Kierunek: BUDOWNICTWO

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne drugiego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: ANALIZA MATEMATYCZNA
Rok studiów:
Semestr:
I
1
ECTS: 12
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
60
60
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne:
Analiza matematyczna I, Analiza matematyczna II, Analiza matematyczna III,
Założenia i cele przedmiotu:
Zapoznanie studentów z podstawowymi faktami teorii miary i całki Lebesque’a oraz całkami na
podrozmaitościach
n .
Metody dydaktyczne:
Wykład – wykład prowadzony tradycyjnie (tablica i kreda)
Ćwiczenia – prowadzony w sposób tradycyjny (rozwiązywanie zadań, kolokwia, kartkówki)
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie ćwiczeń, egzamin pisemny i ustny
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Teoria miary
 -ciało, miara, własności miary, miara zewnętrzna i jej własności, twierdzenie Caratheodory’ego,
m
miara Lebesgue’a w R , przedziały, m-wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue’a,
charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, własności miary Lebesgue’a.
2. Funkcje mierzalne.
Warunki równoważne, działania na funkcjach mierzalnych.
3. Całkowanie
Całka funkcji prostej nieujemnej, funkcja charakterystyczna, własności całki funkcji prostej, całka
funkcji mierzalnej nieujemnej, podstawowe własności całki, całka jako funkcja addytywna zbioru,
twierdzenie o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, twierdzenie o monotonicznym
przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, lemat Fatou, warunek konieczny na całkowalność,
warunek wystarczający na całkowalność, przykład Vitaliego, własności całki, twierdzenie
Lebesgue’a o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, całka Lebesgue’a,
twierdzenie o funkcji F(x) =
 f (t )dt , całka oznaczona Cauchy’ego, całka oznaczona Riemanna,
[a,x]
całki Darboux, własności całki Riemanna, związek całki Riemanna z całką Lebesgue’a, zasada
Cavalieriego, przykłady zastosowania zasady Cavalieriego, geometryczna interpretacja całki
funkcji nieujemnej.
4. Przestrzeń Lp
5. Formy różniczkowe
Odwzorowania p-liniowe znakozmienne, przestrzeń Ap(E;F), mnożenie zewnętrzne
odwzorowań wieloliniowych znakozmiennych i jego własności, iloczyn zewnętrzny k-form
k
liniowych, baza przestrzeni Ap (R ; R), definicja formy różniczkowej, przykłady, operacje na
formach różniczkowych, różniczka zewnętrzna, zmiana zmiennych w formie różniczkowej,
pierwotna formy, twierdzenie Poincarego.
6. Całka krzywoliniowa zorientowana
Definicja całki krzywoliniowej zorientowanej, niezależność od parametryzacji krzywej, forma
różniczkowa zamknięta, całka z formy różniczkowej zamkniętej, całka krzywoliniowa
zorientowana jako granica ciągu sum całkowych (porównanie z I stopniem), zastosowanie całki
krzywoliniowej.
7. Całka formy różniczkowej stopnia drugiego
2
Całka formy różniczkowej stopnia drugiego w przestrzeni R , twierdzenie Greena-Riemanna,
całka powierzchniowa zorientowana, własności całki powierzchniowej zorientowanej i jej
zastosowanie.
8. Całka formy różniczkowej stopnia trzeciego
3
Definicja całki formy różniczkowej stopnia trzeciego w R , twierdzenie Greena-GaussaOstrogradskiego, twierdzenie Stokesa.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Teoria miary
Sprawdzanie czy dana rodzina jest  -ciałem, wyznaczanie własności sumy, przecięcia, różnicy
 -ciał, sprawdzanie czy dana funkcja jest miarą, wykorzystanie własności miary przy
dowodzeniu własności nie podanych na wykładzie, miary liczące, atomowe, sprawdzanie czy
dana funkcja jest miarą zewnętrzną, konstruowanie miar przy pomocy twierdzenia
Caratheodory’ego, wykazywanie własności m-wymiarowej miary zewnętrznej Lebesgue’a,
charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, konstrukcja zbioru Cantora oraz
zbioru Vitaliego z uzasadnieniem ich własności, własności miary Lebesgue’a.
2. Funkcje mierzalne
Sprawdzanie mierzalności funkcji względem danego sigma-ciała, działania na funkcjach
mierzalnych.
