Skale pomiaru cech (w ujęciu zwężonym) a zagadnienie

flUCE
JUOXO'I!
BOIOifii.!Z.BJ
l'r 395
1987
Zygmunt Boboweki, Marek Wal ..iak
SKALE POKURU CBCH /W UJłOIU ZQ~BYII/ J. ZAGADBIDU
IORIALIZJ.OJI OlCH
Podatawo~ celem no~isacji cech w wielowymiarowej analis1e porównawczej jest sprowadzenie i ch wartości do wielkości niemianowanych
/ a tym samym wprowadzenie ich add,-tywoośc1/ oras ujednolicenie ich rzę­
dów wielkośc i.
Wliteratur~• [1; ); S; 6; 7] w tym celu wykorzystuje eit r6tnt
formuły narmalizacyjoe o postaci liD1owej: 1
z 1 j • b xij + a,
/1/
b>O , a E R,
gdzie: xij /zij/ - realizacje /unormowana realizac j e/ j-taj cechy
w i-tym obiekcie.
Szczególnymi przypadkami wzoru / 1/ aą nasttpuj~ca formuły:
-1
-1
zij .. ej xij - xj aj '
-1
-1
zij • rj x 1 j - ij rj ,
-1
xij xijJ rj '
-1
zij : x 0 j xi j' a • O.
-1
zi j = rj
We wzorze / 5/ x 0 j oznacza
motna róioie defin iować:
x
x0 j
po dstaw~
·m {
normalizacji j-tej cechy,
03 = sj ; x 0 j = rj :
2
mp
{xi jJ ;
x 0 j • min { x 1 jJ
/2/
131
/4/
/5/
którą
/ 6-7/
/8-9/
Gdy jedno z zadań wielowymiarowej a nalizy por ównawcze j dotyczy
wyznaczania syntetycznych mierników rozwoju przyjoto za ł o teoie , t e
wartości cech przed normalizacją spełnia ją postula t jadbolitej pref erencji.
/10-11
/12/
Ponadto we wzorach /2-12/ prsJjoto oznaczenia:
n
-Xj • 1 'L
n i•1
aj •
Xij'
&E
/xij - ij/210,5'
i . 1,2, •. . ,n- numer obiektu
l
~ 1,2, ••• ,m- numer cechy.
.1
artykułu jest wykazanie wpływu skal pomiaru cech /w ujęciu
na sagadnienie wyboru tormuły normalizacji cech. Pomiar w
znaczeniu zwożonym /por.[2, e. 238] l obejmuje skalę interwałową /przedziałowf4/ oraz ilorazow4 /stosunkową/. Własnością cech liczbowych mierzonych na skali interwałowej lub ilorazowej jest możliwość jednoznacznego uporządkowania ich wariantów /realizacj i/ na osi liczbowej /przez
wprowadzenie stałej jednostki miary/.
Zasadniczym ograniczeniem skali interwałowej jest umowność punktu
zerowego,co sprawia, że pewnych operacji arytmetycznych /mnożenie,
dzielenie/ nie można wykonywać na wartościach cech z tej skali. Operacje te można jednak wykonać na różnicach między parami tych wartości
cech. Dopuszcza się na tej skali następuj~ce relacje: większy - mniejSZJ, równość różnic bezwzględnych, r6wnoś6 - nierówność. Wartości
[xij}mogą być przekształcone na inne z tej skali {z 1
tylko za pomoc4
równania liniowego:
Celem
zwężonym/
jJ
ziJ • b x 1 j + a ,
b
>O
,
a
e
R•
/13/
?r~eksztełce nie /13/ nie zmienia proporcjonalności różnic między pomiu:rami.
Sicala il orazo"'a charRkteryzuje sio poe~e.daniom absoll.tnego punktu
~erowego /tzn. zero jodnostronnię ogrer.lcze jej zul~e /. Wartości
fx 1 jj mogą być trnnaformowano na inne ;: te~ skali { z 1
tyll:o ze pomocq
jJ .
przekształcenia :
43
b.> c.
Przekształcenie
/14/ nie zmienia ilorasu .,nitów obserwacji dotycz~oych dowolnych, ustalonych par obiekt6w2 •
Zbiór cech charakteryzu.j~cy pordwnywane obiekty aote aawierac! cechy mierzone na skali /w przypadku pomiaru • snaczeniu zwołonym/:
a/ tylko ilorazowej,
b/ ilorazowej i przedziałowej,
c/ tylko przedziałowej.
