METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI
KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE
PRZEDMIOT:
METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU
- zadania do samodzielnego rozwiązania
(MATERIAŁ POMOCNICZY
– PRZEDMIOT PODSTAWOWY )
Łódź
Zadania sprawdzające – moduł 1
Zadanie 1.
Rzucamy dwiema monetami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz
otrzymamy orła.
Zadanie 2.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema sześciennymi kostkami do gry
otrzymamy sumę oczek równą 8?
Zadanie 3.
Rzucamy równocześnie dwiema kostkami. Określamy zdarzenia:
A – na pierwszej kostce wypadła liczba większa od 4
B – na drugiej kostce wypadła liczba mniejsza od 5.
Czy zdarzenia A, B są niezależne?
Zadanie 4.
Niech X oznacza dowolną zmienną losową. Załóżmy, że prawdopodobieństwo przyjęcia
przez tą zmienną wartości dodatniej wynosi 0,7. Czy można określić wartość dystrybuanty tej
zmiennej
w punkcie 0 ?
Zadanie 5.
Dany jest rozkład zmiennej losowej X :
X = xi
-5
-2
0
P( X = x i )
0,1
0,2
0,1
1
0,2
3
c
8
0,1
a) Wyznaczyć stałą c;
b) Wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe; wyniki
zinterpretować.
Zadanie 6.
Dany jest rozkład pewnej zmiennej losowej dyskretnej X :
X = xi
-10
-5
0
2
P(X=xi)
a
0,05
0,2
0,1
4
0,1
5
0,25
8
0,15
Wyznaczyć stałą a. Znaleźć dystrybuantę powyższej zmiennej i naszkicować jej wykres.
Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Obliczyć: P(X = 3), P( X
> 2), P( X ≤ 5 ).
Zadanie 7.
Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej dyskretnej X:
t < −3
 0 dla
0,2 dla − 3 ≤ t < 0

F (t ) = 
0,6 dla 0 ≤ t < 1
 1 dla
t ≥1
2
Przedstawić dystrybuantę graficznie. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa powyższej
zmiennej. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Obliczyć: P(X
= 3), P(X > 0),
P(X ≤ 1).
Zadanie 8.
Wiadomo, że zmienna losowa ciągła, o dystrybuancie F(t), przyjmuje wartość dodatnią z
prawdopodobieństwem 0,7. Czy można określić F(0)? Jeśli tak, to jaka jest wartość F(0).
Zadanie 9.
Odczytać w tablicach rozkładu normalnego N(0; 1)
a) wartości dystrybuanty Φ (a ) dla następujących argumentów:
1,58; 0,36; 3,25; - 0,95; - 2,33; - 3.6.
b) argumenty, dla których Φ (a ) przyjmuje wartości:
0,2912; 0,4761; 0,853; 0,99789; 0,975
Zadanie 10.
Masa śliw pewnej odmiany ma rozkład normalny N(50g;16g).
1) Obliczyć prawdopodobieństwo, że śliwka tego gatunku:
a) ma wagę niższą niż 59 gramów,
b) ma wagę z przedziału (45,60) gramów.
2) Jaką maksymalną wagę ma 60% śliw tego gatunku?
3) Jaką minimalną wagę ma 40% śliw tego gatunku?
Zadanie 11.
Zakładając, że czas oczekiwania na poczcie po odbiór przesyłki ma rozkład normalny
N (7 minut; 2 minuty). Obliczyć prawdopodobieństwo odbioru przesyłki w czasie nie
dłuższym niż
8 minut.
Zadanie 12.
Przeprowadzono badanie, z którego wynika, że czas trwania zakupów w pewnym centrum
handlowym ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą 1,4 godziny i odchyleniem
standardowym 0,7 godziny. Jaki jest minimalny czas zakupów 20% klientów?
Zadanie 13.
Waga opakowania proszku do prania jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z
wartością oczekiwaną równą 3 kg i odchyleniem standardowym 0,005 kg. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że kupione opakowanie zawiera nie więcej niż 3,02 kg proszku.
Zadanie 14.
Zmienna losowa X ma rozkład chi – kwadrat z siedmioma stopniami swobody. Obliczyć:
a) P( X > 12 )
b) P( X > 0,6 )
c) P( X < 14 )
Zadanie 15.
