Autoreferat

Autoreferat
Mariusz Żynel
22 kwietnia 2015
Autoreferat
2
Spis treści
1 Dyplomy i stopnie naukowe
3
2 Historia zatrudnienia
3
3 Osiągnięcie naukowe
3.1 Tytuł osiągnięcia naukowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lista publikacji dotyczących osiągnięcia naukowego . . . . . . . . . .
3.3 Omówienie osiągnięcia naukowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Biegunowe przestrzenie Grassmanna . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Afiniczno-biegunowe przestrzenie Grassmanna . . . . . . . . .
3.3.3 Relacja prostopadłego przecinania w geometrii euklidesowej .
3.3.4 Relacja prostopadłego przecinania się prostych w geometrii
afiniczno-metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Relacja prostopadłego przecinania w geometrii rzutowo-metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Przestrzenie Grassmanna podprzestrzeni regularnych . . . . .
3.3.7 Pojęcia pierwotne przestrzeni jeżowych . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Prostopadłość i korelacje przestrzeni Grassmanna . . . . . . .
3.3.9 Dopełenienia odcinków w rzutowych Grassmannianach . . . .
4 Pozostałe wyniki naukowe
4.1 Lista publikacji nie wchodzących do rozprawy, opublikowanych po
doktoracie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Omówienie pozostałych wyników naukowych . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
8
10
11
12
13
14
15
18
19
20
20
21
Autoreferat
1
3
Dyplomy i stopnie naukowe
• 2004: stopień doktora nauk matematycznych,
Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych,
tytuł rozprawy: Rzutowania w kracie podprzestrzeni przestrzeni wektorowej,
promotor: prof. nzw. dr hab. Krzysztof P. Belina-Prażmowski-Kryński.
• 1996: tytuł magistra matematyki,
Uniwerystet Warszawski, Filia w Białymstoku, Instytut Matematyki,
tytuł pracy: Skończone geometrie nad Grassmannianami,
promotor: prof. nzw. dr hab. Krzysztof P. Belina-Prażmowski-Kryński.
2
Historia zatrudnienia
• 2005 - : adiunkt, Uniwersytet w Białymstoku.
• 1997 - 2005: asystent, Uniwersytet w Białymstoku.
• 1996 - 1997: asystent, Uniwersytet Warszawski, Filia w Białymstoku.
3
3.1
Osiągnięcie naukowe
Tytuł osiągnięcia naukowego
Oszczędne układy pojęć pierwotnych geometrii fragmentów Grassmannianów rzutowo zanurzalnych
3.2
Lista publikacji dotyczących osiągnięcia naukowego
[A1] M. Żynel, Complements of Grassmann substructures in projective Grassmannians,
Aequationes Math. 88 (2014), no. 1-2, 81-96,
DOI: 10.1007/s00010-013-0210-1.
[A2] J. Konarzewski, M. Żynel, A note on orthogonality of subspaces in Euclidean
geometry, J. Appl. Logic 11 (2013), no. 2, 169-173,
DOI: 10.1016/j.jal.2013.01.001.
[A3] M. Żynel, Correlations of spaces of pencils, J. Appl. Logic 10 (2012), no. 2, 187-198,
DOI: 10.1016/j.jal.2012.02.002.
[A4] K. Prażmowski, M. Żynel, Orthogonality of subspaces in metric-projective geometry, Adv. Geom. 11 (2011), no. 1, 103-116,
DOI: 10.1515/advgeom.2010.041.
[A5] M. Prażmowska, K. Prażmowski, M. Żynel, Grassmann spaces of regular subspaces, J. Geom. 97 (2010), no. 1-2, 99-123,
DOI: 10.1007/s00022-010-0040-4.
[A6] K. Prażmowski, M. Żynel, Possible primitive notions for geometry of spine spaces,
J. Appl. Logic 8 (2010), no. 3, 262-276,
DOI: 10.1016/j.jal.2010.05.001.
Autoreferat
4
[A7] M. Prażmowska, K. Prażmowski, M. Żynel, Affine polar spaces, their Grassmannians, and adjacencies, Math. Pannon. 20 (2009), no. 1, 37-59.
[A8] M. Prażmowska, K. Prażmowski, M. Żynel, Metric affine geometry on the
universe of lines, Linear Algebra Appl. 430 (2009), no. 11-12, 3066-3079,
DOI: 10.1016/j.laa.2009.01.028.
[A9] M. Prażmowska, K. Prażmowski, M. Żynel, Euclidean geometry of orthogonality
of subspaces, Aequationes Math. 76 (2008), no. 1-2, 151-167,
DOI: 10.1007/s00010-007-2911-9.
[A10] M. Pankov, K. Prażmowski, M. Żynel, Geometry of polar Grassmann spaces,
Demonstratio Math. 39 (2006), no. 3, 625-637.
3.3
Omówienie osiągnięcia naukowego
Na wstępie kilka uwag co do samego sformułowania tematu rozprawy. Otóż celowo używamy nieprecyzyjnego pojęcia „oszczędny” dlatego, że nie dokonujemy tutaj
jakiejkolwiek klasyfikacji układów pojęć pierwotnych, czy to z uwagi na liczbę relacji, liczbę argumentów poszczególnych relacji, czy złożoność formuł w aksjomatyce.
Unikamy sformułowania „minimalny układ pojęć pierwotnych”, które mogłoby sugerować taką właśnie klasyfikację i wymagało by sprecyzowania kryteriów. Słowo
„oszczędny” ma tutaj oznaczać, że dany układ pojęć pierwotnych jest możliwie prosty i niezależny, przy tym intuicyjny i elementarny, znany z klasycznych geometrii,
albo przynajmniej im bliski.
Przez fragment Grassmannianu, a w zasadzie fragment przestrzeni Grassmanna, należy rozumieć tu wybrany, w sposób naturalny i dobrze określony, podzbiór zbioru
punktów wyjściowej przestrzeni Grassmanna wraz z prostymi, których przecięcia z
tym podbiorem są dostatecznie duże.
Termin rzutowo zanurzalna przestrzeń Grassmanna nie oznacza tutaj faktu, że ta
przestrzeń daje się zanurzyć poprzez kolineację w odpowiedniej potędze zewnętrznej pewnej przestrzeni wektorowej. Chodzi tu raczej o to, że określamy przestrzeń
Grassmanna nad pewną przestrzenią rzutową, co znaczy, że jej punkty to podprzestrzenie tej przestrzeni rzutowej. Z uwagi na wymiar rozważanych przestrzeni
rzutowych możemy zamiast nich mówić równoważnie, bez straty ogólności, o przestrzeniach wektorowych. Takie podejście pozwala na stosowanie wygodnego aparatu
algebraicznego związanego z przestrzeniami wektorowymi.
Sprecyzujmy fundamentalne dla naszych rozważań pojęcie przestrzeni Grassmanna oraz inne istotne pojęcia. Niech S będzie dowolnym zbiorem i L ⊆ 2S .
Elementy zbioru S nazywamy punktami, a elementy zbioru L nazywamy prostymi. Wówczas struktura incydencyjna A = hS, Li, gdzie relacją incydencji punktów
z prostymi jest implicite relacja ∈, jest częściową przestrzenią prostych, gdy dwie
różne proste przecinają się najwyżej w jednym punkcie. Przestrzeń A jest spójna,
gdy każde dwa jej punkty da się połączyć łamaną, czyli ciągiem prostych, z których
kolejne dwie przecinają się. Podzbiór X ⊆ S nazywamy podprzestrzenią A, gdy dla
każdych dwóch różnych, współliniowych punktów a, b w X, cała prosta przez a, b zawarta jest w X. Podprzestrzeń jest określana jako mocna, gdy każde dwa jej punkty
są współliniowe. Mówimy, że A to przestrzeń prostych, gdy każde dwa punkty w A
są współliniowe. Wśród częściowych przestrzeni prostych wyróżnia się przestrzenie
Autoreferat
5
Gamma scharakteryzowane warunkiem zwanym none-one-or-all : punkt poza prostą
nie jest połączalny z żadnym punktem tej prostej, jest połączalny z dokładnie jednym
punktem lub ze wszystkimi punktami tej prostej.
Niech teraz hP, ⊆i będzie posetem i niech dim : P −→ {0, 1, . . . , n} będzie funkcją wymiaru. Dla 0 ¬ k ¬ n, przez Pk oznaczamy rodzinę wszystkich k-wymiarowych elementów P . Weźmy takie H ∈ Pk−1 oraz B ∈ Pk+1 , że H ⊂ B. Zbiór
p(H, B) := U ∈ Pk : H ⊂ U ⊂ B
(1)
nazywamy k-pękiem. Struktura incydencyjna punktów i prostych
Pk (P ) := Pk , Pk (P ) ,
(2)
gdzie Pk (P ) jest rodziną wszystkich k-pęków, to przestrzeń Grassmanna (por. [8],
[68], [86]). Na tym poziomie ogólności niewiele można powiedzieć o własnościach tej
struktury. W klasycznym ujęciu P to rodzina podprzestrzeni przestrzeni rzutowej,
lub równoważnie, gdy 3 ¬ n, przestrzeni wektorowej.
Niech V będzie (lewą) przestrzenią wektorową nad pewnym pierścieniem z dzieleniem. Przez Sub(V ) oznaczamy rodzinę wszystkich podprzestrzeni V , natomiast
przez Subk (V ) rodzinę podprzestrzeni k-wymiarowych. W (1), (2) weźmy P =
Sub(V ). Wówczas nasza przestrzeń Grassmanna to Pk (V ). W literaturze funkcjonuje też określenie the shadow space of the building associated with V [16, 17].
Przestrzeń Grassmanna Pk (V ) jest częściową przestrzenią prostych, a nawet więcej, jest spójną Veblenowską przestrzenią Gamma (por. [17]). Gdy k = 1 lub gdy
k = dim(V ) − 1 (oraz dim(V ) < ∞), wówczas Pk (V ) jest przestrzenią rzutową. W
pozostałych przypadkach Pk (V ) jest właściwą częściową przestrzenią prostych, to
znaczy istnieją w niej pary punktów niewspółliniowych. W badaniu takich geometrii
istotną rolę odgrywają maksymalne mocne podprzestrzenie. W Pk (V ) mamy dwie
rodziny takich podprzestrzeni: gwiazdy oraz układy. Każda gwiazda i układ jest,
z dokładnością do izomorfizmu, przestrzenią rzutową. Uzyskujemy w ten sposób
pokrycie Pk (V ) przestrzeniami rzutowymi. Gwiazdy to zbiory postaci
S(H) = {U ∈ Subk (V ) : H ⊂ U },
(3)
gdzie H ∈ Subk−1 (V ), natomiast układy to zbiory postaci
T (B) = {U ∈ Subk (V ) : U ⊂ B},
(4)
gdzie B ∈ Subk+1 (V ). Są to szczególne przypadki podprzestrzeni odcinkowych, czyli
zbiorów postaci
[Z, Y ]k = {U ∈ Subk (V ) : Z ⊆ U ⊆ Y },
(5)
gdzie Z, Y ∈ Sub(V ) i Z ⊆ Y .
