Analiza matematyczna II.1

Analiza matematyczna II.1
Zadania – część 13
1. Rozstrzygnąć, czy dla dowolnej funkcji f : R → R warunek:
{x ∈ R : f (x) = c} ∈ L1
dla każdego c ∈ R
jest równoważny mierzalności w sensie Lebesgue’a funkcji f .
2. Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru X i niech f : X → [0, ∞), g : X → (0, ∞)
będą funkcjami F -mierzalnymi. Dowieść, że funkcja f g jest także F -mierzalna.
3. Niech (Ai )i∈I będzie rodziną parami rozłącznych, mierzalnych w sensie Lebesgue’a
podzbiorów przestrzeni Rk , z których każdy ma miarę dodatnią. Wykazać, że |I| ¬ ℵ0 .
4. Pokazać, że prostą rzeczywistą można przedstawić jako sumę dwóch rozłącznych zbiorów, z których jeden jest pierwszej kategorii (czyli jest przeliczalną sumą zbiorów nigdziegęstych), a drugi jest miary zero.
5. Niech f, g będą rzeczywistymi funkcjami mierzalnymi określonymi na pewnej przestrzeni z miarą X i niech Φ : R2 ⊇ f (X) × g(X) → R będzie odwzorowaniem ciągłym.
Pokazać, że funkcja h : X → R określona wzorem
h(x) = Φ(f (x), g(x)) dla x ∈ X
jest funkcją mierzalną.
6. Niech A będzie zbiorem tych liczb rzeczywistych x, które w rozwinięciu dwójkowym
mają postać x = 0, c1 c2 . . ., przy czym c1 = c3 = c5 = . . . = 0. Wykazać, że A jest zbiorem
zwartym miary Lebesgue’a zero.
7. Niech A ⊂ Rk będzie ograniczonym zbiorem wypukłym. Dla każdego ε ­ 0 zdefiniujmy
Aε = {x ∈ Rk : dist(x, A) ¬ ε}.
Wykazać, że ε 7→ λk (Aε ) jest funkcją wielomianową stopnia co najwyżej k zmiennej ε.
8. Wykazać twierdzenie Steinhausa dla algebraicznej różnicy A − A = {x − y : x, y ∈ A},
które mówi, że jeżeli A ⊂ Rk jest zbiorem mierzalnym o dodatniej mierze Lebesgue’a, to
int(A − A) 6= ∅.
9. Postępując według podanego poniżej planu, wykazać twierdzenie Steinhausa dla algebraicznej sumy zbiorów A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}, które mówi, że jeżeli A, B ⊂ Rk
są zbiorami mierzalnymi o dodatniej mierze Lebesgue’a, to int(A + B) 6= ∅:
(1) dla dowolnych zbiorów mierzalnych C, D, E ⊂ Rk , przy czym λk (C) < ∞, zachodzi
nierówność
|λk (C ∩ D) − λk (C ∩ E)| ¬ λk (D4E);
(2) funkcja f : Rk → R określona wzorem
f (t) = λk (A ∩ (t − B)) =
Z
Rk
1A (x)1t−B (x) dx
(gdzie 1 oznacza funkcję charakterystyczną) jest ciągła;
(3) określona wyżej funkcja f spełnia
Z
Rk
f (x) dx > 0,
a zatem przyjmuje wartości dodatnie na pewnym niezdegenerowanym przedziale.
10. Udowodnić, że jeżeli funkcja f : R → R spełnia równanie f (x + y) = f (x) + f (y) oraz
istnieje taka funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a g : R → R, że f ¬ g, to istnieje takie
c ∈ R, że f (x) = cx dla każdego x ∈ R.
11∗ . Niech f : [0, 1] → R będzie funkcją ciągłą spełniającą f (0) = f (1) = 0. Udowodnić,
że zbiór
{h ∈ [0, 1] : f (x + h) = f (x) dla pewnego x ∈ [0, 1]}
jest mierzalny w sensie Lebesgue’a, a jego miara wynosi co najmniej 21 .
12∗ . Niech V będzie niemierzalnym zbiorem Vitaliego leżącym na prostej rzeczywistej
(tzn. V zawiera dokładnie po jednym elemencie z każdej klasy abstrakcji relacji ∼ zdefiniowanej jako: x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q). Udowodnić, że każdy mierzalny w sensie Lebesgue’a
podzbiór zbioru V jest miary zero.
13∗ . Udowodnić następujące wzmocnienie twierdzenia będącego treścią zadania 4: Niech
m, n ∈ N, niech E ⊂ Rm będzie dowolnym zbiorem, a f : E → Rn funkcją ciągłą. Istnieje
wówczas taki rozkład E = A ∪ B na dwa rozłączne zbiory A i B, że A jest pierwszej
kategorii, a f (B) jest zbiorem mierzalnym o n-wymiarowej mierze Lebesgue’a zero.
2