Matematyka finansowa 1

Matematyka finansowa - 1
Stopy procentowe i dyskontowe
1. Stopa zwrotu (stopa zysku, Interest Rate).
Niech:
F0 - kapitał wypożyczony (zainwestowany) w momencie t = 0,
FT - kapitał zwrócony (odzyskany) w momencie t = T,
FT − F0 - zysk za okres 0, T.
Stopa zwrotu:
i 0,T =
FT−F0
F0
Zatem:
FT = F0 + F0i 0,T = F01 + i 0,T 
gdzie:
F0i 0,T - ”odsetki” od kapitału
q 0,T = 1 + i 0,T  - czynnik kumulujący.
Uwagi:
1. Procent = stopa procentowa ×100%.
2. Mając na myśli stopy procentowe na jednostkowe okresy czasu 0; 1, 1; 2, . . . , (najczęściej
lata ale równie dobrze mogą to być kwartały, miesiące) nazywać je będziemy umownie
stopami rocznymi (kwartalnymi, miesięcznymi).
2. Oprocentowanie proste, składane, ciągłe.
Załóżmy, że w okresie 0; N stopy procentowe na jednostkowe okresy czasu są identyczne,
tzn. i 0;1 = i 1;2 =. . . = i N−1;N = i ;
Ft - wartość kapitału w momencie t ∈ 0; N,
F̃ t - ”naliczona” wartość kapitału w momencie t.
FN - wartość przyszła (w momencie t = N, kapitału (Future Value);
F0 - wartość obecna (w momencie t = 0, kapitału (Present Value);
1. Oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0; N, tj. w
momencie t = N:
F̃ t = F01 + it, t ∈ 0; N,
Ft = F0 t ∈ 0; N,
1
F̃ N = FN = F01 + iN
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2t
3
4
F̃ t = 1001 + 0. 30t
2
2. Oprocentowanie składane (kapitalizacja odsetek na koniec podokresów
t k−1 , t k  ⊂ 0; N:
● oprocentowanie składane - kapitalizacja zgodna z okresem stopy i (kapitalizacja
odsetek w momentach t = n = 1, 2, . . . , N
Fn = Fn − 11 + i = Fn − 1q, n = 1, 2, . . . , N,
Fn = F01 + i n = F0q n , n = 0, 1, 2, . . . , N,
F̃ t = Fn1 + it − n, t ∈ n; n + 1,
FN = F01 + i N
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2t
3
4
Fn = 1001 + 0. 30 n , n = 1, 2, 3, 4
3
● oprocentowanie składane - kapitalizacja niezgodna z okresem stopy i , z częstością m
(kapitalizacja w momentach t = mk , k = 1, 2, . . . , mN:
k  = F k − 1 1 + i 1 , k = 1, 2, . . . , mN,
F m
m
m
k
1
k
F m  = F01 + i m  , k = 0, 1, 2, . . . , mN,
k 1 + it − k , t ∈  k ; k + 1 ,
F̃ t = F m
m
m
m
FN = F01 + i m1  mN = F01 + i m1  m 
N
300
250
200
150
100
50
0
1
2t
F 2k  = 1001 +
3
0.30
2
4
 k , k = 1, . . . , 8
Uwaga
Oprocentowanie proste można potraktować jako przypadek oprocentowania składanego "z
ułamkową częstością" m = N1 (kapitalizacja w momencie t = mk = kN, dla k = 1)
FN = F m1  = F01 + i m1  mN = F01 + iN 1
4
3. Oprocentowanie składane - kapitalizacja ciągła (nieskończenie często, i = δ − ciągła
stopa procentowa)
1  m kmm
F̃ t = Ft = m→∞
lim F01 + δ m
δt
1  mt = F0 lim 1 + 1  mδ
= m→∞
lim F01 + δ m
m
m→∞
δ
= F0e
gdzie
km
m
≤t<
δt
k m +1
m
Stąd (i z tw. o trzech ciągach) gdy m → ∞ to
km → t
m
km
1
gdyż t − m < m ≤ t
Przykład
1001 + 0. 30 1  12 = 134. 488 882
12
1
1001 + 0. 30
 365 = 134. 969 258
365
1
 3652460 = 134. 985 869
1001 + 0. 30
3652460
100e 0.30 = 134. 985 881
Liczba Eulera
e ≈ 2, 718281828. . . ,
y = ln x  x = e y
5
300
250
200
150
100
50
0
1
2t
3
4
3
4
Ft = 100e 0.30t
300
250
200
150
100
50
0
1
2t
Stopa nominalna i = 0. 30, cz ęstości m =
1
4
, 1, 2, ∞
6
Tempo przyrostu kapitału F ′ t oraz tempo procentowego przyrostu kapitału
nominalnej stopie rocznej i :
w oprocentowaniu prostym:
dF̃ t
= F̃ ′ t = F0i
dt
dF̃ t
F̃ ′ t
i
=
=
1 + it
F̃ dt
F̃ t
F ′ t
Ft
przy
w oprocentowaniu ciągłym:
F ′ t = F0e it i
F ′ t
=i
Ft
42
0.42
40
0.4
38
0.38
36
0.36
34
0.34
32
0.32
30
0.3
28
0.28
26
0.26
24
0.24
22 0
0.2
0.4 t 0.6
0.8
1
i = 0. 30, F0 = 100;
F̃ ′ t = F0i (zielony);
′
F t = F0e i (fiolet)
it
0.22 0
0.2
0.4 t 0.6
0.8
1
i = 0. 30;
F̃ ′ t
F̃ t
=
F ′ t
Ft
= i (fiolet)
i
1+it
(zielony);