Przestrzeń rzutową, której punktami są jednowymiarowe podprzestrzenie V , a
proste są dwuwymiarowymi podprzestrzeniami V , będziemy oznaczać przez P(V ).
W zasadzie pełna nazwa Pk (V ) to rzutowa przestrzeń Grassmanna, a to z uwagi na
fakt, że Pk (V ) ∼
= Pk−1 (P(V )).
O dwóch punktach U, W przestrzeni Pk (V ) mówimy, że są sąsiednie i piszemy
U ∼ W , gdy dim(U ∩ W ) = k − 1. Klasycznym wynikiem, który charakteryzuje
kolineacje przestrzeni Grassmanna, i który może być traktowany jako uogólnienie
podstawowego twierdzenia geometrii rzutowej, jest twierdzenie Chowa (por. [15]).
Autoreferat
6
3.1 (Chow, 1949). Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią wektorową, gdzie 3 ¬ n < ∞, i niech 1 < k < n − 1. Bijekcja zbioru punktów Subk (V )
przestrzeni Grassmanna Pk (V ) zachowująca sąsiedniość punktów w obie strony jest
indukowana przez kolineację przestrzeni rzutowej P(V ) lub, gdy n = 2k, przez korelację P(V ).
Twierdzenie
Jest ono jednym z pierwszych w serii twierdzeń, które charakteryzują klasy przekształceń geometrycznych przy skromnych założeniach, to znaczy bez założeń o
tym, że te przekształcenia są odpowiednio regularne: ciagłe, różniczkowalne czy afiniczne. Dysyplinę poświęconą tym badaniom określa się jako characterizations of
geometrical transformations under mild hypotheses. W tej serii wyników znajduje
się twierdzenie Alexandrova charakteryzujące przekształcenia Lorentza związane ze
szczególną teorią względności (por. [2]):
3.2 (Alexandrov, 1950). Bijekcja n-wymiarowej przestrzeni Minkowskiego na siebie, gdzie 3 ¬ n, zachowująca w obie strony odległość LorentzaMinkowskiego wynoszącą 0 (zachowująca promienie stożka świetlnego) jest, z dokładnością do dylatacji, transformacją Lorentza.
Twierdzenie
Jest w tej serii również mocne twierdzenie Beckmana i Quarlesa charakteryzujące
izometrie w przestrzeni Euklidesowej (por. [5]):
3.3 (Beckman i Quarles, 1953). Przekształcenie n-wymiarowej
przestrzeni euklidesowej E w siebie, gdzie 2 ¬ n < ∞, zachowujące euklidesową
odległość wynoszącą 1 jest izometrią przestrzeni E.
Twierdzenie
W [36], [37] Huang dowiodła, że założenia w twierdzeniu Chowa można osłabić: przekształcenie nie musi być bijekcją, wystarczy, że jest surjekcją zachowującą sąsiedniość (w jedną stronę, bo przekształcenie nie musi być odwracalne). Inne
uogólnienie tego twierdzenia, idące w kierunku zastosowań w przestrzeniach biegunowych, podaje Pankov w [66]. W [57] znajduje się natomiast świeży, z 2014 roku,
wynik jaki uzyskali De Schepper i Van Maldeghem uogólniający twierdzenie Chowa
na rodzinę par podprzestrzeni przestrzeni wektorowej znajdujących się w ustalonej
od siebie odległości.
Nieco wcześniej niż Chow podobny rezultat uzyskał Hua tylko w innym kontekście. Mianowicie w [32], [33] scharakteryzował bijekcje zachowujące w obie strony
sąsiedniość macierzy kwadratowych nad ciałem liczb zespolonych, przy czym sąsiednie macierze to te, dla których rząd różnicy wynosi 1 (inaczej mówiąc są to macierze
w odległości 1 od siebie). Jak się okazuje między przestrzeniami Grassmanna a przestrzeniami macierzy istnieje ścisły związek (por. [91, Roz. 3]).
W literaturze znajdujemy mnóstwo zastosowań i udanych prób przeniesienia
twierdzenia Chowa na inny grunt: [27], [39], [34], [35], [40], [36], [41], [42], [70].
W niedawno opublikowanej pracy z zakresu teorii kodowania [24] Ghorpade i Kaipa stosują twierdzenie Chowa do scharakteryzowania grupy automorfizmów kodów
Grassmanna, a następnie dowodzą jego analogon dla dzielników Schuberta w Grassmannianach. Wyniki te zostały uzupełnione i uporządkowane w książce Pankova
[67, Roz. 6, 6.3], natomiast w [14] przedstawiona jest nowa, ciekawa klasa kodów
liniowych związanych z biegunowymi przestrzeniami Grassmanna.
Autoreferat
7
Twierdzenie Chowa, jak i pozostałe twierdzenia z serii characterizations of transformations under mild hypotheses, sformułowane są zgodnie z programem Kleina
[48]. W oparciu o teorię definiowalności (por. [13] oraz [11], [85]), w szczególności z
uwagi na:
3.4. Jeśli wszystkie przkształcenia zachowujące pewną własność geometryczną η zachowują również inną własność geometryczną δ, to δ jest definiowalna za
pomocą η.
Fakt
twierdzenie Chowa mówi, że trójargumentowa relacja wspólliniowości w przestrzeni
rzutowej P(V ) jest definiowalna w terminach binarnej relacji sąsiedniości jej (k−1)wymiarowych podprzestrzeni. Można zatem traktować tę relację sąsiedniości jako
pojęcie pierwotne i przeformułować twierdzenie Chowa:
Relacja sąsiedniości (k −1)-wymiarowych podprzestrzeni w (n−1)-wymiarowej przestrzeni rzutowej jest wystarczającym pojęciem pierwotnym tej przestrzeni rzutowej.
Na mocy 3.4 aksjomatyka wyrażona w języku relacji δ może być zastąpiona aksjomatyką w języku relacji η. Zamiast wręcz badać niezmienniki przekształceń, co
sugeruje program Kleina [48], można równoważnie, zgodnie z programem Büchiego
[13], zajmować się geometrią badając definiowalność jednych własności geometrycznych w terminach innych własności geometrycznych. Pojęcia pierwotne odgrywają
wówczas podstawową rolę.
Twierdzenie Chowa można wysłowić również w następujący sposób:
W przestrzeni Grassmanna Pk (V ) można zrekonstruować wyjściową przestrzeń rzutową P(V ).
W rozprawie przyglądamy się w jakich fragmentach Pk (V ) można zrekonstruować wyjściową przestrzeń rzutową P(V ) lub, równoważnie, jakie układy pojęć pierwotnych na tym fragmencie są wystarczające dla geometrii P(V ). Na ogół, jak się
okazuje, wystarczy jedna relacja na rodzinie k-wymiarowych podprzestrzeni i wówczas dowodzimy odpowiedni wariant twierdzenia Chowa. Na rodzinie regularnych
podprzestrzeni wystarczającym pojęciem pierwotnym jest prostopadłe przecinanie,
ale dowodzimy również, że współpękowość jako relacja incydencji jest także wystarczającym pojęciem pierwotnym. Z kolei dla przestrzeni jeżowych jedna relacja nie
zawsze wystarczy i oszczędny układ pojęć pierwotnych jest tam bardziej skomplikowany. Taki układ z niestandardową strukturą prostych otrzymujemy wykorzystując
właściwości pokrycia mocnymi podprzestrzeniami i ich incydencję.
Dla wielu różnych geometrii pochodnych od przestrzeni Grassmana udało się
uzyskać prosty opis w języku jednej tylko relacji spełaniającej twierdzenie Chowa
lub w języku relacji incydencji. W każdym przypadku automorfizmy uzyskanego
układu pojęć pierwotnych są oczekiwanymi automorfizmami wyjściowej przestrzeni
rzutowej, w której dana geometria jest rozpatrywana.
W dalszej części rozprawy przedstawiamy bardziej szczegółowo konkretne fragmenty przestrzeni Grassmanna i analizujemy możliwie oszczędne dla nich układy
pojęć pierwotnych.
Autoreferat
3.3.1
8
Biegunowe przestrzenie Grassmanna
Niech ξ będzie niezdegenerowaną, refleksywną formą półtoraliniową nad V . Refleksywność oznacza, że dla dowolnych x, y ∈ V jeśli ξ(x, y) = 0, to ξ(y, x) = 0. Przez
m oznaczamy dalej indeks formy ξ. Dla U, W ∈ Sub(V ) piszemy
U ⊥ W wtedy i tylko wtedy, gdy ξ(u, w) = 0 dla wszystkich u ∈ U, w ∈ W,
oraz
U ⊥ := {w ∈ V : ξ(u, w) = 0 dla wszystkich u ∈ U }.
Mówimy, że podprzestrzeń U jest
• nieizotropowa, gdy U ∩ U ⊥ = 0,
• izotropowa, gdy U ∩ U ⊥ 6= 0,
• totalnie izotropowa, gdy U ⊆ U ⊥ .
Przez Q oznaczamy zbiór wszystkich, totalnie izotropowych względem ξ podprzestrzeni V , natomiast przez Qk podzbiór k-wymiarowych podprzestrzeni w Q.
Forma ξ wyznacza biegunowość, czyli inwolucyjną korelację, w przestrzeni rzutowej P(V ). Obrazem punktu U przy tej biegunowości jest hiperpłaszczyzna U ⊥ ,
natomiast punkt U jest samosprzężony, gdy U ⊥ U . Zbiór Q1 (albo ogólnie Q) jest
kwadryką w P(V ).
Dalej zakładamy, że forma ξ jest symplektyczna, to znaczy, ξ(x, x) = 0 dla
wszystkich x ∈ V . Wówczas wszystkie punkty w P(V ) są samosprzężone. Przestrzeń
rzutowa wyposażona w biegunowość symplektyczną zwana jest null systemem (por.
[17]). Przypomnijmy, że forma symplektyczna może być niezdegenerwana wyłącznie
gdy wymiar V jest parzysty.
W [15] Chow dowodzi, że bijekcje Qm zachowujące sąsiedniość w obie strony
indukowane są przez kolineacje null systemu, czyli przez automorfizmy przestrzeni
V zachowujące relację ⊥. Dieudonné uogólnia ten wynik w [22], [23] na dowolne formy refleksywne. Z kolei Huang w [36] pokazuje, że rozpatrywane przekształcenia nie
muszą być bijekcjami i wystarczy, że są surjekcjami. Następnie w [38], ta sama autorka, przedstawia jeszcze inny zestaw warunków, które charakteryzują przekszałcenia
Qm . Charakteryzację przekształceń Qm zachowujących zbiory bazowe prezentuje
Pankov w [69].
W [A10] uogólniamy wynik Chowa biorąc Qk dla k ¬ m oraz dowolną biegunowość, niekoniecznie symplektyczną. Tak więc dalej zakładamy, że przestrzeń V
jest nad ciałem charakterystyki nieparzystej, forma ξ nie musi być symplektyczna i
rozważamy przestrzeń biegunową (ang. polar space)
M := hQ1 , Q2 , ⊂i.
