Stopy procentowe i dyskontowe

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 1
Stopy procentowe i dyskontowe
1. Stopa procentowa (stopa zwrotu,
stopa zysku) (Interest Rate).
Niech:
F0 - kapitał wypoŜyczony
(zainwestowany) w momencie t = 0,
FT - kapitał zwrócony (odzyskany) w
momencie t = T,
FT − F0 - zysk za okres 0, T.
Stopa zwrotu:
i 0,T =
FT−F0
F0
Zatem:
FT = F0 + F0i 0,T = F01 + i 0,T 
gdzie:
F0i 0,T - ”odsetki” od kapitału
q 0,T = 1 + i 0,T  - czynnik kumulujący.
Uwagi:
1. Procent = stopa procentowa ×100%.
2. Mając na myśli stopy procentowe na
jednostkowe okresy czasu
0; 1, 1; 2, . . . , (najczęściej lata ale równie
dobrze mogą to być kwartały, miesiące)
nazywać je będziemy umownie stopami
rocznymi (kwartalnymi, miesięcznymi).
2. Oprocentowanie:
ZałóŜmy, Ŝe w okresie 0; N stopy
procentowe na jednostkowe okresy czasu
są identyczne, tzn.
i 0;1 = i 1;2 =. . . = i N−1;N = i ;
Ft - wartość kapitału w momencie
t ∈ 0; N,
F̃ t - ”naliczona” wartość kapitału w
momencie t.
FN - wartość przyszła (w momencie
t = N, kapitału (Future Value);
F0 - wartość obecna (w momencie
t = 0, kapitału (Present Value);
oprocentowanie proste (kapitalizacja na
koniec okresu umownego 0; N, tj. w
momencie t = N:
F̃ t = F01 + it, t ∈ 0; N,
Ft = F0 t ∈ 0; N,
1
2
• oprocentowanie składane
(kapitalizacja odsetek na koniec
podokresów t k−1 , t k  ⊂ 0; N:
oprocentowanie składane kapitalizacja zgodna z okresem
stopy i (kapitalizacja odsetek w
momentach t = n = 1, 2, . . . , N
F̃ N = FN = F01 + iN
300
250
Fn = Fn − 11 + i = Fn − 1q, n = 1, 2, . . . , N,
200
Fn = F01 + i n = F0q n , n = 0, 1, 2, . . . , N,
F̃ t = Fn1 + it − n, t ∈ n; n + 1,
150
100
FN = F01 + i N
50
0
1
2t
3
4
F̃ t = 1001 + 0. 30t
3
4
•
oprocentowanie składane kapitalizacja niezgodna z okresem
stopy i , z częstością m
(kapitalizacja w momentach
t = mk , k = 1, 2, . . . , mN:
k  = F k − 1 1 + i 1 , k = 1, 2, . . . , mN,
F m
m
m
k  = F01 + i 1  k , k = 0, 1, 2, . . . , mN,
F m
m
k 1 + it − k , t ∈  k ; k + 1 ,
F̃ t = F m
m
m
m
300
250
200
150
100
50
0
1
2t
3
4
FN = F01 + i m1  mN = F01 + i m1  m 
Fn = 1001 + 0. 30 n , n = 1, 2, 3, 4
N
300
250
200
150
100
50
0
1
F 2k  = 1001 +
5
2t
0.30
2
3
4
 k , k = 1, . . . , 8
6
1001 + 0. 30 1  12
12
1001 + 0. 30 1  365
365
1
 3652460
1001 + 0. 30
3652460
100e 0.30
oprocentowanie składane - kapitalizacja
ciągła (nieskończenie często, i −ciągła
stopa procentowa)
1  m kmm
lim F01 + i m
F̃ t = Ft = m→∞
1  mt = F0 lim 1 + 1  mi
= m→∞
lim F01 + i m
m
m→∞
i
it
= 134. 488 882
= 134. 969 258
= 134. 985 869
= 134. 985 881
Liczba Eulera
e ≈ 2, 718281828. . . ,
y = ln x  x = e y
= F0e it
gdzie
km
m
≤t<
k m +1
m
300
Stąd (i z tw. o trzech ciągach) gdy m → ∞ to
km → t
m
k
gdyŜ t − m1 < mm ≤ t
Przykład:
250
200
150
100
50
0
1
2t
3
4
Ft = 100e 0.30t
7
8
Tempo przyrostu kapitału F ′ t oraz tempo
′ t
procentowego przyrostu kapitału FFt
przy
nominalnej stopie rocznej i :
w oprocentowaniu prostym:
300
250
200
dF̃ t
= F̃ ′ t = F0i
dt
dF̃ t
F̃ ′ t
i
=
=
̃Fdt
̃Ft
1 + it
150
100
50
0
1
2t
3
w oprocentowaniu ciągłym:
4
Stopa nominalna i = 0. 30, cz ęstości m =
9
F ′ t = F0e it i
F ′ t
=i
Ft
10
42
0.42
40
0.4
38
0.38
36
0.36
34
0.34
32
0.32
30
0.3
28
0.28
26
0.26
24
0.24
22 0
0.2
0.4
t 0.6
0.8
0.22 0
1
0.2
0.4 t 0.6
0.8
1
i = 0. 30;
i = 0. 30, F0 = 100;
F̃ ′ t = F0i (zielony);
F ′ t = F0e it i (fiolet)
F̃ ′ t
F̃ t
=
F ′ t
Ft
= i (fiolet)
i
1+it
(zielony);
3. RównowaŜność stóp procentowych
Niech:
i - nominalna stopa procentowa na
okres jednostkowy (Nominal),
m - częstość kapitalizacji w okresie
jednostkowym, w momentach
t = mk , k = 1, 2, . . . , wg stopy i m1 na kaŜdy z
k
podokresów  k−1
m , m .
