Rozwiązania zadań z zestawu 02 (nb

Zestaw 2
Zadanie 1
In[1]:=
ClearAll"Global`*";
In[2]:=
x = A * Cosw * t;
In[3]:=
y = B * Sinw * t;
In[4]:=
Simplifyx^2  A^2 + y^2  B^2 ⩵ 1, A > 0 && B > 0 && w > 0
Out[4]=
In[5]:=
In[6]:=
True
(* Punkt materialny porusza się więc po elipsie;
zakreśla pełną elipsę jeśli czas ruch tmax jest wystarczająco długi. Można
to łatwo sprawdzić na przykładzie, gdzie przyjmujemy A=3, B=2, w=1: *)
ParametricPlot{x, y} /. A → 3, B → 2, w → 1, t, 0, 5
2
1
Out[6]=
-3
-2
-1
1
-1
-2
In[7]:=
z = 0;
In[8]:=
(* wektor położenia *)
In[9]:=
r = {x, y, z};
In[10]:=
(* prędkość *)
In[11]:=
v = Dr, t
Out[11]=
-A w Sin[t w], B w Cos[t w], 0
In[12]:=
(* przyspeszenie *)
In[13]:=
a = Dr, t, 2
Out[13]=
In[14]:=
-A w2 Cos[t w], -B w2 Sin[t w], 0
(* Energia kinetyczna *)
2
3
2
rozw_zadania_02.nb
In[15]:=
Ekin = Simplifym  2 * v.v, A > 0 && B > 0 && w > 0
1
Out[15]=
2
m w2 B2 Cos[t w]2 + A2 Sin[t w]2 
In[16]:=
(* siła *)
In[17]:=
F = m*a
Out[17]=
-A m w2 Cos[t w], -B m w2 Sin[t w], 0
In[18]:=
(* moment pędu *)
In[19]:=
L = SimplifyCross[r, m * v]
Out[19]=
In[20]:=
0, 0, A B m w
(* moment pędu jest stały dla tego ruchu ! *)
Zadanie 2
In[21]:=
(* położenie w ruchu jednostajnym po okręgu *)
In[22]:=
rokr = Simplifyr /. A → R, B → R
Out[22]=
R Cos[t w], R Sin[t w], 0
In[23]:=
(* siła w ruchu jednostajnym po okręgu *)
In[24]:=
Fokr = SimplifyF /. A → R, B → R
Out[24]=
In[25]:=
Out[25]=
In[26]:=
-m R w2 Cos[t w], -m R w2 Sin[t w], 0
SimplifyFokr ⩵ -m w2 * rokr
True
(* W dowolnej chwili t siła i wektor położenia są do siebie proporcjonalne,
a siła jest skierowana przeciwnie do wektora r, a więc do środka okręgu ! *)
Zadanie 3
In[27]:=
ClearAll"Global`*"
In[28]:=
G = 6.6742 * 10^-11; (* m^3kg·s^2 *)
In[29]:=
me = 9.1093826 * 10^-31; (* kg *)
In[30]:=
mp = 1.67262171 * 10^-27; (*
In[31]:=
e = 1.60217653 * 10^-19; (* C *)
In[32]:=
eps0 = 8.854187817 * 10^-12;(*
In[33]:=
k = 1  4 * Pi * eps0;
In[34]:=
r = 10^-10; (* m *)
kg *)
Fm *)
rozw_zadania_02.nb
In[35]:=
Out[35]=
In[36]:=
Out[36]=
In[37]:=
Out[37]=
Fc = k * e * e  r^2 (* N *)
2.30708 × 10-8
Fg = G * mp * me  r^2 (* N *)
1.01692 × 10-47
FcdivFg = Fc  Fg
2.2687 × 1039
Zadanie 4
In[38]:=
ClearAll"Global`*";
In[39]:=
(* wektor położenia *)
In[40]:=
rt_ = xt, yt, zt
Out[40]=
x[t], y[t], z[t]
In[41]:=
(* prędkość, czyli pochodna wektora rt *)
In[42]:=
vt_ = r't
Out[42]=
x′ [t], y′ [t], z′ [t]
In[43]:=
(* przyspieszenie, czyli druga pochodna wektora rt
In[44]:=
at_ = r''t
Out[44]=
x′′ [t], y′′ [t], z′′ [t]
In[45]:=
(* indukcja magnetyczna *)
In[46]:=
B = 0, 0, B0
Out[46]=
0, 0, B0
In[47]:=
(* Siła Lorentza *)
In[48]:=
Ft_ = q * Crossvt, B
Out[48]=
B0 q y′ [t], -B0 q x′ [t], 0
In[49]:=
(* II zasada dynamiki Newtona: m*a=F *)
In[50]:=
rownania = m * at ⩵ Ft
Out[50]=
m x′′ [t], m y′′ [t], m z′′ [t] ⩵ B0 q y′ [t], -B0 q x′ [t], 0
Rozwiązania z różnymi warunkami początkowymi podane są w:
http://users.uj.edu.pl/~golak/F16-17/ruch_w_stalym_polu_magnetycznym.nb
Zadanie 5
*)
3
4
rozw_zadania_02.nb
In[51]:=
ClearAll"Global`*";
In[52]:=
x = A * E^-beta * t * Cosw * t + phi
Out[52]=
In[53]:=
Out[53]=
A ⅇ-beta t Cos[phi + t w]
left = Simplifym * Dx, t, 2 + k * x + gamma * Dx, t
A ⅇ-beta t
-beta gamma + k + beta2 m - m w2  Cos[phi + t w] - gamma - 2 beta m w Sin[phi + t w]
Współczynniki przy Cos[phi+t w] oraz Sin[phi+t w] muszą być równe zero, by całe wyrażenie było
stale równe zero !
In[54]:=
Out[54]=
Solve-beta gamma + k + beta2 m - m w2 ⩵ 0, gamma - 2 beta m ⩵ 0, beta, w
beta →
gamma
2m
-gamma2 + 4 k m
,w→-
2m
, beta →
gamma
2m
Słabe tłumienie oznacza, że mamy oscylacje i pierwiastek
,w→
-gamma2 + 4 k m
2m