Pojęcie przestrzeni biegunowej, jako uogólnienie geometrii na kwadryce względem
biegunowości ortogonalnej, symplektycznej i unitarnej, wprowadził Veldkamp i jako
pierwszy podał syntetyczną charakteryzację takiej geometrii w [90]. Tits rozszerzył
tę charakteryzacją o geometrie związane z formami pseudo-kwadratowymi w [88].
Jak jednak zauważa Kreuzer w [50] oba podejścia Veldkampa i Titsa są równoważne.
Autoreferat
9
W [12] Buekenhout i Shult dowodzą, że większość aksjomatów Veldkampa i Titsa to
konsekwencje jednego prostego warunku zwanego one-or-all : punkt poza prostą połączalny jest z dokładnie jednym lub ze wszystkimi punktami na tej prostej (dlatego
przestrzenie biegunowe to przestrzenie Gamma), natomiast w [43] Johnson roszerza
wyniki Veldkampa i Titsa na przestrzenie dowolnego wymiaru.
Zauważmy, że m−1 to wymiar maksymalnej mocnej podprzestrzeni w M. Zakładamy, że 1 ¬ k ¬ m. Ponieważ k-wymiarowe podprzestrzenie M to podprzestrzenie
wymiaru k + 1 w V , więc Qk to fragment przestrzeni Grassmanna Pk+1 (V ). Co więcej, jeśli weźmiemy Q jako poset P w (1) i (2), to otrzymamy biegunową przestrzeń
Grassmanna Pk+1 (Q) ∼
= Pk (M).
Zasadnicza różnica w przypadku k < m polega na tym, że kres górny U + W ,
dla U, W ∈ Qk takich, że U ∩ W ∈ Qk−1 , może być totalnie izotropowy lub nie. Gdy
natomiast k = m ten kres nigdy nie jest totalnie izotropowy. Tak więc w ogólnym
przypadku mamy do czynienia z dwoma różnymi relacjami sąsiedniości.
Tak jak wcześniej, dla U, W ∈ Qk mówimy, że są sąsiednie i piszemy U ∼ W ,
gdy U ∩ W ∈ Qk−1 . Na rodzinie Qk rozważmy jeszcze jedną relację. Mówimy, że
U, W ∈ Q są prostopadłe i piszemy U ⊥ W , gdy dowolne dwa punkty p, q takie,
że p ⊂ U oraz q ⊂ W , są współliniowe w M. Teraz możemy wprowadzić drugą
relację sąsiedniości. Dla U, W ∈ Qk piszemy U ∼ W , gdy jednocześnie U ⊥ W oraz
U ∼ W . Zauważmy, że ∼ to relacja współliniowości (współpękowości) w Pk (Q).
Twierdzenie 3.5 ([A10, Theorem 5.1]). Niech f będzie bijektywną transformacją
rodziny Qk . Wówczas:
(i) Jeśli k ¬ m oraz przekształcenie f zachowuje relację sąsiedniości ∼, to jest
ono indukowane przez kolineację przestrzeni biegunowej M.
(ii) Jeśli k < m, nie zachodzi jednocześnie m = 4 i k = 2, oraz przekształcenie f
zachowuje relację współliniowości ∼, to jest ono indukowane przez kolineację
przestrzeni biegunowej M.
Dowód powyższego twierdzenia polega na scharakteryzowaniu klik relacji sąsiedniości ∼ i ∼ oraz mocnych podprzestrzeni Pk (Q) w pierwszym kroku [A10,
Theorem 3.5], a następnie, korzystając z własności gwiazd, na przejściu z wymiaru
k do wymiaru 1 i wykorzystaniu znanych wyników z zakresu geometrii rzutowej.
Istotna jest tutaj spójność rozważanej geometrii. Jeden przypadek Grassmannianu
prostych samosprzężonych w 7-wymiarowej przestrzeni rzutowej, w której wymiar
maksymalnej podprzestrzeni samosprzężonej wynosi 3, został nierozstrzygnięty.
Dla relacji ⊥ również prawdziwy jest wariant twierdzenia Chowa.
3.6 ([A10, Corollary 5.3]). Jeśli k < m, to każda bijektywna transformacja Qk zachowująca relację prostopadłości ⊥ jest indukowana przez kolineację
przestrzeni biegunowej M.
Twierdzenie
Twierdzenia 3.5 i odpowiednio 3.6 mówią, że przy pewnych założeniach, zarówno obie relacje sąsiedniości, jak i relacja prostopadłości, k-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni biegunowej M jest wystarczającym pojęciem pierwotnym dla M.
W konsekwencji, z fragmentu przestrzeni Grassmanna Pk+1 (V ) odpowiadającemu
k-wymiarowym podprzestrzeniom przestrzeni biegunowej M, wyposażonego w relację sąsiedniości lub prostopadłości można zrekonstruować przestrzeń biegunową M,
a w następnym kroku, przestrzeń rzutową P(V ).
Autoreferat
3.3.2
10
Afiniczno-biegunowe przestrzenie Grassmanna
Usuwając hiperpłaszczyznę z przestrzeni biegunowej, jak to czynią Cohen i Shult w
[18], otrzymujemy afiniczną przestrzeń biegunową. Na tę przestrzeń w standardowy sposób możemy nałożyć strukturę przestrzeni Grassmanna i uzyskać afinicznobiegunową przestrzeń Grassmanna. W naszej pracy preferujemy trochę inne podejście.
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem charakterystyki 6= 2, a ξ
będzie niezdegenerowaną, refleksywną formą dwuliniową na V . Forma ξ wyznacza
relację ⊥. Rodzinę wszystkich k-wymiarowych warstw w przestrzeni wektorowej V ,
gdzie 0 ¬ k ¬ dim(V ), oznaczamy przez
Hk = a + U : a ∈ V i U ∈ Subk (V ) .
Warstwy 0-wymiarowe utożsamiamy z wektorami V i przyjmujemy dodatkowo, że
H−1 = {∅}. Mówimy, że dwie warstwy a + U, b + W , gdzie U, W ∈ Sub(V ) oraz
a, b ∈ V , są równoległe i piszemy a + U k b + W , gdy U = W , natomiast mówimy
że są prostopadłe i piszemy a + U ⊥ b + W , gdy U ⊥ W . W standardowy sposób
otrzymujemy przestrzeń afiniczną
A := hV, H1 , ki
oraz przestrzeń afiniczno-metryczną (A, ⊥).
Biorąc warstwy H zamiast podprzestrzeni liniowych Sub(V ), nad przestrzenią
afiniczną A, dla 0 ¬ k < dim(V ), konstruujemy przestrzeń Grassmanna
Pk (A) = Pk (H) = Hk , Pk (H) .
(6)
Przechodząc z przestrzeni rzutowej do afinicznej poprzez usunięcie hiperpłaszczyzny
obok pęków z właściwym wierzchołkiem pojawią się pęki o wierzchołku niewłaściwym. Gdy W ∈ Hk , B ∈ Hk+1 oraz gdy istnieje taka translacja t : V −→ V , że
t(W ) ⊆ B, to pęk k-podprzestrzeni równoległych w A jest zbiorem postaci
p∗ (W, B) := U ∈ Hk : W k U ⊂ B .
(7)
Afiniczna przestrzeń Grassmanna to struktura incydencyjna
P∗k (A) := P∗k (H) = Hk , Pk (H) ∪ Pk∗ (H) ,
(8)
gdzie Pk∗ (H) to rodzina k-pęków podprzestrzeni równoległych w A (por. [19]). Jest
to spójna przestrzeń Gamma. Zanurza się ona w rzutową przestrzeń Grassmnanna
Pk (V ).
Rozważmy teraz warstwy względem podprzestrzeni totalnie izotropowych, czyli zbiór U := V + Q. Przez Uk oznaczać będziemy zbiór warstw k-wymiarowych
w U. Struktura incydencyjna, której punktami są punkty A i prostymi są proste
izotropowe w A, czyli
U := hV, U1 i,
to afiniczna przestrzeń biegunowa. W przypadku, gdy forma ξ jest symplektyczna
mamy U1 = H1 i w konsekwencji A = U. Dlatego dalej zakładamy, że forma ξ jest
symetryczna, 3 ¬ dim(V ) oraz 0 ¬ k ¬ m, gdzie m to indeks formy ξ.
Autoreferat
11
W stosunku do syntetycznego ujęcia afinicznych przestrzeni biegunowych w
[18], nasze podejście obejmuje geometrie Minkowskiego, w których prawdziwe są
twierdzenia typu Alexandrova-Zeemana [59], ale wyklucza geometrie symplektyczne, geometrie w których płaszczyzny mogą nie być desarguesowskie oraz afiniczne
przestrzenie biegunowe powstające przez usunięcie hiperpłaszczyzny, która nie jest
styczna do kwadryki. Poza tym oba podejścia definiują te same geometrie, tak więc
są równoważne.
Nad afiniczną przestrzenią biegunową U, analogicznie jak w (6) i (8), można
zbudować afiniczno-biegunowe przestrzenie Grassmanna Pk (U) oraz P∗k (U). Dla
U, W ∈ Uk , rozważamy trzy następujące relacje sąsiedniości:
U ∼− W : ⇐⇒ U ∩ W ∈ Uk−1 ,
U ∼+ W : ⇐⇒ U ∪ W ⊂ X dla pewnego X ∈ Uk+1 ,
U ∼ W : ⇐⇒ U ∼− W i U ∼+ W.
Relacja ∼+ to relacja binarnej współliniowości w P∗k (U), natomiast ∼ to relacja
binarnej współliniowości w Pk (U).
Dla obu wariantów afiniczno-biegunowej przestrzeni Grassmanna dowodzimy
twierdzenia Chowa.
3.7 ([A7, Theorem 4.1]). Niech ∼ będzię jedną z trzech relacji
∼ , ∼ lub ∼. Gdy ∼ = ∼+ , ∼, to zakładamy, że 0 ¬ k < m − 1, gdy natomiast
∼ = ∼− , to zakładamy, że 0 < k < m. Wówczas zarówno afiniczna przestrzeń
biegunowa U, jak i przestrzeń afiniczna A, są definiowalne w strukturze hUk , ∼i.
W konsekwencji, zarówno A jak i U są definiowalne w Pk (U) oraz w P∗k (U) przy
założeniu, że k < m − 1.
Twierdzenie
−
+
Techniki dowodzenia są generalnie podobne do tych z [A10] z tym, że wykorzystuje się tutaj własności geometrii afinicznej i afiniczno-metrycznej. Na marginesie,
w [76] przedstawiamy dowód 3.7 dla afinicznych przestrzeni biegunowych rozumianych jak w pracy Cohena i Shulta [18].
3.3.3
Relacja prostopadłego przecinania w geometrii euklidesowej
W literaturze znane są różne układy pojęć pierwotnych dla geometrii euklidesowej:
punkty, proste i relacja prostopadłości prostych [54], styczność okręgów na płaszczyźnie [74], styczność sfer [63], przecinanie się prostych [31]. Relacja przecinania się
prostych jest również wystarczającym pojęciem pierwotnym geometrii rzutowej [61].
