1 Przekształcenia wyrażeń algebraicznych, wzory skró

MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
Oznaczenia: N = {1, 2, 3, . . .}
Z = {0,
( ±1, ±2, ±3, . . .} )
p
: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0
Q=
q
R = zbiór liczb rzeczywistych.
1
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
Natural
Zahl
Quotient
Real
Przekształcenia wyrażeń algebraicznych, wzory skróconego mnożenia.
Definicja 1.1. Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub kilka wielkości algebraicznych:
liczb, symboli literowych, połączonych znakami działań, takimi jak dodawanie
„+”, odejmowanie
√
n
n
„−”, mnożenie „·”, dzielenie „:”, potęgowanie „(·) ”, pierwiastkowanie „ ·” itp. oraz różnego
rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych.
√
√ 2
√
2
a
+
b
1
x+1
a −3
√ : 2 √ .
,
, √
Przykłady wyrażeń algebraicznych:
b−a
a−b
x x+x+ x x − x
Definicja 1.2. Tożsamość algebraiczna to taka równość dwu wyrażeń algebraicznych, że po
wstawieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa.
Podstawowe tożsamości algebraiczne - WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA:
(a ± b)2
(a ± b)3
(a + b + c)2
a2 − b 2
a3 − b 3
a3 + b 3
a4 − b 4
an − b n
(a + b)n
a2 ± 2ab + b2
a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a − b)(a + b)
(a − b)(a2 + ab + b2 )
(a + b)(a2 − ab + b2 )
(a − b)(a + b)(a2 + b2 )
(a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ), n > 1, n ∈ N
!
!
n
X
n!
n n−k k
n
.
=
a b , gdzie n ∈ N,
=
k
k
(n − k)!k!
k=0
=
=
=
=
=
=
=
=
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Definicja 1.3. Przekształceniem tożsamościowym nazywamy dowolne przekształcenie danego
wyrażenia algebraicznego, które produkuje wyrażenie tożsamościowo mu równe.
Przekształceniem wyrażeń algebraicznych nazywamy sprowadzenie ich do równoważnych (na ogół
prostszych) postaci, np. w celu skrócenia danego wyrażenia, usunięcia niewymierności z mianownika itp.:
√ √ √
√
a a+ b
a(a − b) − a2
b
a
√ =
=
,
.
√
ab − a2
a−b
a−b
a− b
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1