Zmienna losowa X ma rozkład chi – kwadrat z 15 stopniami swobody. Obliczyć:
a) P( X > 10,3 )
3
b) P( X > 22,3 )
c) P( X < 25 ).
Zadanie 16.
Zmienna losowa X ma rozkład Studenta z 13 stopniami swobody. Obliczyć:
a) P( |X| > 2,16 )
b) P( X > 2,16 )
c) P( X < 2,16 ).
Zadanie 17.
Zmienna losowa X ma rozkład Studenta z 20 stopniami swobody. Obliczyć:
a) P( |X| > 0,86 )
b) P( X > 0,86 )
c) P( X < - 0,86 ).
Odpowiedzi do zadań ( moduł 1 )
1) 0,75
2)
5
36
3) A i B są niezależne ( P ( A) =
12
24
8
, P( B ) =
, P( A ∩ B) =
)
36
36
36
4) nie można
5) a) c = 0,3
6) a = 0,15,
b) E ( X ) = 1,
E ( X ) = 1,3 ;
P( X = 3 ) = 0 ,
D2( X ) = 11,6 ,
D2( X ) = 32,41 ,
P( X > 2 ) = 0,5 ,
σ = 3,4
σ = 5,69
P( X ≤ 5 ) = 0,85.
7) Rozkład zmiennej losowej X ma
X = xi
-3
0
1
P( X = xi ) = pi 0,2 0,4 0,4
E( X ) = - 0,2 ;
D2( X ) = σ2 = 2,16 ,
P( X = 3 ) = 0 ,
P( X > 0 ) = 0,4 ,
σ = 1,47
P( X ≤ 1 ) = 1.
8) tak można, F( 0 ) = 0,3
10) 1a) 0,7123
11)
1b) 0,3541
2) 54 g
0,6915
4
3) 54 g .
postać:
12)
2 godziny
13)
prawie 100%
14)
a) 0,1
b)
0,999
c) 0,95
15)
a) 0,8
b)
0,1
c) 0,95
16)
a) 0,05
b)
0,025
c) 0,975
17)
a) 0,4
b)
0,2
c) 0,2
5
Zadania sprawdzające – moduł 2
Zadanie 1
Firma produkująca zabawki planuje wprowadzenie na rynek serii plastikowych modeli do
sklejania. Przygotowano 3 rodzaje tych modeli, a następnie oszacowano potencjalne zyski w
zależności od wystąpienia jednego z 3 możliwych stanów rynku. Stosowne wyniki (tys. zł)
zawiera poniższa tabela:
Model
Samolot
Czołg
Okręt
P(Sj)
Stany rynku
S1 S2 S3
15 20 -6
25 -7 10
12 10
3
0,5 0,1 0,4
Skłonność
do ryzyka
0,7
0,7
0,7
Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji
w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Omów
uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI.
Przeprowadzono dodatkową analizę przyszłego zainteresowania wyrobami tej firmy. Wynika
z niej, że należy spodziewać się jednego z dwóch wariantów wzrostu popytu: dużego (o 25%)
i niskiego (o 5%). Oszacowano prawdopodobieństwa zrealizowania się danego wariantu w
zależności od wystąpienia określonego stanu natury.
Wzrost popytu:
S1
S2
S3
o 5%
0,3
0,5
0,2
o 25%
0,7
0,5
0,8
Jaką decyzję należy podjąć wykorzystując dodatkową informację na temat wzrostu popytu
jeżeli odnotowany zostanie niski a jaką jeśli odnotujemy wysoki wzrost. Wyznacz i
zinterpretuj OWDI oraz EDI.
Zadanie 2
Właściciel kina zastanawia się jaki film wprowadzić na ekran. Oszacował zyski dla 4 wybranych
tytułów w zależności od 3 wariantów frekwencji widzów. Zyski te (w tys. zł) podaje poniższa tabela.
Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji
w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Dla
kryterium Hurwicza zaproponuj wartość skłonności do ryzyka. Omów uzyskane wyniki.
Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI.
Tytuł
Atak zmutowanych chrabąszczy
Alabastrowy romans
Zaczarowany schowek
Gang z ulicy Zaściankowej
P(Sj)
Stany natury
S1
S2
S3
2
-0,5 1,5
-0,1 3,5 2,7
3
0
3
1,7 2,4 1,5
0,4 0,3 0,3
Na podstawie recenzji filmów w internecie oraz analizy frekwencji w innych kinach
właściciel zastanawia się nad uruchomieniem dodatkowych seansów interesujących go
tytułów. Pod uwagę bierze dwie możliwości: dodatkowy seans poranny oraz popołudniowy.
