźmy dowolną funkcję f ∈ R. Z (8.34) dostajemy, że
(8.34)
l
dla
i = 0, ..., l.
2
Istotnie, z wyboru liczb a0 , ..., an mamy, że istnieje i0 ∈ {1, ..., l−1}, że ai0 −1 6 x0 6 ai0 +1 .
Jeśli i > i0 , to z (8.34) i (8.33) dostajemy
|f (ai )| 6 M +
(8.35)
|f (ai )| 6 |f (ai ) − f (ai−1 )| + · · · + |f (ai0 ) − f (x0 )| + |f (x0 )| 6
l
+ M.
2
jeśli i < i0 , to analogicznie dostajemy
l
+ M.
2
Zatem udowodniliśmy (8.35). Weźmy dowolny x ∈ P . Wówczas istnieje i ∈ {1, ..., l − 1},
że ai−1 6 x 6 ai . Wówczas z (8.34) (8.35) wynika, że
|f (ai )| 6 |f (ai ) − f (ai+1 )| + · · · + |f (ai0 ) − f (x0 )| + |f (x0 )| 6
|f (x)| 6 |f (x) − f (ai )| + |f (ai )| 6
To daje tezę.
1
l
+M + .
2
2
204
ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Twierdzenie 8.9.3. (Ascoliego-Arzeli). Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych
określonych na przedziale ograniczonym P . Jeśli R jest rodziną jednakowo ciągłą i ograniczoną w pewnym punkcie x0 ∈ P , to z każdego ciągu (fn )∞
n=1 ⊂ R tej rodziny można
wybrać podciąg jednostajnie zbieżny.
Dowód. Ponieważ P jest przedziałem ograniczonym i R rodziną jednakowo ciągłą i
ograniczoną w punkcie x0 ∈ P , więc z lematu 8.9.2, rodzina R jest ograniczona.
Niech E = P ∩ Q. E jest zbiorem gęstym w P i przeliczalnym. Istnieje więc bijekcja
σ : N → E. Oznaczając em = σ(m) dla m ∈ N, mamy E = {em : m ∈ N}.
Weźmy dowolny ciąg (fn )∞
n=1 ⊂ R.
∞
Pokażemy, że istnieje rodzina podciągów (fnk ,j )∞
k=1 , j ∈ N, ciągu (fn )n=1 takich, że
(8.36)
(8.37)
każdy ciąg (fnk ,j )∞
k=1
jest podciągiem ciągu (fnk ,j−1 )∞
k=1
każdy ciąg (fnk ,j (em ))∞
k=1
dla j > 1,
jest zbieżny dla j > m.
Istotnie, ponieważ (fn (e1 ))∞
n=1 jest ciągiem ograniczonym, więc z twierdzenia Bolzano∞
∞
Weierstrassa 4.6.4 istnieje podciąg (fnk ,1 )∞
k=1 ciągu (fn )n=1 taki, że ciąg (fnk ,1 (e1 ))k=1 jest
∞
∞
zbieżny. Analogicznie istnieje podciąg (fnk ,2 )∞
k=1 ciągu (fnk ,1 )k=1 taki, że ciąg (fnk ,2 (e2 ))k=1
∞
jest zbieżny. Wtedy również ciąg (fnk ,2 (e1 ))n=1 jest zbieżny. Postępujęc dalej indukcyjnie,
dostajemy (8.36) i (8.37) (3 ).
∞
Weźmy podciąg (fnk )∞
k=1 ciągu (fn )n=1 określony wzorem fnk = fnk ,k dla k ∈ N. Po∞
każemy, że podciąg (fnk )k=1 jest jednostajnie zbieżny. Wystarczy pokazać, że podciąg ten
spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego (patrz twierdzenie
8.2.9). Weźmy dowolne ε > 0 i niech a, b ∈ R, a < b będą końcami przedziału P . Z lematu
8.9.1 istnieje l ∈ N, l > 2 oraz liczby a0 , ..., al ∈ R takie, że a = a0 < a1 < · · · < al = b
oraz
ε
dla każdego x ∈ P, jeśli ai−1 6 x 6 ai+1 , to |f (x) − f (ai )| <
6
0
00
dla wszystkich f ∈ R. Zatem dla każdej funkcji f ∈ R oraz każdych x , x ∈ P ,
ε
(8.38)
jeśli x0 , x00 ∈ [ai−1 , ai+1 ], to |f (x0 ) − f (x00 )| < .
