ponieważ fakty

AHP – pozyskiwanie hierarchii ocen
Zało enia:
N – liczba obiektów podlegaj cych ocenie
w(i) – ‘warto
’ obiektu i na skali liczbowej (u yteczno
a(ij) – stosunek warto ci obiektów w(i)/w(j)
A – macierz z elementami a(ij)
Relacje:
a(ik) = a(ij)*a(jk) dla wszystkich i,j,k
a(ik) = w(i)/w(k) = w(i)/w(j)*w(j)/w(k)
a(ji) = 1/a(ij)
Macierz A jest wtedy zgodna i Saaty
zauwa ył nast puj c zale no
)
AHP – cd.
Macierz A
wektor w
wynik
w(1)/w(1) w(1)/w(2) w(1)/w(3) ...
w(1)/w(n)
w(1)
w(1)
w(2)/w(1) w(2)/w(2) w(2)/w(3) ...
w(2)/w(n)
w(2)
w(2)
...
w(n)/w(1) w(n)/w(2) w(n)/w(3) ...
X
w(n)/w(n)
...
= n*
w(n)
Aw = nw – w zapisie macierzowym definicja ‘wektora własnego’ macierzy A
w – wektor własny macierzy A zwi zany z warto ci własn równ n
...
w(n)
AHP – cd.
W praktyce w(i) nie s znane – metoda ankietowa pozwala uzyska oszcowania
subiektywne a(ij) = w(i)/w(j) - czyli macierz A – poniewa ludzie nie musz by
konsekwentni to A nie spełnia zwykle wcze niej pokazanych zale no ci.
Mo na jednak si spodziewa , e wektor własny zwi zany z maksymaln warto ci
własn (wszystkich warto ci własnych mo e by n) dobrze przybli a hierarchi
ocen w(i) poniewa prawdziwe s 2 fakty (twierdzenia):
1.
Je li Ax = Lx i istnieje n liczb L(1) ... L(n) spełniajacych to równanie oraz a(ii) = 1
dla wszystkich i to Suma L(i) = n.
Poniewa w idealnym przypadku zgodnej macierzy Lmax = n wi c pozostałe L=0.
2.
Małe zmiany a(ij) powoduj niewielkie zmiany w wektorze własnym w.
Maj c zatem macierz porówna parami A znalezienie hierarchii priorytetów
sprowadza si do znalezienia wektora w który spełnia równanie
Aw = Lmax*w
Odchylenie Lmax od n mo e by miernikiem zgodno ci ocen w macierzy A
Wska nik zgodno ci = (Lmax - n) / (n-1). Praktycznie powinien by mniejszy od 0.1
AHP – praktyczne wyznaczanie hierarchii
1.
Programy matematyczne (MathLab, Mathematica) oferuj algorytmy
znajduj ce wektory i warto ci własne
2.
Przybli one rozwi zania Saaty’ego – do zaimplementowania w Exelu:
PROCEDURA:
Wej cie – macierz A
A*A
A*A*A ...
SumaWierszy(a(ij))
SumaWierszy(a(ij))
normalizacja (Suma
w(j) = 1)
normalizacja (Suma
w(j) = 1)
je li mała zmiana w
stosunku do
poprzedniego stanu
to koniec
je li mała zmiana w
stosunku do
poprzedniego stanu
to koniec
AHP- ocena zgodno ci macierzy A
Je li wyznacza si wektor w metod przybli on to brakuje wielko ci
Lmax – maksymalnej warto ci własnej potrzebnej do obliczenia
wska nika zgodno ci
WZ = (Lmax - n) / (n-1).
Poniewa zachodzi równo
:
Aw = Lmax*w
a suma w(j) = 1
to Suma el wektora Aw = Lmax*suma(w(j)) = Lmax.