Na og6ł w badaniach ekonomicznych obiekty opisane e' cechami aierzonymi na skali ilorazowej. Spot1ka sit •1tuac je. te por6wD1wane obiekty opisane s~ za pomocą cech mierzonych w r6tnych •~lach. natomiaet rzadko 11&1113 do ez;ynienia z eytuacj' przedstawion~ w punkcie e.
W zwi,zku z tym, te w analizie por6wnawc&ej konieczna jest agregacja cech /np. przy badaniu podobieństw mitdzy obiektami lub wy&nacaaniu s;yntet'fcznych miernit6w rozwoju/. wi to unormowane warto.ci cech
muez' by~ niemianowane oraz muBS4 posiada~ ujednolicone ratdy wielkoa§ei. O Ue wprowadzenie pierwszego W&l'Wlku nie jest zb;rt trudne /patrz
formuły 2-5/, o tyle ujednolicanie ich rztd6w wielko4oi jest motliwe
tylko wtedy. gdy unormowane wartości cech btd' praed8tawione na jednej
skali pomiarowej. Wiadomo [9.s. 17] , te istnieje jedynie .ołl1wo4ć
przej4cia ze ekali silniejesej /etoeunkowej/ na eł:abes' /prsedsialowll/.
Przejście na skalt d:absz4 wi4!e sio zawsze z pewn4 utrat4 1Dfor.acj1.
W przypadku zbioru zawierającego ceo~ mierzone na skali przedziałowej
i etosunt.owej /punkt b/ musimy sit pogo<lz16 11 tą strat' info~cji, ab1
dokonać ll8regacji cech. Zatem poprawna fol"'IUl:a aaetosowana do no!W&lizacji cech ze zbioru w sensie /b/ powinna dać wartości katdaj z cech
przedstawione na skali przed.ziałowej.
Przekształcenie l iniowe /1)/ właściwe dla skali przedziałowej real~
zuj' formuły /2/,/J/ i /4/. Zastosowane dla cech ze skali ilerasowej
sprowadzają Je na skalo przedziałow4 pr~ez wprowadzenie umownego punktu
zerowego. Zastosowane zaś dla cech 11e skali przedziałowej ujednolicają
ich umowny punkt zerowy. Dla formuł /2/ i /3/ umowny punkt zerowy
określony zostaje na poziomie wartości średniej ceohf, a dla formułJ
/4/ - na poziomie wartości minimalnej.
Logiczne jest rdwniet, te dla eeoh ze zbioru zawierając ego t'flko
cechy mierzone na skali przedziałowej /punkt c/ właś ciwe a, równieś
formuły normaliaaeyjne okre ślone wsorami /2/./3/ i /4/.
2 Dodatkowe informacje opracował Stevena [2; 4] Jeet to seatawienie
miar stat;ystycuycb przydatnych w przypadku Jloaiaru dokonywanap .na skalach r6tnych rodzaJ6• .
Po~oetałe for.uły nie mogą być zastosowane dla sytuacji prsedetawionej w punkcie b, nie zapewniają bowie• sprowadzenia cech do jednej
skali pomiarowej. Bis BD&jdają one r6wniet aaatoaowania dla cacb miaraonych tylko na skali przedziałowej dlatego, te nie zapewniają ujednolicenia rsodów wielkości poaaczególnyoh ceob.
Kolftjny wniosek wyaikająoJ • roswata6 jeat naatopający. Gdy w
sbiorse aą t,lto osoby miersona na skali ilorazowej, to nalety etosowa6 tormuły normowania określone ogólnym wzorem /5/. Zastosowanie do
tego prsypadtu jednej z formuł /2/-/4/, aczkolwiek zupełnie poprawne,
spowoduje jadbak sbtdną stratę informacji wskutek przejścia wezyatkich
cech na skalę przedziałową. Strata informacji przeja•ia aiv m.in. tym,
te dla cech ze skali przedziałowej nie wolno atoaowaó epoś~d miar
atatystycsnyeh /por.[2,s. 244]/:
a/ aiar połolenia- średniej gao•etryoaaej, ~radniej ~onicznej,
b/ lliar rosp.ro..eaia - wap6ło.,nn1ka mienno~i.