-gamma2 + 4 k m ma sens !
In[55]:=
Zadanie 6
In[56]:=
ClearAll"Global`*";
Obie masy poruszają się z taką samą wartością przyspieszenia pod wpływem sił ciężkości (mi*g) i
naprężeń nici (Ni), przy czym N1=N2=NN. Naprężenia nici przyłozone do mas są skierowane w
górę, a te przyłożone do krawędzi bloka w dół. Wskazanie wagi jest więc równe podwojonej
wartości naprężenia nici. Zakładamy, że większa mas m1 porusza sie w dół z przyspieszeniem a.
Mamy układ dwóch równań na dwie niewiadome: a oraz NN
In[57]:=
Out[57]=
sol = Solvem1 * a ⩵ m1 * g - NN, m2 * a ⩵ NN - m2 * g, NN, a
NN →
2 g m1 m2
m1 + m2
,a→-
g -m1 + m2
m1 + m2

rozw_zadania_02.nb
In[58]:=
(* Wskazanie sprężyny wynosi więc
WS = 2 * NN /. sol1
5
*)
4 g m1 m2
Out[58]=
m1 + m2
Zadanie 7
In[59]:=
ClearAll"Global`*";
In[60]:=
ClearAll"Global`*";
Jeśli kulka wykonuje jednostajny ruch po okręgu, to musi działać siła dośrodkowa, która jest wypadkową siły ciężkości i naprężenia nici. Dlatego mamy następujące zależności dla dwóch trójkątów
prostokątnych:
In[61]:=
eq1 = Fods ⩵ FN * Sin[θ];
In[62]:=
eq2 = m * g ⩵ FN * Cos[θ];
In[63]:=
eq3 = Fods ⩵ m * w^2 * R;
In[64]:=
eq4 = R ⩵ L * Sin[θ];
In[65]:=
sol = Solveeq1, eq2, eq3, eq4, w, R, FN, Fods
Out[65]=
g
w → -
L
Cos[θ]
g
w →
L
Cos[θ]
, R → L Sin[θ], FN → g m Sec[θ], Fods → g m Tan[θ],
, R → L Sin[θ], FN → g m Sec[θ], Fods → g m Tan[θ]
In[66]:=
(* Sens fizyczny ma tylko w > 0
In[67]:=
w = w /. sol2
*)
g
Out[67]=
L
Cos[θ]
Okres związany jest z w prostą zależnością: T= 2*Pi/w
In[68]:=
T = 2 * Pi  w
2
Out[68]=
L π
Cos[θ]
g
6
rozw_zadania_02.nb
Zadanie 8
Oś l kierujemy w dol. Równanie ma postać m*l''=-k*(l-l0) +m*g, gdzie l0 jest długością nierozciągniętej sprężyny. Sprężyna, która wisi nieruchomo w polu grawitacyjnym musi mieć dlugość ls taką,
że l'=l''=0. Wtedy 0=-k*(ls-l0) +m*g.
In[69]:=
Out[69]=
Solve0 == -k * ls - l0 + m * g, ls
ls →
k l0 + g m
k

I to jest położenie początkowe: l(t=0)=ls. Prędkość początkowa to l’(t=0)=v0.
In[70]:=
s = SimplifyDSolvem * l''t == -k * lt - l0 + m * g, l0 ==
lt, t, m > 0 && k > 0 && l0 > 0 && m > 0 && g > 0
k l0 + g m +
Out[70]=
In[71]:=
k m v0 Sin
l[t] →
k
k
m
t

lt_ = lt /. s1
k l0 + g m +
k m v0 Sin
k
m
t
k
m
t
Out[71]=
k
In[72]:=
lt
k l0 + g m +
k m v0 Sin
Out[72]=
k
In[73]:=
l0
k l0 + g m
Out[73]=
k
In[74]:=
Out[74]=
Simplifyl'0, m > 0 && k > 0 && l0 > 0 && m > 0 && g > 0
v0
k l0 + g m
k
, l'0 == v0,