4-5. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. P

4-5. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa.
P-stwo warunkowe
1. W pudełku znajdują się 3 żetony, z których 1 jest obustronnie biały, drugi obustronnie
czarny a trzeci biało-czarny. Losujemy 1 żeton i kładziemy na stole (nie oglądając). Znaleźć
p-stwo tego, że niewidoczna strona żetonu jest czarna pod warunkiem, że widoczna jest
biała.
2. Rzucamy 5 symetrycznymi kośćmi do gry. Znaleźć p-stwo tego, że przynajmniej raz wypadło pojedyncze oczko pod warunkiem, że wszystkie wyniki były różne.
3. Wiadomo, że rzut 10-cioma kośćmi do gry dał co najmniej na 1 z nich 1 oczko. Znaleźć
p-stwo tego, że jedno oczko pojawiło się na dwóch lub więcej kościach.
4. W partii bridge’a pan X nie ma Asa. Znaleźć p-stwo, że jego partner:
(a) też nie ma Asa,
(b) ma 2 lub więcej Asów.
5
1
1
0
5. Mając dane P (A ∪ B) = , P (A ∩ B) = , P (B ) = obliczyć P (A), P (B), P (A|B).
6
3
2
2
1
1
6. Obliczyć p-stwo zdarzenia A wiedząc, że P (B) = , P (A|B) = , P (B|A) = .
5
4
5
P-stwo całkowite i wzór Bayesa.
1. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy
kostką. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym
razie losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest p-stwo wylosowania kuli białej?
2. Dane jest 10 urn. 2 urny zawierają po 30 kul białych, 3 urny zawierają 30 kul czarnych i
5 urn zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Spośród tych 10 urn wybieramy 2, a następnie
z każdej z nich po 10 kul. Znaleźć p-stwo tego, że przynajmniej 1 kula będzie biała.
3. Z talii 52 kart losujemy 2 karty i odkładamy je na bok. Następnie z pozostałych kart
losujemy kolejno 3 karty, przy czym po każdym losowaniu wylosowaną kartę dokładamy
do talii i tasujemy. Obliczyć p-stwo tego, że wszystkie 3 wylosowane w drugim kroku karty
będą asami.
4. Każda z N + 1 urn zawiera N kul. Urna numer k zawiera k kul białych i N − k kul
czarnych, gdzie k = 0, 1, . . . , N . Z losowo wybranej urny losujemy n razy po jednej kuli
ze zwracaniem. Oblicz p-stwo tego, że wszystkie wylosowane kule będą białe.
5. Znaleźć p-stwo wybrania przedmiotu I gatunku, jeśli jest 5% braków, a 20% przedmiotów
dobrych jest II gatunku.
6. W urnach o numerach 1-9 znajdują sie po 4 kule białe i 6 czarnych, natomiast w 10-tej
urnie jest 10 kul białych i 10 czarnych. Z losowo wybranej urny wylosowano 2 kule i
okazały się białe. Oblicz p-stwo tego, że pochodziły one z 10 urny.
7. W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe. Rzucono
10-krotnie jedną losowo wybraną monetą i otrzymano 10 orłów. Obliczyć p-stwo tego, że
rzucano monetą z orłami po obu stronach.
8. Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na 1000, daje tak zwaną
fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych (u chorego daje zawsze odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał odpowiedź pozytywną, jest faktycznie
chora?
Praca domowa
1. Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 kule czarne przełożono dwie wyciągnięte losowo kule
do urny zawierającej 4 białe i 4 czarne kule. Obliczyć p-stwo wyciągnięcia białej kuli z
drugiej urny.
2. Wiadomo, że 5% studentów umie odpowiedzieć na wszystkie pytania egzaminacyjne ,
30% umie odpowiedzieć na 70% pytań egzaminacyjnych, 40% umie odpowiedzieć na 60%
pytań, 25% umie odpowiedzieć tylko na 50 % pytań. Z zespołu tego wybrano w sposób
losowy studenta. Obliczyć p-stwo tego, że odpowie on na zadane pytanie.
3. 5 mężczyzn na 100 oraz 25 na 10000 kobiet jest daltonistami. Losowo wybrano osobę i
okazało się, że nie odróżnia kolorów. Jakie jest p-stwo, że był to mężczyzna? Przyjmujemy,
że liczba kobiet jest równa liczbie mężczyzn.
4. Pośród czterech monet dwie są symetryczne (p-stwa wyrzucenia orła i reszki są jednakowe
i wynoszą 1/2 ). P-stwa wyrzucenia orła i reszki trzecią monetą wynoszą odpowiednio 1/3
i 2/3, a czwartą odpowiednio 3/4 i 1/4. Wybieramy losowo jedną monetę i rzucamy nią
dwukrotnie. Oblicz p-stwo, że:
(a) wypadną dwa orły,
(b) wybrano monetę trzecią, jeżeli wiemy, że uzyskano 2 orły w rzutach.
5. Mamy 2 urny typu A1 zawierające po 3 białe i 7 czarnych kul, 3 urny typu A2 zawierające
po 2 białe, 3 czarne i 5 zielonych kul oraz 5 urn typu A3 zawierających po 1 białej i 9
czarnych kul. Wyciągnięto kulę, która okazała się biała. Jakiemu typowi urny odpowiada
największe p-stwo pochodzenia tej kuli?