6
Seans zwróci się jeśli pojawi się na nim co najmniej 20 osób. Oszacował
prawdopodobieństwa zrealizowania się tego wariantu frekwencji w zależności od wystąpienia
określonego stanu natury uzyskując wyniki:
Seans:
S1
S2
S3
Poranny
0,1
0,6
0,5
Popołudniowy
0,9
0,4
0,5
Jaką decyzję należy podjąć wykorzystując dodatkową informację na temat frekwencji
podczas dodatkowych seansów jeżeli wybrany zostanie wariant poranny a jaką decyzję należy
podjąć przy wariancie popołudniowym. Wyznacz i zinterpretuj OWDI oraz EDI.
Zadanie 3
Inwestor planuje inwestycje w jedna z trzech akcji. W tym celu oszacował stopę zwrotu w
zależności od jednego z przewidywanych stanów rynku. Stosowne wyniki zawiera tabela.
Stany rynku
Skłonność do
Inwestycja
S1
S2
S3
bycia optymistą
Akcja A
10
9
-3
0,3
Akcja B
-5
18
18
0,3
Akcja C
12
5
15
0,6
P(Sj)
0,7
0,2
0,1
Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji
w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Omów
uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI.
Walne zgromadzenia akcjonariuszy wyżej wymienionych spółek podjęły decyzje o wypłacie
dywidend. Ich wysokość uzależniają jednak od przewidywanej sytuacji rynkowej. Zakładając,
że inwestora interesuje łączna kwota otrzymanych dywidend oszacowane zostały
prawdopodobieństwa uzyskania jednego z trzech wariantów wypłaty w zależności od sytuacji
rynkowej. Szacunki owe znalazły się w poniższej tabeli.
Wysokość wypłaty
S1
S2
S3
W1
0,1
0,5
0,6
W2
0,2
0,5
0,1
W3
0,7
0
0,3
Akcje której ze spółek będą najbardziej atrakcyjne po uwzględnieniu dodatkowej informacji
na temat wypłaty dywidend? Przeprowadź stosowna analizę i zinterpretuj jej wyniki.
Zadanie 4
W czasie obchodów z okazji wręczenia sztandaru jednostce wojskowej zaplanowano festyn,
podczas którego sprzedawane będą dania przygotowane przez wojskowych kucharzy.
Uroczystość odbywać się ma pod gołym niebem, więc liczba gości zależy od pogody, która
wystąpić może w jednym z 4 możliwych stanów. Oszacowano spodziewane zyski jakie
przyniesie sprzedaż potraw w zależności od pogody (tys. zł). Zyski te zawarto w poniższej
tabeli.
Warunki pogodowe
Potrawa
S1
S2
S3
7
S4
Skłonność do ryzyka
Grochówka
2
1,1
1,9
2,1
0,6
Żurek
-0,5
2,5
1,8
2
0,6
Bigos
3
-0,2
0,5
2,4
0,6
P(Sj)
0,1
0,4
0,2
0,3
Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji
w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Omów
uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI.
Podczas uroczystości możliwe są pokazy lotnicze, które mogą przyciągnąć dodatkowych
gości na uroczystość. Jednak występy lotników zależą od pogody dlatego oszacowano
prawdopodobieństwa zorganizowania pokazów w zależności od wystąpienia spodziewanych
stanów warunków pogodowych. Jeżeli pogoda pokrzyżuje plany, sprzęt latający będzie
można obejrzeć na ziemi. Szacunki wspomnianych prawdopodobieństw znalazły się w
poniższej tabeli.
S1
S2
S3
S4
Pokazy się odbędą
0,4
0,2
0,7
0,9
Pokazy się nie odbędą
0,6
0,8
0,3
0,1
Jaką decyzję należy podjąć przygotowując wybraną potrawę na uroczystość jeżeli pokazy się
odbędą a jaką jeśli pokazy nie będą miały miejsca. Wyznacz i zinterpretuj OWDI oraz EDI.