3. Całkowanie
Przypomnienie wiadomości o szeregach liczbowych, całkowanie funkcji prostej nieujemnej, całka
funkcja Dirichleta, całka funkcji skokowej Heaviside'a, własności całki funkcji prostej, całkowanie
funkcji mierzalnej nieujemnej, konstruowanie ciągu aproksymującego funkcję mierzalną
nieujemną w przypadku przestrzeni ciągów oraz przestrzeni funkcji rzeczywistych, podstawowe
własności całki, zastosowanie twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki,
zastosowanie twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki,
zastosowanie lematu Fatou, wykorzystanie warunku koniecznego na całkowalność oraz warunku
wystarczającego, wykorzystanie własności całki, zastosowanie twierdzenia Lebesgue’a o
zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, obliczanie całki Lebesgue’a,
zastosowanie twierdzenia o funkcji F(x) =
 f (t )dt ,
badanie całki jako funkcji parametru,
[a,x]
4.
5.
6.
7.
obliczanie całki oznaczonej Cauchy’ego, obliczanie całki oznaczonej Riemanna, wykorzystanie
sum całkowych Riemanna do wyznaczania sum szeregów, całki Darboux, własności całki
Riemanna, wykorzystanie związku całki Riemanna z całką Lebesgue’a, metody całkowania dla
całki Riemanna, wykorzystanie zasady Cavalieriego, geometryczna interpretacja całki funkcji
nieujemnej.
Nierówności Holdera, Minkowskiego, Younga, przestrzeń ilorazowa, przestrzenie L p.
Formy różniczkowe
Przypomnienie własności odwzorowań liniowych i wieloliniowych, sprawdzanie czy dane
odwzorowanie jest p-liniowe znakozmienne, struktura przestrzeni Ap(E;F), mnożenie zewnętrzne
odwzorowań wieloliniowych
znakozmiennych i wykorzystanie jego własności, obliczanie
k
iloczynu zewnętrznego k-form liniowych, wyznaczanie bazy przestrzeni Ap(R ; R), wykorzystanie
k
k
domkniętości przestrzeni Ap(R ; R), przestrzeń Ap(R ; R) jako przestrzeń unitarna, sprawdzanie
czy dane odwzorowanie jest formą różniczkową, wykonywanie operacji na formach
różniczkowych: iloczyn zewnętrzny, różniczka zewnętrzna, zmiana zmiennych w formie
różniczkowej, wyznaczanie pierwotnej formy, badanie zamkniętości formy, wykorzystanie
twierdzenia Poincarego.
Całka krzywoliniowa zorientowana
Przypomnienie definicji łuku, krzywej, podrozmaitości jednowymiarowej, badanie zgodności
orientacji krzywej z wyborem parametryzacji, obliczanie całki krzywoliniowej zorientowanej,
wykorzystanie niezależności od parametryzacji krzywej, całkowanie
formy różniczkowej
zamkniętej, cykl, badanie czy krzywe są homotopijne, zbiór p-spójny, obliczanie całki
krzywoliniowej zorientowanej jako granicy ciągu sum całkowych, zastosowanie całki
krzywoliniowej.
Całka formy różniczkowej stopnia drugiego
Podrozmaitości orientowalne, wstęga Möbiusa, sprawdzanie czy dany zbiór jest kompaktem,
kompaktem z brzegiem, kompaktem z brzegiem na podrozmaitości, sprawdzanie zgodności
2
orientacji, obliczanie całki formy różniczkowej stopnia drugiego w przestrzeni R , zastosowanie
twierdzenia Greena-Riemanna, obliczanie całki powierzchniowej zorientowanej, wykorzystanie
własności całki powierzchniowej zorientowanej.
8. Całka formy różniczkowej stopnia trzeciego
3
Definicja całki formy różniczkowej stopnia trzeciego w R , wykorzystanie twierdzeń GreenaGaussa-Ostrogradskiego i Stokesa, wyznaczanie dywergencji, rotacji, gradientu pola.
Laboratorium:
Wykaz literatury podstawowej:
[1] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1983.
[2] H. Cartan, Calcul differentiel, formes differentielles, Paris 1967.
[3] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, wyd. UJ, Kraków 1997.
[4] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa
1983.
[5] B. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej.
[6] L. Siewierski, Ćwiczenia z analizy matematycznej z zastosowaniami, PWN, Warszawa 1981.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. Dieudonne, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York And London 1960.
[2] M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 1977.
[2] G. E. Sziłow, Matematiczeskij analiz, Moskwa 1968.
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK
Zatwierdził: dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK