dy. (1) f(z) - kryakin.org

Lista Zadań 13
Analiza Matematyczna 2
Funkcje zespolone
Zera funkcji
Zadanie 1. Znaleźć zera. Wyznaczyć ich rzedy.
‘
(1) f (z) = 1 − ez ;
z8
(2) f (z) = z−sin
z;
(3) f (z) = (z 2 + 1)3 sh z;
(4) f (z) = z 4 + 4z 2 ;
(5) f (z) = z 2 sin z;
(6) f (z) = 1 + ch z.
Punkty osobliwe odosobnione
Zadanie 2. Wyznaczyć punkty osobliwe i określić rodzaj osobliwości.
(1) f (z) =
(2) f (z) =
(3) f (z) =
ez −1
z ;
1
;
z3
sin z
;
z 3 +z 2 −z−1
(5) f (z) =
(6) f (z) =
(7) f (z) =
(8) f (z) =
1
z2
(4) f (z) = e ;
1
1−sin z ;
1+cos z
z−π ;
z 2 −3z+2
;
z 2 −2z+1
sin z
.
z2
Residua
Zadanie 3. Znaleźć residua w punktach osobliwych.
(1) f (z) =
(2) f (z) =
(3) f (z) =
sin z 2
;
z 3 − π4 z 2
ez
;
(z+1)3 (z−2)
1
;
z 4 +1
(4) f (z) = z 3 sin z12 ;
ch z ;
(5) f (z) = (z 2 +1)(z−3)
(6) f (z) =
Zadanie 4. Obliczyć calki.
R
z
(1) |z|=4 ze2 −1
dz;
+z
R
(2) |z|=2 tg z dz;
1
R
2
(3) |z−i|= 3 ze2z+1 dz;
(4)
(5)
(6)
ez
.
z 3 (z−1)
ez
3 (z+1) dz;
|z|=2
z
R
1
2
dz;
1 z sin
R|z|= 2 sin πz z
√
|z|= 3 z 2 −z dz;
R
2
Zadanie 5. Obliczyć calki typu
(1)
(2)
R∞
x2 dx
0 (x2 +a2 )2 ,
R ∞ x2 +1
0 (x4 +1) dx;
R∞
−∞ R(x) dx,
R(x) :=
(3)
(a > 0);
(4)
Pm (x)
Qn (x) .
R∞
R0∞
0
dx
,
(x2 +a2 )(x2 +b2 )
dx
, (a >
(x2 +1)3
(a > 0, b > 0);
0).
R∞
R∞
Zadanie 6. Obliczyć calki typu 0 R(x) cos λx dx,
0 R(x) sin λx dx.
R∞
R ∞ sin x dx
ax dx
(1) 0 x sin
(3) 0 xx2 +4x+20
(a > 0, b > 0);
;
2 +b2 ,
x
R ∞ x cos x dx
R ∞ cos x dx
(2) 0 x2 −2x+10 ;
(4) 0 x2 +9 .
Zadanie 7. Obliczyć calki typu
(1)
(2)
R 2π
dx
,
x)2
R02π (a+b cos
dx
0 1−2p cos x+p2 ,
R 2π
0
R(cos x, sin x) dx.
(a > b > 0);
(0 < p < 1);
Zadanie 8* Obliczyć calki.
R ∞ sin axdx
(1) 0 x(x
(a > 0, b > 0).;
2 +b2 )2 ,
R ∞ sin xdx
(2) 0
x ;
(3)
(4)
R 2π
R02π
0
cos 2x dx
,
1−2p cos x+p2
dx
(a >
a+cos x ,
(p > 1);
1).
R∞
(3) 0 sin x2 dx;
R +∞ ax
(4) −∞ e1+edx
(0 < a < 1).
x ,