Ponadto to~ /2/,/3/ 1 /4/ powodują ujednolicenie wszyatkiob
oech nie tylko pod wzgltdem rzędu wielko~oi, ale r6.niet pod wzglodem
poziomu zmienności. Podobaą włatoiwoś6 posiada tormula /5/ o podetawach /6/ i /7/. Po~ /3/,/4/ i /7/ ujednolicą rosatop uaormowanycb
warto~ci wasyatkich cech, natomiast tor.uly /2/ i /6/ ich odebylenie
etandardowe /por. np.(5]/. Oznacza to wyeliainowanie oryginalnej
aienności ceob jako podstawy r6tnicowania obiektów.
Literatura
[1 J
A brah a m o w i c z
Wrooław
(2]
[JJ
[41
(5]
[6)
[7]
[al
•·' Xonatrukoja syntetyosnycb mierników
ros•oju w świetle twierdzenia Arrowa. Prace Naukowe AE, nr 311,
1985.
A o kot t
R.L.: Decyzje optymalne w badaniach atosowanyob.
Warszawa: PW5 1969.
B o r y a T.: Kategoria jakości w statystycznej analizie pordwnawczej. Prace Naukowe AE, nr 284, Wroc~aw 1984.
O h oj n i ck i z., O z y t T.t Metody taksonomii numeryeznej
w regionalizacji geograficznej. Warszawa: PWW 1973.
J a j u g a K.: Metody analizy wielowymiarowej w ilościowych badaniach przeetrzennych. Praca doktorska, AE •• Wrocławiu, 1981.
X o l o n k o J.: Analiza dyskryminacyjna i jej zastosowania w
ekonomii. Warszawa: PWN 1980.
l o w ak E.: ~etodykB statystycznych analiz porównawczych efekt,.ności obiektó• rolniczych. Prace 1;auko11e AB, nr 292. Wrocław
1985.
R o z i n B. B.: Teoria rozpozna•&Dia o brasów w badani.aeh ekonocicz~h. Ti'arn.awa; PWJJ 1979.
45
(9] S t e c s k o w s k 1 J.,
8Jlalizy cech
jakc.ścio1r1ch.
Z e l i a~ A.: Statystycane metody
Warszawa: PWE 1981.
SCUES OIJ OASUREMEN'l' OP CBA.RACT.ERISTICS
/lURROWED APPROACH/ AliD TBE PROBLD
OIJ liORIIALIZATIOll OP CHARACTBRISTICS
Su11mar1
Tbe article diacusses tbe problem ot how the acalaa ot meaaure..nt
ot charaeter1st1cs influence the choice of the etatemant of charaoteriatic normalization. Por tbe character1at1ce from tba set 1nclud1Dg
tboae cbaracteristica wh1ch ara measured on interval and quotient acalee or only on interval scala, tbe proper fermulas are 2
3 nad 4 •
If the set includea only characteria~ice trom quotient acaie, atatemente deaoribad by tormula 5 shoul4 be used.
LES ~HELLES DB LA KESURE DES TRAITS ET LB PROBLDE
DE LA IORMALISATIOI DBS TRAITS
Cet article parle du probleme de l'influence dea echelles de la
mesure dea traita aur le oho~ dea modelea de la normal1aat1on dea
t~ai~a. ;ea formulee /2/,/3/,/4/,aont apecifiquea pour lea tra1ta meauras a l'echelle d'intervalle ou a oelle d'intervelle et de quotient.
Dana le osa ou l'enaembl~ ne cont1ent que lee traite de l'ecbelle de
quotient 11 raut appliquer la tormule /5/.
LIKAJI.bl 113MEPEHIDl rrn13HAKOB A BODPOC BOPM1JIHSAIU1K nPKSHAKOB
PesllMe
B OT8Tb8 38Tp8rKB86TCR npo6neM8 BnRHHKfl WK8n H3W6p8BHR npKBB8KOB
BB BY60p ~pwynY BOpWanHSQUHM npKSH8KOB. Ąnfi npK3H8KOB HS MHOK6CTB8
COA6P*S~ero Te, KOTOpYe HSV6PflllTCR C flOWO~Il mKBXY C HBT8pB8nSVK H ąac•
TKYMH KnM TOnbKO KBT6pBanbBOM mKS~ CBOHCTB8HY ~opuynY (2), (3) H (4).
ECnK MB048CTBO oxnzqaeTCR TOnDKO npK3H8KBUK H3 roKSnY C ąaCTHYW HaAO
npKVeHRTb ~opuyXY onpe~eneauwe o6meU ~opwyno~ (5).