Bijekcje zbioru prostych przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej 3, zachowujące prostopadłość zostały scharakteryzowane w [7]. W pracach [60] i [65] badana
jest natomiast relacja prostopadłości prostych jako wystarczające pojęcie pierwotne
geometrii hiperbolicznej. W [82] Schwabhäuser i Szczerba dowodzą, że prostopadłość prostych jest wystarczającym pojęciem pierwotnym geometrii euklidesowej
dla wymiaru ­ 4. Naszym celem w [A9], [A2] jest uogólnienie tego wyniku i pokazanie, że geometria euklidesowa może być wyrażona jako teoria relacji prostopadłego
przecinania się podprzestrzeni ustalonego wymiaru. Twierdzenie Chowa dla relacji
prostopadłego przecinania się prostych zostało dowiedzione w geometrii eliptycznej
[28], [29], w geometrii hiperbolicznej [56] oraz w geometrii symplektycznej [30].
Autoreferat
12
Przestrzeń euklidesowa jest dość specyficznym fragmentem rzutowej przestrzeni
Grassmanna Pk (V ), bo powstaje przez usunięcie hiperpłaszczyzny z przestrzeni
rzutowej P(V ) i wyposażenie uzyskanej przestrzeni afinicznej w symetryczną formę
dwuliniową ξ bez izotropowych wektorów (iloczyn skalarny). Forma ξ wyznacza
w standardowy sposób relację prostopadłości odcinków ⊥ (i relację przystawania
odcinków). Tak więc, nasza przestrzeń euklidesowa, przy oznaczeniach z 3.3.2, niech
będzie strukturą A = hV, H1 , k, ⊥i.
Niech U, W ∈ H. Najmniejszą podprzestrzeń zawierającą U ∪ W zapisujemy
jako U t W . Rozważmy następujące relacje:
U ⊥ W : ⇐⇒ u1 u2 ⊥ w1 w2 dla dowolnych u1 , u2 ∈ U oraz w1 , w2 ∈ W,
U ⊥∗ W : ⇐⇒ U ⊥ W i U ∩ W 6= ∅,
◦ W : ⇐⇒ istnieją takie U0 , W0 ∈ H, że U0 ⊥∗ W, W0 ⊥∗ U,
U⊥
(U ∩ W ) t U0 = U, (U ∩ W ) t W0 = W oraz U ∩ W 6= U, W,
U
⊥kk1 ,k2
◦ W, U ∈ Hk1 , W ∈ Hk2 oraz U ∩ W ∈ Hk .
W : ⇐⇒ U ⊥
Relacja ⊥ nie wystarczy jako pojęcie pierwotne geometrii euklidesowej (por. [A9,
◦ pełni pomocniczą rolę w dalszych definicjach. Analogon twierFact 1.1]). Relacja ⊥
dzenia Chowa dowodzimy dla ⊥∗ oraz ⊥k−1
k,k .
Twierdzenie 3.8 ([A9, Theorem 2.10]). Jeśli albo k = 1 i 4 ¬ n, albo 2 ¬ k i
k + 2 ¬ n, to relacja ⊥k−1
k,k na rodzinie k-wymiarowych podprzestrzeni jest wystarczającym pojęciem pierwotnym n-wymiarowej geometrii euklidesowej.
3.9 ([A9, Theorem 2.17]). Jeśli 3k + 1 ¬ n, to relacja ⊥∗ na
rodzinie k-wymiarowych podprzestrzeni jest wystarczającym pojęciem pierwotnym
n-wymiarowej geometrii euklidesowej.
Twierdzenie
W [A9, Theorem 2.18] podana jest wersja 3.8 i 3.9 w języku automorfizmów,
bliższa oryginalnemu sformułowaniu jakiego użył Chow. W [A2] pokazujemy, że
prostopadłe przecinanie podprzestrzeni różnych wymiarów także może być pojęciem
pierwotnym geometrii euklidesowej.
Twierdzenie
3.10 ([A2, Theorem 2.4]). Załóżmy, że 1 ¬ k1 , k2 < dim(V ).
(i) Jeśli 0 ¬ k < k1 , k2 oraz k1 + k2 − k ¬ dim(V ), to przestrzeń euklidesowa
A jest definiowalna w strukturze
V, Hk1 , Hk2 , ⊥kk1 ,k2 .
(ii) Przestrzeń euklidesowa A jest definiowalna w strukturze
3.3.4
◦ ∩ (Hk1 × Hk2 ) .
V, Hk1 , Hk2 , ⊥
Relacja prostopadłego przecinania się prostych w geometrii afiniczno-metrycznej
W [A9] udało się scharakteryzować geometrię euklidesową w terminach relacji prostopadłego przecinania się podprzestrzeni ustalonego wymiaru. Narzuca się w tej
Autoreferat
13
sytuacji pytanie, czy ten wynik da się uogólnić dla szerszej klasy geometrii. Geometria euklidesowa mieści się w klasie geometrii afiniczno-metrycznych, wśród których
jest też geometria Minkowskiego. W tej ogólności jednak nasze metody zawiodły i
z tego powodu w [A8] ograniczamy się do prostopadłego przecinania się prostych.
Różne, równoważne systemy aksjomatyczne przestrzeni afiniczno-metrycznej, jako przestrzeni afinicznej wyposażonej w dwuliniową formę symetryczną, można znaleźć w [52], [53], [81], [80]. Pojęciem typowym dla geometri metrycznych jest symetria, czyli inwolucyjna izometria, której zbiorem punktów stałych jest podprzestrzeń
(por. [3], [55]). W języku takich przekształceń scharakteryzowano przestrzeń euklidesową [1] oraz przestrzeń Minkowskiego [84], [92], [93]. Warunkiem koniecznym
na to by symetria względem danej podprzestrzeni istniała jest regularność (nieizotropowość) tej podprzestrzeni. Z tego powodu w [A8] zajmujemy się również
relacją prostopadłego przecinania się prostych regularnych w przestrzeni afinicznometrycznej.
Niech A = hV, H1 , k, ⊥i, gdzie ⊥ jest wyznaczone niezdegenerowaną, symetryczną formą dwuliniową na V , będzię naszą przestrzenią afiniczno-metryczną przy oznaczeniach z 3.3.2 i 3.3.3.
3.11 ([A8, Main Theorem]). Załóżmy, że ciało skalarów przestrzeni afiniczno-metrycznej A jest nieskończone. Relacja prostopadłego przecinania się
prostych ⊥∗ zarówno na zbiorze wszystkich prostych w A, jak i na zbiorze prostych
regularnych w A, jest wystarczającym pojęciem pierwotnym geometrii afinicznometrycznej A wymiaru co najmniej 4.
Twierdzenie
Nasze rozumowanie opiera się na założeniu, że proste są dostatecznie duże, co
odpowiednio tłumaczy się na ciało skalarów. W wymiarze 3 relacja ⊥∗ na zbiorze
prostych (regularnych prostych, czy też wszystkich prostych) nie jest wystarczającym pojęciem pierwotnym, co pokazane zostało w [A8, Theorem 4.9].
3.3.5
Relacja prostopadłego przecinania w geometrii rzutowo-metrycznej
Relacja prostopadłego przecinania badana była w [A9] oraz w [28]. W [28], [29]
Havlicek dowodzi twierdzenie Chowa dla tej relacji na prostych w przestrzeni eliptycznej. W [30] uzyskuje on podobny wynik dla przestrzeni symplektycznych, natomiast List w [56] otrzymuje analogiczny rezultat dla przestrzeni hiperbolicznych. W
[A4] uogólniamy wyniki [28], [30] oraz [56] biorąc relację prostopadłego przecinania
na k-wymiarowych podprzestrzeniach i stosując wspólne rozumowanie zarówno dla
geometrii eliptycznej, symplektycznej jak i hiperbolicznej.
Niech ξ będzie niezdegenerowaną, refleksywną formą półtoraliniową na V . Stosujemy oznaczenia z 3.3.1. Mówimy, że k-wymiarowe podprzestrzenie U, W w V
przecinają się prostopadle, co zapisujemy
⊥ W, wtedy i tylko wtedy, gdy U ∼ W i U ∩ W ⊥ 6= 0.
U∼
Przez S oznaczamy zbiór wszystkich podprzestrzeni nieizotropowych (regularnych)
względem formy ξ. W standardowy sposób określamy przestrzeń Grassmanna podprzestrzeni regularnych Pk (S), fragment przestrzeni Grassmanna Pk (V ).
Autoreferat
14
Celem postawionym w [A4] jest rekonstrukcja przestrzeni rzutowo-metrycznej
⊥i k-wymiarowych podprzestrzeni nieizotropowych z
(P(V ), ⊥) w strukturze hSk , ∼
relacją prostopadłego przecinania. Warto w tym miejscu zwrócić uwagę na trzy
⊥ na Sk jest pusta. Gdy naprzypadki. Gdy forma ξ jest symplektyczna, to relacja ∼
tomiast ciało jest charakterystyki 2, to w przestrzeni rzutowej P(V ) zbiór punktów
samosprzężonych (kwadryka) względem ξ jest hiperpłaszczyzną. Wówczas istnieją
proste nieizotropowe, które nie zawierają punktów regularnych (jednowymiarowych
podprzestrzeni nieizotropowych). W przypadku, gdy dim(V ) = 2k forma ξ wyzna⊥i, który nie jest indukowany przez automorfizm (P(V ), ⊥).
cza automorfizm hSk , ∼
3.12 ([A4, Theorem 1.1]). Jeśli ciało skalarów nie jest charakte⊥ prostopadłego
rystyki 2, forma ξ nie jest symplektyczna oraz 1 ¬ k ¬ n, to relacja ∼
przecinania na zbiorze wszystkich k-wymiarowych podprzestrzeni nieizotropowych Sk
jest wystarczającym pojęciem pierwotnym geometrii rzutowo-metrycznej (P(V ), ⊥).
Twierdzenie
W duchu twierdzenia Chowa ten wynik można sformułować następująco:
Twierdzenie 3.13 ([A4, Theorem 1.2]). Przy założeniach 3.12, każda bijekcja
określona na zbiorze k-wymiarowych podprzestrzeni nieizotropowych Sk , zachowu⊥ prostopadłego przecinania w obu kierunkach, jest indukowana przez
jąca relację ∼
kolineację wyjściowej przestrzeni rzutowej P(V ), zachowującą relację ⊥.
