Zadania do wykładu III Z. 1. Podać część rzeczywistą i urojoną

Zadania do wykładu III
Z. 1. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych:
2
1 + 3i
√ .
(3 + 7i)(−2 + i) + (−5 − 2i)(−1 + 7i),
,
1 + 3i 1 − i 2
Z. 2. Rozwiązać równanie: z + 3z̄ = 2|z̄| − i, z ∈ C.
Z. 3. Znaleźć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki:
z − z̄
z + z̄
(1)
=5
− 3,
2i
2
(2) |z̄ − i| < 2.
√
Z. 4. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór liczb spełniających warunek: Arg(− 3 + i) ¬ Arg z ¬
Arg(−3 − i).
Z. 5. Obliczyć (− 21 −
√
3 9
2 i) .
Z. 6. Obliczyć pierwiastki trzeciego stopnia z liczby 1 − i.
p
√
√
√
4
Z. 7. Obliczyć: 2 − i 12, 3 −i, 4 −1.
Z. 8. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór
3π
¬ Arg (3zi) ¬ 2π .
A = z ∈ C : Re[(z + 1)(z̄ − 1)] ¬ 8 ∧ |z + 1 + i| ­ 1 ∧
2
Z. 9. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór
π
z
2
¬
A = z ∈ C : |Im z| ¬ [Re(z + 3)] ∧ Arg
.
1−i
4
Zadania do domu
Z. 10. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych:
4 − 3i
2−i
3+i
2
, z3 =
, z4 =
−
.
z1 = (3 − 2i)(−2 + 3i) + (5 − i)(−1 − 2i), z2 =
2 − 5i
1 − 2i
3 + 2i 3 − 2i
Z. 11. Dla jakich liczb x, y ∈ R zachodzą równości:
(1) (2 + yi)(x − 3i) = 13 − i;
(x = 32 ∧ y = 10
3 ) ∨ (x = 5 ∧ y = 1)
1 + yi
= 3i − 1 ?
x = 5 ∧ y = 17
(2)
x − 2i
Z. 12. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:
2+i
1−i
(1)
=
;
z = 76 − 21 i
z − 1 + 4i
2z + i
(2) z 2 − 4z + 13 = 0;
z = 2√− 3i ∨ z = 2 +√3i
2
(3) z + z + 1 = 0;
z = −1−2 3i ∨ z = −1+2 3i
2
(4) 4z = z + 4;
z=2
(5) zz + (1 − i)z = zi;
z = −1 ∨ z = 0
z = −1 ∨ z = −1 − i
(6) (1 + i)z + |z|2 = z + 1 + i.
Z. 13. Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
z − z̄
z + z̄
=5
− 3;
2i
2
Re (iz + 2) ­ 0;
Im (z 2 ) < 0;
z − i = z − 1;
4
= z̄;
z
z z̄ + (5 + i)z̄ + 1 = 0;
1 + iz
= 1;
1 − iz
1
Re
> 1;
z + zi
|z + 1 − 2i| = 3;
2 ¬ |z + i| < 4;
z+3 z − 2i ­ 1;
(7) Im
(8)
(9)
(10)
(11)
2
π
2π
< Arg z ¬
;
6
3
(13) Arg(z + 2 − i) = π;
π
(14)
¬ Arg[(−1 + i)z] ¬ π;
2
(12)
i
3π
=
;
z√
4
(16) Arg(− 3 + i) ¬ Arg z ¬ Arg(3 − i).
(15) Arg
Z. 14. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór
o
n
√
A = z ∈ C : Arg z ¬ Arg (2 − 2i 3) ∧ Im[(1 − z)2 ] ¬ 2 .
Z. 15. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór
n
o
√
A = z ∈ C : Arg z ¬ Arg(2 3 − 2i) ∧ Im[(z + 1)2 ] ¬ 2 .
Z. 16. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru:
A = z ∈ C : Re(z 2 ) = 2 ∧ [Im(z + i)]2 = 1 .
Z. 17. Obliczyć
√
√
(1)
−
(2)
− 12 − i
(3)
2
2
−i
√
2
2
3
2
−16
−11
√
(−1−i 3)15
(1+i)20
Z. 18.
(a) Obliczyć w =
(2 − 2i)10 .
√
3
(b) Wyznaczyć w.
(4) 1 + cos π2 + i sin π2
p
√
4
(5) q 3 + i
√
3−i
(6) 6 i−1
q√
3−i
(7) 3 −2+2i
6