7
3. Równoważność stóp procentowych.
Niech:
i - nominalna stopa procentowa na okres jednostkowy (Nominal),
m - częstość kapitalizacji w okresie jednostkowym, w momentach t = mk , k = 1, 2, . . . , wg
k
stopy i m1 na każdy z podokresów  k−1
m , m .
Stopa efektywna ("Effect") równoważna stopie nominalnej ("Nominal") i przy
kapitalizacji składanej z częstością m to taka stopa i ef na okres jednostkowy, że efekt
dopisania odsetek wg tej stopy raz po okresie jednostkowym jest taki sam jak efekt
dopisywania m razy - co m1 − ta okresu jednostkowego - ze stopą i m1 za każdy podokres
k
 k−1
m ; m , k = 1, 2, . . . m, tzn.:
i ef ≅ m i gdy 1 + i ef = 1 + i m1  m .
Stąd
i ef ≅ m i gdy i = m m 1 + i ef − 1
Uwagi
1. Gdy m = 1, (kapitalizacja zgodna), to
stopa nominalna = stopa efektywna
i = i ef .
2. Stopa efektywna i ef równoważna stopie nominalnej i = δ przy kapitalizacji ciągłej m = +∞:
i ef ≊ ∞ δ
⇕
1 m = eδ,
1 + i ef = m→∞
lim 1 + δ m
δ = m→∞
lim m m 1 + i ef − 1 = ln1 + i ef 
δ - siła oprocentowania albo ciągła stopa procentowa
1 + i ef  t = e δt - czynnik kumulujący (oprocentowujący) na okres 0, t.
Przykład
Dla i ef = 0. 80 i m
nom ≅ i ef :
m
i m
1 + i ef − 1,
nom = m
8
180
160
m
i m
nom ≅ 0. 80
1
0. 80
2
0. 6833
4
0. 6332
12
0. 6024
365
0. 5883
120
100
365 × 60 0. 587 795
∞
140
0
0.2
0.4
t 0.6
0.8
1
0. 587 787
F mk  = 1001 +
m
i nom
m
k
m = 1, 2, 4, ∞
4. Dyskontowanie, stopa dyskontowa (Discount Rate)
d 0,T =
FT−F0
FT
F0 = FT − FTd 0,T = FT1 − d 0,T 
FT = F0
d 0,T
1
= F0 + F0
1 − d 0,T
1 − d 0,T
F0d 0,T - ”odsetki z góry” od kapitału F0
d
F0 1−d0,T - odsetki (”z dołu”) od kapitału F0.
0,T
d = 1 ,
1−d
1−d
Załóżmy, że stopa dyskontowa d n−1,n = d dla n = 1, 2, . . . , N;
1. Dyskontowanie proste d 0,N = dN
1 + d + d 2 + d 3 +. . . = 1 +
−1 < d < 1
9
FN = F0
1
1 − dN
Stopa procentowa i i stopa dyskontowa d równoważne w momencie t = n :
1
F01 + i 0,n  = FN = F0
1 − d 0,n
1
1 + i 0,n =
1 − d 0,n
1
1 + in =
1 − dn
i
d=
1 + in
2. Dyskontowanie składane
● dyskontowanie składane- kapitalizacja zgodna:
Fn − 1 = Fn1 − d
F0 = Fn1 − d n
1
Fn = F0
, n = 1, 2, . . . , N,
1 − d n
● dyskontowanie składane- kapitalizacja niezgodna (kapitalizacja w momentach
t = mk , k = 1, 2, . . . , mN :
− 1  = F k 1 − d 
F k m
m
m
1
d  =. . . = F k 1 − d  k
F0 = F m 1 − m
m
m
k  = F0
1
F m
, k = 1, 2, . . . , mN,
1 − md  k
Stopa procentowa i i stopa dyskontowa d równoważne w każdym momencie
t = n, : n = 1, 2, . . . , N :
1 ,
1−d
1
1 + imm =
przy częstości m
1 − dmm
1+i =
1−d =
i
d = 1+i
1
1+i
, - czynnik dyskontujący na okres 0, 1,
10
0.5
-0.5
0.5
i
1.5
1
2
2.5
3
0
-0.5
d-1
-1.5
-2
i
d = 1+i
3. Dyskontowanie składane - kapitalizacja ciągła (nieskończenie często)
d  mt = Fte −dt
F0 = m→∞
lim Ft1 − m
1
Ft = m→∞
lim F0
= F0e dt
1 − md  mt
δ  mt = F0e δt
Ft = m→∞
lim F01 + m
Uwaga
i = d = δ,
e −δt -czynnik dyskontujący na okres 0, t.
2
F(0) 1
0
1t
2
F0 = Ft ⋅ e −0.4t
11