3.3.6
Przestrzenie Grassmanna podprzestrzeni regularnych
W pracach [A10] i [A7] ogólnie rzecz biorąc badana była geometria kwadryki, a dokładniej, struktura podprzestrzeni ustalonego wymiaru w rzutowych i afinicznych
przestrzeniach biegunowych. W [83] Shult postawił pytanie, czy da się scharakteryzować geometrię fragmentu przestrzeni rzutowej poza ustaloną kwadryką. Dało
to początek badaniom nad przestrzeniami Delta, zwanymi również przestrzeniami
ko-biegunowymi (ang. copolar spaces). W [20] badana jest struktura punktów samosprzężonych oraz siecznych, czyli prostych nieizotropowych przecinających kwadrykę w dwóch punktach. W [21] rozważane są punkty poza kwadryką i proste styczne
do kwadryki, natomiast w [25] i [26] punkty i proste poza kwadryką. Innym, wspomnianym w 3.3.4, powodem zajmowania się dopełnieniem kwadryki jest geometria
symetrii (por. [3], [4], [79]). Osie symetrii to podprzestrzenie regularne, czyli leżące
poza kwadryką.
W [A8] i [A4] badamy struktury podprzestrzeni regularnych wraz z relacją
prostopadłego przecinania i rekonstruujemy w nich wyjściową geometrię afinicznometryczną lub rzutowo-metryczną. Tutaj chcemy zrekonstruować wyjściową geometrię z liniowej struktury przestrzeni Grassmanna podprzestrzeni regularnych zarówno w przestrzeni afiniczno-metrycznej, jak i rzutowo-metrycznej.
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem nieskończonym charakterystyki 6= 2 i niech ξ będzie niezdegenerowaną, symetryczną formą dwuliniową na
V . Stosujemy pojęcia i oznaczenia z 3.3.1, 3.3.2 i 3.3.5. Przypomnijmy, że Pk (S)
to rzutowa przestrzeń Grassmanna podprzestrzeni regularnych. Dla tego fragmentu rzutowej przestrzeni Grassmanna Pk (V ) dowodzimy odpowiednik twierdzenia
Chowa.
Autoreferat
15
3.14 ([A5, Theorem 3.12]). Załóżmy, że dim(V ) 6= 2k. Przestrzeń
rzutowo-metryczna (P(V ), ⊥) jest definiowalna w rzutowej przestrzeni Grassmanna
podprzestrzeni regularnych Pk (S).
Twierdzenie
3.15 ([A5, Theorem 3.18]). Automorfizmy rzutowej przestrzeni
Grassmanna podprzestrzeni regularnych Pk (S) są wyznaczone przez automorfizmy
regularnej przestrzeni rzutowo-metrycznej hS1 , S2 , ⊂i, czyli przez kolineacje przestrzeni rzutowej P(V ) zachowujące relację ⊥ lub również, wyłącznie gdy dim(V ) =
2k, przez złożenia takich kolineacji z korelacją ⊥.
Twierdzenie
Analogiczny wynik jak dla przestrzeni rzutowo-metrycznej uzyskaliśmy dla przestrzeni afiniczno-metrycznej (A, ⊥), gdzie A = hV, H1 , ki. Zbiór wszystkich podprzestrzeni regularnych w (A, ⊥) to R := V + S. Przez Rk oznaczać będziemy zbiór
podprzestrzeni k-wymiarowych w R. Dla afinicznej przestrzeni Grassmanna podprzestrzeni regularnych dowodzimy twierdzenia Chowa.
3.16 ([A5, Theorem 4.5]). Przestrzeń afiniczno-metryczna (A, ⊥)
jest definiowalna zarówno w przestrzeni Grassmanna podprzestrzeni regularnych
Pk (R), jak i w afinicznej przestrzeni Grassmanna podprzestrzeni regularnych P∗R (k).
Automorfizmy Pk (R) oraz P∗R (k) są wyznaczone przez kolineacje przestrzeni afinicznej A zachowujące relację ⊥.
Twierdzenie
Poza analitycznymi dowodami 3.14, 3.15 i 3.16 w [A5] przedstawiamy również
aksjomatyczne ujęcie zagadnienia rekonstrukcji wyjściowej geometrii metrycznej
z przestrzeni Grassmanna podprzestrzeni regularnych.
3.3.7
Pojęcia pierwotne przestrzeni jeżowych
Do tej pory fragment przestrzeni Grassmanna Pk (V ) był wybierany jako zbiór podprzestrzeni V spełniających pewien warunek względem ustalonej formy półtoraliniowej ξ na V . Tymczasem przestrzeń jeżowa to fragment przestrzeni Grassmanna
wybrany jako zbiór podprzestrzeni V przecinających ustaloną podprzestrzeń w określony sposób. Koncepcja przestrzeni jeżowych została wprowadzona w [73] i była
rozwijana w [75], [77], [78], [B4].
Niech W będzie ustaloną podprzestrzenią w V i niech m będzie taką liczbą
całkowitą, że k − codim(W ) ¬ m ¬ k, dim(W ). Spośród punktów przestrzeni Grassmanna Pk (V ) wybieramy te, które jako podprzestrzenie V odpowiednio przecinają
W , to znaczy:
Fk,m (W ) := {U ∈ Subk (V ) : dim(U ∩ W ) = m}.
Jako nowe proste bierzemy te proste z Pk (V ), które mają przynajmniej dwa nowe
punkty:
Gk,m (W ) := {L ∩ Fk,m (W ) : L ∈ Pk (V ) and |L ∩ Fk,m (W )| ­ 2}.
Na prostej L z Pk (V ), albo nie ma nowych punktów, albo wszystkie jej punkty są
nowe, albo wszystkie poza jednym są nowe. Odpowiednio, w drugim przypadku nową
prostą M = L ∩ Fk,m (W ) nazywamy rzutową, a w trzecim przypadku nazywamy
ją afiniczną. Zauważmy, że dla prostych afinicznych w naturalny sposób możemy
Autoreferat
16
określić relację równoległości: równoległe to te proste, które mają wspólny punkt
poza nowym uniwersum. Możemy zatem mówić tutaj o horyzoncie. Klasa prostych
afinicznych oznaczana jest jako A, natomiast proste rzutowe dzielą się na dwie
rozłączne klasy Lα i Lω . Rozróżnienie bierze się z rozszerzania prostych rzutowych
do maksymalnych mocnych podprzestrzeni.
Strukturę incydencyjną punktów i prostych:
A = Ak,m (V, W ) := Fk,m (W ), Gk,m (W )
nazywamy przestrzenią jeżową. Jest to przestrzeń Gamma. Jej szczególnym przypadkiem, w zależności od k, m i dim(W ), może być: przestrzeń rzutowa, przestrzeń z
dziurą (ang. slit space, por. [45], [46]), przestrzeń afiniczna lub przestrzeń liniowych
uzupełnień (por. [9], [78]). Z drugiej strony A to dość regularny fragment przestrzeni
Grassmanna Pk (V ). W rozprawie badamy jego pojęcia pierwotne.
Relacja sąsiedniości punktów
Dwa punkty w A są sąsiednie, gdy są sąsiednie w Pk (V ). W języku binarnej relacji
sąsiedniości ∼, dla punktów U1 , U2 , U3 w A można określić trójargumentową relację
współliniowości L w następujący sposób:
L(U1 , U2 , U3 ) : ⇐⇒ ∼(U1 , U2 , U3 ) ∧ (∃ Y1 , Y2 ) Y1 , Y2 ∼ U1 , U2 , U3 ,
Y1 6∼ Y2 .
Ta definicja jest kluczowa w dowodzie twierdzenia Chowa dla przestrzeni jeżowych:
3.17 ([B5, Corollary 4.11]). Załóżmy, że w przestrzeni jeżowej A,
albo nie ma prostych rzutowych danego typu, albo proste tego typu zawsze dadzą się
rozszerzyć do maksymalnych mocnych podprzestrzeni rzutowych. Wówczas binarna relacji sąsiedniości punktów jest wystarczającym pojęciem pierwotnym geometrii
przestrzeni jeżowej A.
Twierdzenie
Relacja przecinania się prostych
W A nie każde dwie przecinające się proste wyznaczają płaszczyznę, ale przez każdy
punkt w A przechodzą przynajmniej dwie niewspółpłaszczyznowe proste. Te obserwacje są kluczowe w dowodzie następującego faktu:
Twierdzenie 3.18 ([A6, Corollary 4.5]). Binarna relacja przecinania się prostych, określona zarówno na rodzinie wszystkich prostych, jak i na rodzinie prostych
rzutowych, jest wystarczającym pojęciem pierwotnym przestrzeni jeżowej A.
Proste afiniczne z równoległością
Rozważmy teraz pewną podstrukturę przestrzeni jeżowej A wybierając w niej tylko
proste afiniczne:
Aτ := hFk,m (W ), A, ki.
Z relacją równoległości, której tutaj używamy, w naturalny sposób związany jest
horyzont A∞ przestrzeni A.
3.19 ([A6, Corollary 4.13]). Przy założeniach z 3.17 struktury A
oraz A są wzajemnie definiowalne.
Twierdzenie
τ
Uniwersum prostych afinicznych bez relacji równoległości jest istotnie słabsze i
nie da się dla niego dowieść podobnego twierdzenia.
Autoreferat
17
Struktura domkniętej przestrzeni jeżowej
Rozważmy teraz strukturę Aτ wzbogaconą o proste rzutowe jednego typu σ ∈ {α, ω}
wraz z jej domknięciem rzutowym:
Nσ := hFk,m (W ) ∪ Fk,m+1 (W ), Lτ ∪ Lσ ∪ L−σ
1 i,
gdzie Lτ to zbiór prostych afinicznych uzupełnionych swoimi punktami niewłaściwymi, a L−σ
to zbiór prostych na horyzoncie A, czyli kierunków płaszczyzn σ1
semiafinicznych.
3.20 ([A6, Corollary 4.15]). Jeśli na horyzoncie A są proste rzutowe obu typów, to struktury A oraz Nσ są wzajemnie definiowalne.
Twierdzenie
Gwiazdy i układy jako pojęcia pierwotne
Maksymalne mocne podprzestrzenie w przestrzeni jeżowej A, jak należy się spodziewać, to obcięcia maksymalnych mocnych podprzestrzeni wyjściowej przestrzeni
Grassmanna Pk (V ). Są to, z dokładnością do izomorfizmu, albo przestrzenie rzutowe, albo przestrzenie rzutowe z dziurą (inaczej mówiąc przestrzenie semi-afiniczne).
Rozważmy zatem rodzinę SW wszystkich nietrywialnych przekrojów gwiazd (3)
w Pk (V ) z uniwersum Fk,m (W ) naszej przestrzeni jeżowej A oraz strukturę incydencyjną punktów i gwiazd
Astar
k,m (V, W ) := Fk,m (W ), SW .
Dualnie, TW to rodzina wszystkich nietrywialnych przekrojów układów (4) w Pk (V )
z uniwersum Fk,m (W ) oraz
Atop
k,m (V, W ) := Fk,m (W ), TW .
Jak się okazuje punkty oraz gwiazdy A wraz z naturalną relacją incydencji ∈ są
wystarczającym układem pojęć pierwotnych do zrekonstruowania całej przestrzeni
jeżowej A. To samo można powiedzieć biorąc układy zamiast gwiazd.
