Lista

Lista nr 13. Całka oznaczona i jej zastosowania. Całki niewła ciwe.
Zad 1. Obliczy całki oznaczone:
π
1
1
5
−1
0
3
1) x 3 dx; 2) x 1 − x 2 ; 3)
π
4
4
xdx
; 4) x sin 2 xdx; 5)
x2 + 5
0
2
x 2 − 2 x + 1dx; 6) sin 2 x cos xdx;
0
0
π
1
ln 2
2x5 − x3 + x
ex − 1
7)
dx
;
8
)
dx; 9)
x2 + 1
ex + 1
−1
− ln 2
Zad 2. Obliczy całki niewła ciwe:
3
1)
0
dx
; 2)
x
9
0
3
dx
; 3)
x −1
Zad 3. Wyznaczy warto
1) f ( x ) =
1
0
dx
; 4)
x x
+∞
1
2
−
5 x cos x 2 dx.
π
2
2 1
+
x x2
2
+∞
xdx
dx ; 5)
; 6)
x4 + 1
−∞
+∞
e − x dx.
0
redni funkcji we wskazanym przedziale:
x
π π
w < 0,2 >; 2) f ( x ) = sin 3 x w < 0, π >; 3) f ( x ) = cos x w < − , >;
2
1+ x
2 2
4) Samochód od chwili startu poruszał si ruchem jednostajnie przy pieszonym z przy pieszeniem
a1=2m/s2 . Po t1=10s zacz ł porusza si ze stał szybko ci . Po dalszych t2=60s zacz ł hamowa z
opó nieniem a2=1m/s2 a do zatrzymania. Obliczy redni szybko tego samochodu.
Zad 4. Obliczy pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi:
1) y = 4 x − x 2 , y = 0; 2) y = 3 x 2 − 4 x, x = −1, x = 1 i osi Ox; 3) y = sin x , y = cos 2 x i osi Oy ( x ≥ 0);
4) y =
7)
1
, y = 0; 5) y =
x +1
2
x = a cos t
y = b sin t
1
5
( x − 3)
2
, y = 0, x = 1, x = 4; 6)
x = r cos t
y = r sin t
, 0 ≤ t ≤ 2π ;
, 0 ≤ t ≤ 2π ; 8) r = a (1 + cos ϕ ), 0 ≤ ϕ ≤ π ; 9) r = e k ϕ , k > 0, 0 ≤ ϕ ≤ π .
Zad 5. Obliczy długo
łuku krzywych danymi równaniami:
π 2π
1 2
x od wierzcholk a do punktu o wsp. x = 1; 3) y = ln(sin x ) w < ,
>;
2
3 3
x = r cos t
x = r (cos t + t sin t )
x = a cos 3 t
4)
, 0 ≤ t ≤ 2π ; 5)
, r > 0, 0 ≤ t ≤ π ; 6)
, a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π ;
y = r (sin t − t cos t )
y = r sin t
y = a sin 3 t
1) x 2 + y 2 = r 2 ; 2) y =
7) r = aϕ , a > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; 8) r = a (cos ϕ + 1), − π ≤ ϕ ≤ π .
Zad 6. Obliczy obj to i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox obszaru
ograniczonego krzywymi:
1) y = cos x, 0 ≤ x ≤
4) y = tgx, 0 ≤ x ≤
π
π
4
2
; 2) x 2 − y 2 = 9, 3 ≤ x ≤ 3 2 ; 3) y = 1 − x 2 , y = x 2 + 2, x = −1, x = 1;
; 5)
x = a (t − sin t )
, a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π ;
y = a (1 − cos t )
Zad 7. Jak prac nale y wykona , aby ciało o masie m podnie z powierzchni Ziemi na wysoko h?
(Wskazówka Na wysoko ci x nad powierzchni Ziemi na ciało działa siła grawitacyjna:
GmM
F ( x) =
( R + x )2
.
Zad 8. Samolot zwiadowczy S i rakieta R, która ma go zestrzeli , poruszaj si po prostej. W chwili t=0
odległo mi dzy nimi wynosiła d=9[km]. Szybko samolotu w chwili t, gdzie t>=0, wyra a si wzorem
vs (t)=1+16t [km/min], a szybko rakiety vR (t)=1+4t3 [km/min]. Po jakim czasie rakieta trafi w samolot?
y = r 2 − x 2 wzgl dem osi Ox przy
Zad 9. Obliczy moment bezwładno ci łuku półokr gu
zało eniu, e g sto g=1.
Zad 10. Obliczy współrz dne rodka ci ko ci łuku asteroidy
przy zało eniu, e g sto g=const.
2
2
2
x 3 + y 3 = a 3 , a > 0, 0 ≤ x ≤ a,
Zad 11. Obliczy moment statyczny wzgl dem osi Oy łuku cykloidy
x = a (t − sin t ),
y = a (1 − cos t ), a > 0, 0 ≤ t ≤
π
2
, przy zało eniu, e g sto g=1.
Zad 12. Znale współrz dne rodka ci ko ci obszaru płaskiego ograniczonego krzyw
oraz prostymi y=0 i x=4, je li g sto p=const.
y=2 x
y ≥ 0,