3
Zbiór E jest gęsty w P , więc w każdym przedziale (ai−1 , ai+1 ), gdzie i ∈ {1, ..., l−1} istnieje
element bi zbioru E. W konsekwencji ciąg (fnk (bi ))∞
k=1 jest zbieżny, więc z własności 4.7.2
jest ciągiem Cauchy’ego. Zatem istnieje N ∈ N, że
ε
(8.39)
|fnp (bi ) − fnr (bi )| <
dla p, r ∈ N, p, r > N oraz i = 1, ..., l − 1.
3
Weźmy dowolny x ∈ P . Wówczas istnieje i ∈ {1, ..., l − 1}, że ai−1 6 x 6 ai+1 , zatem z
(8.39) i (8.38) dla p, r > N mamy
ε ε ε
|fnp (x)−fnr (x)| 6 |fnp (x)−fnp (bi )|+|fnp (bi )−fnr (bi )|+|fnr (bi )−fnr (x)| < + + = ε.
3 3 3
To daje tezę.
3
∞
Zakładając, że istnieje podciąg (fnk ,j )∞
k=1 ciągu (fnk ,j−1 )k=1 zbieżny w punktach e1 , ..., ej , wobec
∞
∞
ograniczoności ciągu (fnk ,j )∞
,
znajdziemy
podciąg
(f
)
nk ,j+1 k=1 ciągu (fnk ,j )k=1 , zbieżny w punktach
k=1
e1 , ..., ej+1 . W ten sposób określimy rodzinę ciągów (fnk ,j )∞
dla
j
∈
N
takich,
że każdy następny jest
k=1
podciągiem poprzedniego oraz każdy ciąg (fnk ,j (em ))∞
dla
j
>
m
jest
zbieżny.
k=1
8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI
205
Uwaga 8.9.4. W twierdzeniu Ascoliego-Arzeli 8.9.3 założenia o ograniczoności przedziału
P nie można opuścić. Istotnie, ciąg (fn )∞
n=1 określony wzorami fn (x) = 0 dla x 6 n,
fn (x) = x − n dla x ∈ (n, n + 1) oraz fn (x) = 1 dla x > n jest rodziną ograniczoną i
jednakowo ciągłą (dla każdego ε > 0 wystarczy przyjąć δ = ε). Ponadto n→∞
lim fn (x) = 0
dla x ∈ R oraz Mn = sup{|fn (x) − 0| : x ∈ R} = 1. Zatem wobec własności 8.2.8 ciąg
(fn )∞
n=1 nie jest jednostajnie zbieżny w R.
Wprowadza się również pojęcie jednakowej ciągłości w punkcie rodziny funkcji.
Definicja jednakowo ciągłej w punkcie rodziny funkcji. Niech X ⊂ R, X 6= ∅
oraz niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze X. Mówimy, że
rodzina R ⊂ RX jest jednakowo ciągła w punkcie x0 ∈ X, gdy dla każdego ε > 0 istnieje
δ > 0, że dla każdej funkcji f ∈ R oraz każdego x ∈ X takiego, że |x − x0 | < δ zachodzi
|f (x) − f (x0 )| < ε.
Uwaga 8.9.5. Można pokazać, następującą ogólniejszą wersję twierdzenia Ascoliego-Arzeli:
(Ascoliego-Arzeli). Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na
zbiorze zwartym X ⊂ R. Wówczas z każdego ciągu (fn )∞
n=1 ⊂ R tej rodziny można wybrać
podciąg jednostajnie zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ta jest jednakowo ciągłą w
każdym punkcie zbioru X i jest ograniczona w każdym punkcie zbioru X.