3.21 ([A6, Fact 3.4]). Przestrzeń jeżowa A jest definiowalna w
top
przestrzeni gwiazd Astar
k,m (V, W ) (odpowiednio w przestrzeni układów Ak,m (V, W ))
wtedy i tylko wtedy, gdy albo nie ma prostych ω-rzutowych, albo proste ω-rzutowe
zawsze dadzą się rozszerzyć do maksymalnych mocnych podprzestrzeni ω-rzutowych
(odpowiednio, gdy albo nie ma prostych α-rzutowych, albo proste α-rzutowe zawsze
dadzą się rozszerzyć do maksymalnych mocnych podprzestrzeni α-rzutowych).
Twierdzenie
Dwie różne gwiazdy mogą mieć najwyżej jeden punkt wspólny. Mówimy, że dwie
gwiazdy są sąsiednie, gdy mają właśnie wspólny punkt. Analogicznie definiujemy
sąsiedniość układów. Wynik 3.21 udało się wzmocnić i zrekonstruować A używając
jako pojęć pierwotnych wyłącznie gwiazd i relacji sąsiedniości na nich, oraz dualnie,
używając układów zamiast gwiazd.
Twierdzenie 3.22 ([A6, Corollary 4.20]). Jeśli w A są proste α-rzutowe oraz
podprzestrzenie ω-rzutowe na A∞ i α-rzutowe na (A∞ )∞ (odpowiednio są proste
ω-rzutowe oraz podprzestrzenie α-rzutowe na A∞ i ω-rzutowe na (A∞ )∞ ), to przestrzeń jeżowa A jest definiowalna w terminach relacji sąsiedniości gwiazd (odpowiednio układów), to znaczy w terminach relacji sąsiedniości prostych w Astar
k,m (V, W )
top
(odpowiednio w Ak,m (V, W )).
Autoreferat
18
Podsumowanie
Jeśli przestrzeń jeżowa A nie jest ani przestrzenią prostych, ani przestrzenią Grassmanna, to wymienione w tabeli 1 układy pojęć pierwotnych są wystarczające dla
geometri A.
układ pojęć pierwotnych
założenia
(i)
punkty i ich sąsiedniość
(ii)
(iii)
(iv)
(vii)
(viii)
(ix)
proste i ich sąsiedniość
proste rzutowe i ich sąsiedniość
punkty, proste afiniczne i równoległość
punkty właściwe i niewłaściwe oraz
suma prostych σ-rzutowych, afinicznych i kierunki σ-afinicznych płaszczyzn
punkty jak w (v) oraz ich sąsiedniość względem prostych z (v)
punkty i gwiazdy
punkty i układy
gwiazdy i ich sąsiedniość
dla σ = α, ω albo w A nie ma prostych σ-rzutowych, albo są podprzestrzenie σ-rzutowe
brak
w A są proste rzutowe
jak w (i)
(x)
układy i ich sąsiedniość
(v)
(vi)
w A są zarówno płaszczyzny σ-afiniczne jak i (−σ)-afiniczne
w A są podprzestrzenie σ-rzutowe
oraz σ-afiniczne płaszczyzny
jak w (i), ale wyłącznie σ = α
jak w (i), ale wyłącznie σ = ω
w A są proste α-rzutowe oraz podprzestrzenie ω-rzutowe na A∞ i αrzutowe na (A∞ )∞
jak w (ix), z α zamiast ω i na odwrót
Tabela 1: Możliwe układy pojęć perwotnych przestrzeni jeżowych.
3.3.8
Prostopadłość i korelacje przestrzeni Grassmanna
Jak dotąd prostopadłość w rozważanych geometriach była realizowana przez formę
dwuliniową. W pracy [A3] wprowadzamy syntetyczną relację dla możliwie ogólnej
klasy geometrii tak, aby jej własności przypominały własności korelacji przestrzeni
rzutowej. Relacja ta, zwana sprzężeniem (ang. conjugacy), to symetryczna, binarna relacja określona przy użyciu 7 aksjomatów (C0 ) – (C6 ) na zbiorze punktów
częściowej przestrzeni prostych.
Zasadniczym kryterium doboru aksjomatów było uzyskanie korelacji kompatybilnej z przestrzenią Grassmanna w tym sensie, że analityczna reprezentacja takiej
korelacji jest taka jak dla korelacji wyjściowej przestrzeni rzutowej. W tym celu
konieczne było dodanie jeszcze jednego aksjomatu (Ck7 ) wymagającego określonej
funkcji wymiaru dla rodziny podprzestrzeni wyjściowej przestrzeni. W zasadzie jest
to typowy warunek dla przestrzeni Grassmanna k-wymiarowych podprzestrzeni.
Główny wynik [A3] to charakteryzacja wprowadzonej asjomatycznie relacji:
3.23 ([A3, Theorem 4.24]). Niech dim(V ) < ∞. Rozważamy relację ⊥ ⊂ Subk (V ) × Subk (V ). Następujące warunki są równoważne:
Twierdzenie
Autoreferat
19
(i) Przestrzeń Grassmanna Pk (V ) wyposażona w relację ⊥ spełnia warunki
(C0 ) – (Ck7 ).
(ii) Jeśli dim(V ) 6= 2k, to ⊥=⊥ξ dla pewnej niezdegenerowanej, refleksywnej
formy półtoraliniowej ξ na V .
Jeśli dim(V ) = 2k, to ⊥=⊥ξ jak wcześniej, albo ⊥= ϕ∗k , gdzie przekształcenie ϕ∗k : Subk (V ) −→ Subk (V ) dane jest warunkiem ϕ∗k (U ) = ϕ(U ) dla
takiej półliniowej injekcji ϕ : V −→ V , że ϕ∗k jest inwolucyjną kolineacją
przestrzeni Pk (V ).
3.3.9
Dopełenienia odcinków w rzutowych Grassmannianach
Procedura usuwania hiperpłaszczyzny, zwana afinizacją (por. [71]), poprzez analogię
usuwania hiperpłaszczyzny z przestrzeni rzutowej by otrzymać przestrzeń afiniczną,
jest dość powszechna w geometrii. W wyniku afinizacji uzyskujemy między innymi afiniczną przestrzeń Grassmanna [19] oraz afiniczną przestrzeń biegunową [18].
Zamiast hiperpłaszczyzny możemy usunąć mniejszą podprzestrzeń. W ten sposób z
przestrzeni rzutowej dostajemy, wspomnianą wcześniej w 3.3.7, przestrzeń z dziurą
(por. [45], [46]). W przestrzeni rzutowej punkty dopełnienia ustalonej podprzestrzeni kowymiaru 2 wraz z prostymi, które tej podprzestrzeni nie przecinają tworzą tak
zwaną częściową geometrię badaną w [87]. W [89] dowodzi się, że dopełnienie prostej
na skończonej płaszczyźnie afinicznej można zanurzyć w płaszczyźnie rzutowej tego
samego rzędu. Wynik ten uogólniony został w [58], gdzie badane są konfiguracje
powstające przez usunięcie pęku prostych ze skończonej płaszczyzny afinicznej.
W przestrzeni Grassmanna bardzo ważną rolę odgrywają podprzestrzenie wyznaczone odcinkami kraty, w której ta przestrzeń jest zanurzona. Nazywamy je podprzestrzeniami odcinkowymi. W [A3, Theorem 2.6] została znaleziona istotna własność podprzestrzeni odcinkowych. Mianowicie to są te i tylko te podprzestrzenie,
które mają strukturę przestrzeni Grassmanna. W [A1] z Grassmannianu rzutowego
usuwamy podstrukturę odpowiadającą podprzestrzeni odcinkowej.
Załóżmy, że 0 < k < dim(V ) − 1 i rozważmy strukturę podobną do przestrzeni
Grassmanna
Gk (V ) := hSubk (V ), Subk+1 (V ), ⊂i,
którą będziemy nazywać Grassmannianem. Punkty U1 , U2 ∈ Subk (V ) są współlinowe w Gk (V ), gdy istnieje takie B ∈ Subk+1 (V ), że U1 , U2 ⊂ B. Łatwo się sprawdza,
że Grassmannian Gk (V ) jest Veblenowską częściową przestrzenią prostych, ale nie
jest przestrzenią Gamma. Gdy k = 1, to Gk (V ) jest przestrzenią rzutową. Wprawdzie poza przypadkiem trywialnym, gdy k = 1, Grassmannian Gk (V ) nie zanurza
się w przestrzeń Grassmanna Pk (V ), ale są to struktury wzajemnie definiowalne.
Ponieważ proste Gk (V ) nie są zbiorami punktów zamiast o podprzestrzeniach
lepiej mówić o podstrukturach domkniętych. Niech M = hS, L, |i, gdzie S i L są
dowolnymi zbiorami oraz | ⊆ S × L jest relacją incydencji, będzie częściową przestrzenią prostych. Mówimy, że M0 = hS 0 , L0 i jest podstrukturą domkniętą w M, gdy:
(A) jeśli dwa punkty z M0 incydują z prostą l, to l jest prostą w M0 ,
(B) jeśli dwie proste z M0 incydują z punktem a, to a jest punktem z M0 .
Autoreferat
20
Wróćmy do naszego Grassmannianu. Niech Z i W będą ustalonymi podprzestrzeniami w V tak, aby odcinek [Z, W] = {U ∈ Sub(V ) : Z ⊆ U ⊆ W} nie był pusty.
Rozważmy zbiór podprzestrzeni zewnętrznych względem ustalonego odcinka:
D := U ∈ Sub(V ) : U ∈
/ [Z, W] = {U ∈ Sub(V ) : Z * U lub U * W}.
Aby D 6= ∅ zakładamy, że Z 6= 0 lub W 6= V . Konstruujemy Grassmannian podprzestrzeni zewnętrznych
Gk (D) := hDk , Dk+1 , ⊂i
jako podstrukturę Grassmannianu Gk (V ). Pomijamy znane przypadki, czyli zakładamy, że 2 ¬ k ¬ n − 2. Odcinek [Z, W] w kracie jednoznacznie wyznacza swoje
końce Z, W, ale w skrajnych sytuacjach k-odcinek [Z, W]k = [Z, W] ∩ Subk (V ) już
niekoniecznie. Zatem, aby uniknąć technicznych problemów wprowadzamy:
Zmax =
^
[Z, W]k ∪ [Z, W]k+1
i
Wmin =
_
[Z, W]k ∪ [Z, W]k+1 .
Dowodzimy, że w terminach dopełnienia odcinka w Grassmannianie rzutowym daje
się zdefiniować wyjściową przestrzeń rzutową.
3.24 ([A1, Theorem 3.2]). W Grassmannianie Gk (D) można zrekonstruować wyjściową przestrzeń rzutową P(V ) oraz odcinek [Zmax , Wmin ].
Twierdzenie
Automorfizm Grassmannianu Gk (D) to para takich przekształceń (f, g), że
f : Dk −→ Dk , g : Dk+1 −→ Dk+1 oraz
f (U ) ⊂ g(Y )
wtw., gdy U ⊂ Y.
Po przeformułowaniu 3.24 na język automorfizmów nie ma wątpliwości, że dowiedliśmy twierdzenie Chowa w nowej sytuacji.