Stopa efektywna (Effective)
równowaŜna stopie nominalnej i przy
11
12
kapitalizacji składanej z częstością m to
taka stopa i ef na okres jednostkowy, Ŝe
efekt dopisania odsetek wg tej stopy raz po
okresie jednostkowym jest taki sam jak
efekt dopisywania m razy - co m1 − ta okresu
jednostkowego - ze stopą i m1 za kaŜdy
k
podokres  k−1
m ; m , k = 1, 2, . . . m, tzn.:
i ef ≅ m i gdy 1 + i ef = 1 + i
1
m
 .
m
Stąd
i ef ≊ ∞ δ
⇕
1 m = eδ,
lim 1 + δ m
1 + i ef = m→∞
δ = m→∞
lim m m 1 + i ef − 1 = ln1 + i ef 
δ - siła oprocentowania albo ciągła stopa
procentowa
1 + i ef  t = e δt - czynnik kumulujący
(oprocentowujący) na okres 0, t.
i ef ≅ m i gdy i = m m 1 + i ef − 1
Uwagi.
1. Gdy m = 1, (kapitalizacja zgodna), to
stopa nominalna = stopa efektywna
i = i ef .
2. Stopa efektywna i ef równowaŜna stopie
nominalnej δ przy kapitalizacji ciągłej
m = +∞:
13
14
Przykład: Dla i ef = 0. 80
m
i m
i m
1 + i ef − 1,
nom ≅ i ef :
nom = m
m
i m
nom ≅ 0. 80
1
0. 80
2
0. 6833
4
0. 6332
12
0. 6024
365
0. 5883
d
F0 1−d0,T - odsetki (”z dołu”) od kapitału
0,T
F0.
180
160
1 + d + d 2 + d 3 +. . . = 1 +
140
100
0
0. 587 787
0.2
0.4
t
0.6
0.8
F mk  = 1001 +
m = 1, 2, 4, ∞
−1 < d
stopa procentowa i i stopa dyskontowa d
równowaŜne w momencie t = N :
1
1 − d 0,N
1
1 − d 0,N
1
1 + iN =
1 − dN
i
d=
1 + iN
1 + i 0,N =
FT−F0
FT
F0 = FT − FTd 0,T = FT1 − d 0,T 
FT = F0
k
F01 + i 0,N  = FN = F0
4. Dyskontowanie, stopa dyskontowa
(Discount Rate)
d 0,T =
1
i m
nom
m
d = 1 ,
1−d
1−d
ZałóŜmy, Ŝe stopa dyskontowa d n−1,n = d
dla n = 1, 2, . . . , N;
• dyskontowanie proste d 0,N = dN
FN = F0 1
1 − dN
120
365 × 60 0. 587 795
∞
F0d 0,T - ”odsetki z góry” od kapitału F0
d 0,T
1
= F0 + F0
1 − d 0,T
1 − d 0,T
15
16
1 ,
1−d
δ =
1
1+ m
przy częstości m
1 − dmm
1+i =
dyskontowanie składane
dyskontowanie składane- kapitalizacja
zgodna:
Fn − 1 = Fn1 − d
F0 = Fn1 − d n
1
Fn = F0
, n = 1, 2, . . . , N,
1 − d n
dyskontowanie składane- kapitalizacja
niezgodna (kapitalizacja w momentach
t = mk , k = 1, 2, . . . , mN:
− 1  = F k 1 − d 
F k m
m
m
1 1 − d  =. . . = F k 1 − d  k
F0 = F m
m
m
m
k  = F0
1
F m
, k = 1, 2, . . . , mN,
1 − md  k
•
stopa procentowa i i stopa
dyskontowa d równowaŜne w
kaŜdym momencie t = n :
17
1
1 − d = 1+i
, -czynnik dyskontujący
na okres 0, 1,
i
d = 1+i
0.5
-0.5
1
i
1.5
d=
i
1+i
0.5
2
2.5
3
0
-0.5
d-1
-1.5
-2
dyskontowanie składane - kapitalizacja
ciągła (nieskończenie często)
18
d  mt = Fte −dt
F0 = m→∞
lim Ft1 − m
1
Ft = m→∞
lim F0
= F0e dt
d mt
1 − m 
δ  mt = F0e δt
Ft = m→∞
lim F01 + m
Uwaga:
i=d=δ
e −δt -czynnik dyskontujący na okres 0, t.
•
2
F(0) 1
0
1t
2
Ft = F0 ⋅ e 0.4t
19
20