Uchyb w ukladzie automatycznej regulacji

Uchyb w układzie automatycznej regulacji
dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Układ automatycznej regulacji
r(t) – sygnał odniesienia
y(t) – sygnał wyjściowy
u(t) – sterowanie
e(t) – uchyb regulacji
jeśli yr (t) wartość stała – układ regulacji stałowartościowej
jeśli yr (t) sygnał zmienny – układ regulacji nadążnej
Uchyb w stanie ustalonym
Uchyb w stanie ustalonym to błąd po zaniku odpowiedzi
przejściowej
Układ otwarty
E(s) = R(s) − Y (s) = (1 − Go (s))R(s)
Układ zamknięty
E(s) = R(s) − Y (s) =
Go (s) - transmitancja układu otwartego
1
R(s)
1 + Go (s)
Twierdzenie o wartości końcowej
Uchyb w stanie ustalonym wyznaczamy za pomocą twierdzenia o
wartości końcowej
ess = lim e(t) = lim sE(s)
t→∞
Przykład dla R(s) =
A
s
s→0
(skok jednostkowy)
Układ otwarty
A
= lim A(1 − Go (s)) = A(1−Go (0))
ess = lim s(1−Go (s))
s→0
s→0
s
Układ zamknięty
ess = lim s
s→0
1
1+Go (s)
A
A
=
s
1+Go (0)
Przypadek ogólny (dla skoku jednostkowego)
Go (s) =
K
QM
i=1 (s
+ zi )
Q
sN Q
k=1 (s + pk )
Własności:
Bład ustalony zależy od liczby układów całkujących N ,
Dla N > 0 Go (0) → ∞ i ess → 0,
N oznacza typ układu,
dla N = 0
ess =
1
1
Q
=
Q
M
1 + Go (0)
1 + K i=1 (s + zi )/ Q
(s
+
p
)
k
k=1
Stała uchybu pozycyjnego
Zdefiniujmy stałą uchybu pozycyjnego
Kp = lim (Go (s))
s→0
i wtedy
ess =
1
1 + Kp
Łatwo też sprawdzić, że dla N ­ 1
ess = lim
s→0
= lim
s→0
1
1+ K
QM
N
i=1 (s + zi )/s
k=1 (s + pk )
sN
sN + K
QM
i=1 (s
+ zi )/
QQ
QQ
k=1 (s
=0
+ pk )
Dla sygnału referencyjnego r(t) = A · t · 1(t) (funkcja liniowo
narastająca - prędkość)
s(A/s2 )
A
= lim
s→0 s + sG(s)
s→0 1 + G(s)
A
= lim
s→0 sG(s)
ess = lim
Stała uchybu prędkościowego
Zdefiniujmy stałą uchybu prędkościowego
Kv = lim s(G(s))
s→0
i wtedy dla N = 1
ess = A
K
QM
i=1 (s
Oznacza to, że
dla N ­ 2 to ess = 0
dla N = 1 to ess 6= 0
dla N = 0 to ess = ∞
+ zi )/
QQ
k=1 (s
=
+ pk )
A
Kv
Dla sygnału referencyjnego r(t) = A · t2 /2 · 1(t) (funkcja
paraboliczna - przyspieszenie)
s(A/s3 )
A
= lim 2
s→0 1 + G(s)
s→0 s G(s)
ess = lim
Stała uchybu przyspieszeniowego
Zdefiniujmy stałą uchybu przyspieszeniowego
Ka = lim s2 (G0 (s))
s→0
i wtedy dla N = 2
ess = A
K
QM
i=1 (s
Oznacza to, że
dla N ­ 3 to ess = 0
dla N = 2 to ess 6= 0
dla N = 1 to ess = ∞
dla N = 0 to ess = ∞
+ zi )/
QQ
k=1 (s
=
+ pk )
A
Ka
Przykład 1
Zadanie
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym w układzie zamkniętym po podaniu
sygnału zadanego o postaci funkcji r(t) = 5t1(t). Transmitancja układu
otwartego to
10(s + 1)
Go (s) =
s(s + 2)(s + 5)
Wyznaczamy
Transformatę Laplace’a sygnału r(t)
R(s) =
5
s2
Transmitancję układu zamkniętego
Gz (s) =
Go
10s + 1
= 3
1 + Go
s + 7s2 + 20s + 10
Przykład 1 – cd
Obliczenia:
Stała uchybu prędkościowego
Kv = lim (sGo (s)) = lim s
s→0
s→0
10(s + 1)
=1
s(s + 2)(s + 5)
Uchyb w stanie ustalonym
ess =
A
5
= =5
Kv
1
Przykład 2
Zadanie
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym w układzie zamkniętym po podaniu
sygnału zadanego w postaci skoku jednostkowego (R1 (s) = As ) oraz
funkcji liniowo narastającej (R2 (s) = sA2 ). Transmitancja układu to
G(s) =
K
τs + 1
a transmitancja sterownika
K(s) = K1 +
K2
s