3.25 ([A1, Theorem 3.3]). Każdy automorfizm F = (f, g) Grassmannianu Gk (D) można rozszerzyć do takiego automorfizmu F 0 = (f 0 , g 0 ) Grassmannianu Gk (V ), że f 0 zachowuje [Z, W]k i g 0 zachowuje [Z, W]k+1 . Zatem f i g
są indukowane przez przekształcenie półliniowe na V , które zachowuje [Zmax , Wmin ].
Twierdzenie
4
4.1
Pozostałe wyniki naukowe
Lista publikacji nie wchodzących do rozprawy, opublikowanych
po doktoracie
[B1] K. Petelczyc, M. Żynel, The complement of a point subset in a projective space
and a Grassmann space, J. Appl. Logic 13 (2015), no. 3, 169–187,
DOI: 10.1016/j.jal.2015.02.002.
[B2] K. Petelczyc, M. Prażmowska, K. Prażmowski, M. Żynel, A note on characterizations of affine and Hall triple systems, Discrete Math. 312 (2012), no. 15,
2394-2396,
DOI: 10.1016/j.disc.2012.03.037.
Autoreferat
21
[B3] K. Prażmowski, M. Żynel, Segre subproduct, its geometry, automorphisms and
examples, J. Geom. 92 (2009), no. 1-2, 117-142,
DOI: 10.1007/s00022-009-1951-9.
[B4] K. Prażmowski, M. Żynel, Extended parallelity in spine spaces and its geometry,
J. Geom. 85 (2006), no. 1-2, 110-137,
DOI: 10.1007/s00022-005-0032-y.
[B5] M. Pankov, K. Prażmowski, M. Żynel, Transformations preserving adjacency
and base subsets of spine spaces, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 75 (2005), 21-50,
DOI: 10.1007/BF02942034.
[B6] K. Prażmowski, M. Żynel, General projections in spaces of pencils, Beitr. Algebra
Geom. 46 (2005), no. 2, 587-608.
4.2
Omówienie pozostałych wyników naukowych
Dorobek naukowy poza rozprawą habilitacyjną składa się z 22 prac, w tym 5 preprintów na arXiv.org i 11 prac opublikowanych przed uzyskaniem stopnia doktora
nauk matematycznych. Ponadto dwie nowe prace znajdują się aktualnie w recenzji.
Moje badania przed doktoratem i po uzyskaniu stopnia doktora koncentrowały
się wokół zagadnień związanych z szeroko rozumianą geometrią przestrzeni Grassmanna. Ta tematyka zdecydowanie dominuje od czasu studiów i pisania pracy
magisterskiej. Pierwsze uzyskane i opublikowane w 2 artykułach wyniki dotyczyły skończonych Grassmannianów [94] i dowodu klasycznego twierdzenia PascalaBrianchona dla kwadryki w przestrzeni Grassmanna [95].
W pracy [73] Prażmowski wprowadził ciekawe uogólnienie afinicznych przestrzeni Grassmanna, zwane przestrzenią jeżową, które obejmuje szeroką klasę znanych
geometrii. Zapoczątkowało to nowy nurt badawczy poświęcony badaniu właśności
przestrzeni jeżowych. Pierwszy wynik z tego zakresu to wspólnie uzyskana charakteryzacja automorfizmów tych przestrzeni [77]. Weryfikacja klasycznych twierdzeń
geometrii rzutowej i afinicznej została wykonana w [75], natomiast w [78] badamy
szczególny przypadek przestrzeni jeżowej - przestrzeń liniowych uzupełnień, którymi zajmowali się inni autorzy: Blunck i Havlicek [9]. Za mój wkład w rozwój
teorii przestrzeni jeżowych należy uznać część doktoratu poświęconą rzutom w takiej geometrii. Po doktoracie, ściśle w tym wątku badawczym, powstały jeszcze dwie
prace. W [B6] zostały natomiast zebrane oryginalne wyniki dotyczące rzutowania
w przestrzeniach Grassmanna.
W [70] Pankov wprowadził pojęcie zbioru bazowego w przestrzeni Grassmanna.
Zbiór taki to odpowiednik bazy rzutowej (ang. projective frame). Pankov dowiódł,
że przekształcenia przestrzeni Grassmanna zachowujące zbiory bazowe dane są kolineacjami, albo korelacjami w samodualnym przypadku, wyjściowej przestrzeni rzutowej. Podobny wynik uzyskał dla null systemów [69]. Pojawia się w tym kontekście
pytanie jaki sens w przestrzeniach jeżowych mają zbiory bazowe i czy da się powtórzyć wyniki Pankova w ogólniejszej i przez to bardziej złożonej sytuacji przestrzeni
jeżowej. Efektem współpracy z Pankovem jest [B5], gdzie dowodzimy twierdzenie
Chowa dla relacji sąsiedniości i zbiorów bazowych w przestrzeniach jeżowych.
Relacja równoległości, tam gdzie rozważa się uzupełnienia względem usuniętych
podstruktur, odgrywa kluczową rolę przy rekonstrukcji wyjściowej przestrzeni (por.
Autoreferat
22
[A1]). O ile klasycznie proste równoległe to te, które przecinają się na horyzoncie, to
w [B4] badamy rozszerzoną relację równoległości, przy której proste są równoległe,
gdy ich punkty niewłaściwe połączalne są łamaną na horyzoncie. W kontekście przestrzeni jeżowych taka równoległość ma wiele ciekawych własności. Efektem analizy
tych własności jest przedstawiona w [B4] charakteryzacja grupy dylatacji. Uzyskane
tam wyniki zostały zastosowane w [A6] przy rekonstrukcji horyzontu.
Rozważając produkty Segre przestrzeni Grassmanna zauważyliśmy, że przy niewielkiej modyfikacji definicji produktu uzyskujemy bardzo szeroką klasę struktur
geometrycznych jako podproduktów produktu Segre częściowych przestrzeni prostych. Szczególnymi przypadkami takich podproduktów są przestrzenie jeżowe, rozmaitości Schuberta, przestrzenie liniowych uzupełenień. Poza ogólnymi własnościami podproduktów Segre w [B3] uzyskana została charakteryzacja grup automorfizmów tych podproduktów.
Tematyka, której poświęcona jest rozprawa, nie jest bynajmniej wyczerpana. W
trakcie pisania tych słów opublikowana została kolejna praca [B1], w której kontynuowane są badania nad możliwością rekonstrukcji wyjściowej przestrzeni rzutowej
oraz przestrzeni Grassmanna z ich reduktów. W celu odzyskania wyjściowej geometrii stosowana jest tam relacja imitująca afiniczną równoległość. Jest to tylko jedno
z możliwych podejść i nie zawsze może być zaaplikowane. W przypadku kwadryki prostokreślnej wiadomo, że można odzyskać otaczającą przestrzeń rzutową, ale
używa się do tego innych metod. Proponowane przez nas metody związane są z
badanymi w [44] i [51] przestrzeniami wiązek.
Poza głównym nurtem badań pojęć pierwotnych w reduktach przestrzeni Grassmanna i geometriach pochodnych rozważane były szerzej także inne aspekty tych
geometrii. Ciekawe wyniki uzyskano dla rodziny podprzestrzeni regularnych i stycznych w symplektycznej przestrzeni kobiegunowej. Procedura afinizacji symplektycznej przestrzeni biegunowej doprowadziła do interesującego uogólnienia form alternujących i indukowanych przez takie przekształcenia afinicznych przestrzeni semibiegunowych. Uzyskane wyniki wymagają uzupełnienia i tymczasowo zostały opublikowane w formie preprintów na arXiv.org.
Pracując w Zakładzie Podstaw Geometrii biorę aktywny udział we wspólnych
przedsięwzięciach całego zespołu. Realizowane przez nas badania czasem wykraczają
poza główny nurt moich własnych zainteresowań. Przykładem może być analiza
skończonych geometrii i konfiguracji, której efektem jest artukuł o systemach trójek
Steinera [B2].
Literatura
[1] J. Ahrens, Begründung der absoluten Geometrie des Raumes aus dem Spiegelungsbegriff,
Math. Z., 71 (1959), 154–185.
[2] A. D. Alexandrov, Seminar report, Uspekhi Mat. Nauk 5 (1950) no. 3(37), 187.
[3] F. Bachmann, Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, 1973.
[4] F. Bachmann, Ebene Spiegelungsgeometrie, Bibliographisches Institut, Manhaim, 1989.
[5] F. S. Beckman, D. A. Quarles Jr., On isometries of Euclidean spaces, Proc. Amer. Math.
Soc. 4 (1953), 810–815.
[6] W. Benz, Geometrische Transformationen, B. I. Wiessenschaftsverlag, Mannheim, Leipzig,
Wien, Zürich, 1992.
Autoreferat
23
[7] W. Benz, E. M. Schröder, Bestimmung der orthogonalitätstreuen Permutationen euklidischer Räume, Geom. Dedicata 21 (1986) no. 3, 263–276.
[8] A. Bichara, G. Tallini, On a characterization of Grassmann space representing the h-dimensional subspaces in a projective space, Annals of Discrete Math. 18 (1983), 113–132.
[9] A. Blunck, H. Havlicek, Affine spaces within projective spaces, Results Math. 36 (1999),
237–251.
[10] H. Brauner, Über die von Kollineationen projektiver Räume induzierten Geradenabbildungen,
Sitz. Ber. Österr. Akad. Wiss., Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. II 197 (1988) no. 4-7, 327–332.
[11] E. W. Beth, On Padoa’s method in the theory of definition, Nederl. Akad. Wetensch. Proc.
Ser. A. 56 = Indagationes Math. 15 (1953), 330–339.
[12] F. Buekenhout, E. Shult On the foundations of polar geometry, Geom. Dedicata 3 (1974),
155–170.
[13] J. R. Büchi, K. J. Danhof, Definability in normal theories, Israel J. Math. 14 (1973),
248–256.
[14] I. Cardinali, L. Giuzzi, Codes and caps from orthogonal Grassmannians, Finite Fields Appl.
24 (2013), 148–169.
[15] W.-L. Chow, On the geometry of algebraic homogeneous spaces, Ann. of Math. 50 (1949),
32–67.
[16] M. A. Cohen, Point-line characterizations of buildings, CWI Report PM, R8415, Stichting
Mathematisch Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam, 1984.
[17] M. A. Cohen, Point-line spaces related to buildings, in Handbook of incidence geometry,
F. Buekenhout (ed.), North-Holland, Amsterdam, 1995, pp. 647–737.
[18] A. M. Cohen, E. E. Shult, Affine polar spaces, Geom. Dedicata 35 (1990), 43–76.
[19] H. Cuypers, Affine Grassmannians, J. Combin. Theory, Ser. A 70 (1995), 289–304.
[20] H. Cuypers, The geometry of secants in embedded polar spaces, European J. Combin. 28
(2007), 1455–1472.
[21] H. Cuypers, A. Pasini, Locally polar geometries with affine planes, European J. Combin.
13 (1992), no. 1, 39–57.
[22] J. Dieudonné, Algebraic homogeneous spaces over fields of characteristic two, Proc. Amer.
