13 209. Obliczanie pochodnych funkcji uwikłanych. Rozumowania

13
§ 2. Funkcje uwikłane
209. Obliczanie pochodnych funkcji uwikłanych. Rozumowania, za pomocą których udowodniliśmy twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanych nie dawały żadnego ogólnego wyobrażenia o tym, jak obliczać pochodne rzędu pierwszego funkcji uwikłanej. O pochodnych wyższych rzędów w ogóle nie było mowy.
Zatrzymamy się teraz specjalnie na tych ważnych zagadnieniach.
Zaczniemy od najprostszego przypadku, gdy dane jest jedno równanie (1).
Będziemy zakładali, że w otoczeniu rozpatrywanego punktu spełnione są wszystkie założenia twierdzenia II, szczególnie ważną rolę będzie odgrywał w dalszym
ciągu warunek Fy′ 6= 0.
Pokażemy prosty sposób obliczania pochodnej y ′ , jeżeli z góry wiadomo, że
pochodna ta istnieje. Wiemy już, że jeżeli wstawimy funkcję uwikłaną y = f (x)
w równanie (1), to otrzymamy tożsamość (patrz (2), ustęp 205). Zatem jeżeli
przez y rozumieć tę własność funkcji x, to funkcja F (x, y) występująca z lewej
strony równania (1) staje się funkcją złożoną zmiennej x, równą tożsamościowo
zeru. Jej pochodna względem x jest wówczas także równa zeru. Jeśli zróżniczkujemy tę funkcję według reguły z ustępu 181, otrzymamy
(14)
Fx′ (x, y) + Fy′ (x, y)y ′ = 0(6 ).
Stąd
y′ = −
(15)
Fx′ (x, y)
,
Fy′ (x, y)
bo Fy′ 6= 0. Otrzymaliśmy znany nam już wzór (3) z ustępu 206.
Możemy teraz pójść dalej. Jeżeli funkcja F (x, y) ma ciągłe pochodne drugiego rzędu, to wyrażenie stojące z prawej strony wzoru (15) można zróżniczkować
względem x i tym samym istnieje pochodna funkcji y ′ , tzn. druga pochodna y ′′
funkcji uwikłanej y. Wykonując różniczkowanie i podstawiając za każdym razem
zamiast y ′ wyrażenie (15) znajdujemy
y ′′ =
′′
′′ ′
(Fxy
+ Fy′′2 y ′ )Fx′ − (Fx′′2 + Fxy
y )Fy′
(Fy′ )2
=
′′
2Fx′ Fy′ Fxy
− (Fy′ )2 Fx′′2 − (Fx′ )2 Fy′′2
(Fy′ )3
Widać stąd, że druga pochodna jest funkcją ciągłą zmiennej x.
Jeżeli funkcja F (x, y) ma ciągłe pochodne rzędu trzeciego, to oczywiście istnieje trzecia pochodna y ′′′ funkcji uwikłanej y. Obliczyć ją można różniczkując
bezpośrednio wyrażenie otrzymane dla y ′′ . Ogólnie za pomocą indukcji matematycznej łatwo można dowieść, że jeżeli istnieją ciągłe pochodne cząstkowe funcji
F (x, y) aż do rzędu k włącznie (k > l), to istnieje ciągła pochodna rzędu k funkcji
uwikłanej.
Teraz, gdy sam fakt istnienia kolejnych pochodnych funkcji uwikłanej jest
ustalony, możemy obliczyć je prościej różniczkując odpowiednią liczbę razy tożsamość (14) i pamiętając przy tym, że y jest funkcją x. Na przykład pierwsze
6 Tego samego typu rozumowanie przeprowadziliśmy właściwie już wyżej. Patrz notka na
str. 405.
14
VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowanie
różniczkowanie tej tożsamości daje
(16)
′′ ′
′′
y + (Fxy
+ Fy′′2 y ′ )y ′ + Fy′ y ′′ = 0,
Fx′′2 + Fxy
skąd (założyliśmy przecież, że Fy′ 6= 0!):
y ′′ =
′′ ′
Fx′′2 + 2Fxy
y + Fy′′2 y ′2
Fy′
.
Podstawiając tu zamiast y ′ wyrażenie (15) wracamy do znalezionego już wyrażenia dla y ′′ itd.
Analogiczna sytuacja jest w przypadku równania (4) o większej liczbie zmiennych. Zakładamy teraz, że spełnione są założenia twierdzenia III. Jeżeli przez
y rozumieć funkcję uwikłaną określoną równaniem (4), to równanie (4) staje
się tożsamością. Ustalmy wartości zmiennych x2 , x3 , . . . , xn i traktując y jako
funkcję jednej tylko zmiennej x1 zróżniczkujmy tę tożsamość względem x1
Fx′ 1 + Fy′ ·
∂y
= 0,
∂x1
skąd
F′
∂y
= − x′1 .
∂x1
Fy
Zupełnie tak samo otrzymujemy
F′
∂y
= − x′2 ,
∂x2
Fy
...,
F′
∂y
= − x′n ,
∂xn
Fy
itd.
Jeżeli potrzebne są wszystkie pochodne rzędu pierwszego, drugiego, . . . , to
prościej jest obliczyć najpierw dy, d2 y, . . . Zróżniczkujmy tożsamość (4) biorąc różniczki zupełne obu stron, tzn. przyrównajmy do zera różniczkę zupełną
jego lewej strony (korzystając przy tym z niezmienniczości postaci pierwszej
różniczki, ustęp 185):
∂F
∂F
∂F
∂F
dx1 +
dx2 + · · · +
dxn +
dy = 0.
∂x1
∂x2
∂xn
∂y
Tym samym
∂F
∂x
d = − 1 dx1 − · · · −
∂F
∂y
∂F
∂xn
dxn .
∂F
∂y
Jednocześnie
∂y
∂y
dx1 + · · · +
dxn .
∂x1
∂xn
Wobec dowolności różniczek dx1 , dx2 , . . . , dxn wynika stąd, że
dy =
∂F
∂y
∂x
=− 1,
∂F
∂x1
∂y
...,
∂F
∂y
∂x
=− n,
∂F
∂xn
∂y