Math. Soc. 2 (1951) no. 2, 295–304.
[23] J. Dieudonné, La géométrie des groupes classiques. Springer-Verlag, Berlin, 1971.
[24] S. R. Ghorpade, K. V. Kaipa, Automorphism groups of Grassmann codes, Finite Fields
Appl. 23 (2013), 80–102.
[25] R. Gramlich, On the hyperbolic symplectic geometry, Jour. Combinat. Theory, Ser. A 105
(2004), 97–110.
[26] J. I. Hall, Classifying copolar spaces and graphs, Quart. J. Math. Oxford (2), 33 (1982),
421–449.
[27] H. Havlicek, Chow’s theorem for linear spaces, Discrete Math. 208/209 (1999), 319–324.
[28] H. Havlicek, On Plücker transformations of generalized elliptic spaces, Rend. Mat. Appl. 7
(1994), 39–56.
[29] H. Havlicek, A characteristic property of elliptic Plücker transformations, J. Geom. 58
(1997) no. 1-2, 106–116.
[30] H. Havlicek, Symplectic Plücker transformations, Math. Pannon. 6 (1995), 145–153.
[31] H. Havlicek, V. Pambuccian, On the axiomatics of projective and affine geometry in terms
of line intersection, Result. Math. 45 (2004), 35–44.
[32] L. K. Hua, Geometries of matrices I. Generalizations of von Staudt’s theorem, Trans. Amer.
Math. Soc. 57 (1945), 441–481.
[33] L. K. Hua, Geometries of matrices I1 . Arithmetical construction, Trans. Amer. Math. Soc.
57 (1945), 482–490.
Autoreferat
24
[34] W.-l. Huang, Adjacency preserving mappings between point-line geometries, Innov. Incidence
Geom 3 (2006), 25–32.
[35] W.-l. Huang, Adjacency preserving mappings of 2x2-Hermitian matrices, Aequationes Math.
75 (2008), 51–64.
[36] W.-l. Huang, Adjacency preserving mappings of invariant subspaces of a null system, Proc.
Am. Math. Soc. 128 (1999) no. 8, 2451–2455.
[37] W.-l. Huang, Adjacency preserving transformations of Grassmann spaces, Abh. Math. Sem.
Univ. Hamb. 68 (1998), 65–77.
[38] W.-l. Huang, Characterization of the transformation group of the spaces of a null system,
Result. Math. 40 (2001), 226–232.
[39] W.-l. Huang, A. E. Schroth, Adjacency preserving mappings, Adv. Geom. 3 (2003), 53–59.
[40] W.-l. Huang, P. Šemrl, Adjacency preserving mappings of hermitian matrices, Canad. J.
Math. 60 (2008), 1050–1066.
[41] W.-l. Huang, Z.-X. Wan, Adjacency preserving mappings of rectangular matrices, Beitr.
Alg. Geom. 45 (2004) no. 2, 435–446.
[42] W.-l. Huang, Z.-X. Wan, R. Höfer, Adjacency preserving mappings of symmetric and
Hermitian matrices, Aequationes Math. 67 (2004), 132–139.
[43] P. Johnson, Polar spaces of arbitrary rank, Geom. Dedicata 35 (1990), 229–250.
[44] J. Kahn, Locally projective-planar lattices which satisfy the Bundle Theorem, Math. Z. 175
(1980), 219–247.
[45] H. Karzel, H. Meissner, Geschlitze inzidenzgruppen und normale fastmoduln, Abh. Math.
Sem. Univ. Hamb., 31 (1967), 69–88.
[46] H. Karzel, I. Pieper, Bericht über geschlitzte inzidenzgruppen, Jber. Deutsh. Math.-Verein.
70 (1970), 70–114.
[47] H. Karzel, K. Sörensen, D. Windelberg, Einführung in die Geometrie, Vandenhoek &
Ruprecht, Göttingen, 1973.
[48] F. Klein, Vergleichende Betrachutngen über neuere geometrische Forschungen, Verlag A.
Deicher, Erlangen, 1872.
[49] R. Kramer, The undefinability of intersection from perpendicularity in the three-dimensional
euclidean geometry of lines, Geom. Dedicata 46 (1993) no. 2, 207–210.
[50] A. Kreuzer, A remark on polar geometry, Abh. Math. Sem. Univ. Hamb. 61 (1991), 213–215.
[51] Kreuzer, A. Locally projective spaces which satisfy the bundle theorem, J. Geom. 56 (1996),
87–98.
[52] E. Kusak, A geometric construction of a norm function in metric vector spaces, Zeszyty
Nauk. Geom. 20 (1993), 47–52.
[53] H. Lenz, Grundlagen der Elementarmathematik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
Berlin, 1961.
[54] H. Lenz, Inzidenzräume mit Ortogonalität, Math. Ann. 146 (1962), 269–374.
[55] R. Lingenberg, Metric planes and metric vector spaces, John Wiley & Sons, New York,
1979.
[56] K. List, On orthogonality-preserving Plücker transformations of hyperbolic spaces, Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg 70 (2000), 63–75.
[57] A. De Schepper, H. Van Maldeghem, Graphs, defined by Weyl distance or incidence, that
determine a vector space, Linear Algebra Appl. 449 (2014), 435–464.
[58] R. C. Mullin, S. A. Vanstone, A generalization of a theorem of Totten, J. Austral. Math.
22 (Series A) (1976), 494–500.
[59] V. Pambuccian, Alexandrov-Zeemann type theorems expressed in terms of definability, Aequationes Math. 74 (2007), 249–261.
Autoreferat
25
[60] V. Pambuccian, Aufbau der hyperbolischen Geometrie aus dem Geradenorthogonalitätsbegriff,
Acta Math. Hungar. 101 (2003) no. 1-2, 51–61.
[61] V. Pambuccian, Elementary axiomatizations of projective space and of its associated Grassmann space, Note di Matematica 24 (2004/2005) no. 1, 129–141.
[62] V. Pambuccian, Hyperbolic geometry in terms of point-reflections or of line-orthogonality,
Math. Pannon. 15 (2004) no. 2, 241–258.
[63] V. Pambuccian, Sphere tangency as single primitive notion for hyperbolic and Euclidean
geometry, Forum Math. 15 (2003), 943–947.
[64] V. Pambuccian, Three-dimensional hyperbolic geometry with planes and plane parallelism as
only primitive notions, Glasn. Mat. Ser. III 40 (2005) no. 60, 313–315.
[65] V. Pambuccian K. Prażmowski, K. Sakowicz Defining copunctuality in terms of lineorthogonality in plane hyperbolic geometry, Acta Math. Hung. 109 (2005) no. 4, 289–293.
[66] M. Pankov, Chow’s Theorem and projective polarities, Geom. Dedicata 107 (2004), 17–24.
[67] M. Pankov, Geometry of semilinear embeddings: relations to graphs and codes, World Scientific, New Jersey, 2015.
[68] M. Pankov, Grassmannians of classical buildings, Algebra and Discrete Mathematics Vol. 2,
World Scientific, New Jersey, 2010.
[69] M. Pankov, Mappings of the sets of invariant subspaces of null systems, Beitr. Algebra
Geom. 45 (2004) no. 2, 389–399.
[70] M. Pankov, Transformations of Grassmannians preserving the class of base subsets, J. Geom.
79 (2004), 169–176.
[71] A. Pasini, S. Shpectorov, Flag-transitive hyperplane complements in classical generalized
quadrangles, Bull. Belg. Math. Soc. 6 (1999), 571–587.
[72] M. Prażmowska, K. Prażmowski, Grassmann spaces over hyperbolic and quasi hyperbolic
spaces, Math. Pannon. 17 (2006) no. 2, 195–220.
[73] K. Prażmowski, On a construction of affine Grassmannians and spine spaces, J. Geom. 72
(2001), 172–187.
[74] K. Prażmowski, Various systems of primitive notions for Euclidean geometry based on the
notion of circle, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 31 (1983) no. 1-2,
23–29.
[75] K. Prażmowski, M. Żynel, Affine geometry of spine spaces, Demonstratio Math. 36 (2003),
no. 4, 957–969.
[76] K. Prażmowski, M. Żynel, Affine polar spaces derived from polar spaces and Grassmann
structures defined on them, arXiv.org (2012), http://arxiv.org/abs/1208.4387.
[77] K. Prażmowski, M. Żynel, Automorphisms of spine spaces, Abh. Math. Sem. Univ. Hamb.
72 (2002), 59–77.
[78] K. Prażmowski, M. Żynel, Geometry of the structure of linear complements, J. Geom. 79
(2004), no. 1-2, 177–189.
[79] E. M. Schröder, Symmetrie als fundamentales Prinzip der Geometrie: Entwicklungen der
Spiegelungsgeometrie im vorigen Jahrhundert, Mitt. Math. Ges. Hamburg 20 (2001), 55–70.
[80] E. M. Schröder, Vorlesungen über Geometrie, Band 3, Metrische Geometrie, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1992.
[81] E. M. Schröder, Zur Kennzeichnung Fanoscher Affin-Metrischer Geometrien, J. Geom. 16,
1 (1981), 56–62.
[82] W. Schwabhäuser, L. W. Szczerba, Relations on lines as primitive notions in euclidean
geometry, Fund. Math. 82 (1975), 347–355.
[83] E. E. Shult, Groups, polar spaces and related structures, in Combinatorics, Part 3, M. Hall
Jr. and J. H. van Lint (eds), Math. Centre Tracts 57 (1974), 130–161.
[84] H. Struve, R. Struve, Hjelmslevgruppen, in denen sich die Punkte gegen Geraden austauschen lassen, Geom. Dedicata, 13 (1983), 399–417.
Autoreferat
26
[85] L. Svenonius, A theorem on permutations in models, Theoria (Lund) 25 (1959), 173–178.
[86] G. Tallini, Partial line spaces and algebraic varieties, Symp. Math. 28 (1986), 203–217.
[87] J. A. Thas, F. De Clerck, Partial geometries satisfying the axiom of Pasch, Simon Stevin
51 (1977/78), no. 3, 123–137.
[88] J. Tits, Buildings of spherical type and finite BN-pairs, vol. 386 of Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, 1974.
[89] J. Totten, Embedding the complement of two lines in a finite projective plane, J. Austral.
Math. 22 (Series A) (1976), 27–34.
[90] F. D. Veldkamp Polar geometry I-IV, Indag. Math. 21 (1959), 512–551.
[91] Z.-X. Wan, Geometry of matrices, World Scientific, Singapore, 1996.
[92] H. Wolff, Minkowskische und absolute Geometrie. I, Math. Ann. 171 (1967), 144–164.
[93] H. Wolff, Minkowskische und absolute Geometrie. II, Math. Ann. 171 (1967), 165–193.
[94] M. Żynel, Finite Grassmannian geometries, Demonstratio Math. 34 (2001), no. 1, 145–160.
[95] M. Żynel, The Pascal theorem for quadrics in spaces of pencils, Geom. Wykr. i Graf. Inż. 5
(1999), 73–85.