Zadanie 5
Pewien pracownik codziennie dojeżdża samochodem do firmy, w której pracuje. Jako że ma
różne godziny rozpoczęcia pracy musi uwzględniać podczas dojazdu warunki panujące na
ulicach zamieszkiwanego miasta. Mając już pewne doświadczenie w tym zakresie podzielił
natężenie ruchu na w interesujących go porach na 5 możliwych stanów. W pracy chce znaleźć
się jak najszybciej, ale bierze pod uwagę 4 różne trasy przejazdu. W tabeli poniżej znalazły
się czasy przejazdu [min.] w zależności od warunków panujących na drodze oraz
prawdopodobieństwa wystąpienia stanów natury.
Warunki na drogach (stany natury)
S1
S2
S3
S4
S5
Trasa 1
25
50
30
45
15
Trasa 2
35
45
20
50
20
Trasa 3
20
40
25
30
25
Trasa 4
40
40
20
35
25
P(Sj)
0,10
0,20
0,60
0,05
0,05
Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji
w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Dla
kryterium Hurwicza zaproponuj wartość skłonności do ryzyka. Omów uzyskane wyniki.
Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI.
UWAGA! Powyższą macierz wypłat potraktować jako macierz strat.
8
UWAGA: do tego modułu nie podajemy odpowiedzi ze względu na arbitralnośc
przyjmowanych założeń.
9
Zadania sprawdzające – moduł 3
Zadanie 1.
W badaniu poświęconym psychologii myślenia polecono rozwiązać zadanie losowo wybranej
grupie uczniów z pewnego liceum. Rozwiązywanie zadania przebiegało następująco:
Czas (w min)
10-20
20-30
30-40
40-50
Liczba uczniów
10
30
40
20
Przyjmując poziom ufności 0,99 wyznaczyć:
a) przedział ufności dla średniego czasu rozwiązywania zadania,
b) przedział ufności dla odsetka osób, które rozwiązywały zadanie krócej niż 30 min.
c) minimalną liczebność próby, dla której maksymalny błąd szacunku wskaźnika
struktury z punktu b) nie przekroczy 4%.
Zadanie 2.
W grupie 250 losowo wybranych Łodzian 85 stwierdziło, że poruszając się po mieście
korzysta wyłącznie z własnego samochodu. Na poziomie ufności 0,95 odsetek oszacować
odsetek Łodzian jeżdżących po mieście wyłącznie własnym samochodem. Podać
maksymalny błąd szacunku.
Zadanie 3.
W losowej grupie 120 pracowników pewnego przedsiębiorstwa średnia liczba nieobecności w
pracy wynosiła 13 dni, a odchylenie standardowe 3 dni. Przyjmując poziom ufności 0,98
wyznaczyć przedział ufności dla średniej liczby nieobecności ogółu pracowników tego
przedsiębiorstwa. O ile osób należałoby zwiększyć próbę, aby maksymalny błąd szacunku był
o połowę mniejszy?
Zadanie 4.
Sprawdzono wielkość wypłat na osobę z funduszu „wczasy pod gruszą” dla 26 losowo
wybranych pracowników pewnego zakładu. Obliczono, że wypłaty te przeciętnie wynosiły
800 zł, a odchylenie standardowe z tej próby 80 zł. Oszacować przedział ufności dla
przeciętnych wypłat z funduszu socjalnego na „wczasy pod gruszą” na 1 pracownika tego
zakładu, przyjmując poziom ufności 0,99 oraz wiedząc, że rozkład wypłat na „wczasy pod
gruszą” jest normalny. Jak liczna powinna być próba, aby maksymalny błąd szacunku nie
przekroczył 40 zł?
Zadanie 5.
Przeprowadzono ankietę wśród grupy losowo wybranych Łodzian, pytając ich o ulubione
miejsce na wakacje.
Ulubione miejsce na wakacje
góry
morze
jeziora
inne
Liczba Łodzian
80
130
120
70
Na poziomie ufności 0,98 oszacować przedziałowo odsetek Łodzian, którzy za najlepsze
miejsce na wakacje uznają góry. Jak liczna powinna być próba, aby maksymalny błąd
szacunku nie przekroczył 4%?
Zadanie 6.
W Poznaniu przeprowadzono ankietę, w której pytano losowo wybranych studentów o czas
poświęcany przez nich na naukę. Otrzymano następujące dane:
10
Liczba
studentów
5 nocy przed sesją
35
pół godziny dziennie
15
godzina dziennie
35
weekendy
30
prawie każda wolna chwila
5
Na poziomie ufności 0,98 oszacować przedziałowo odsetek studentów z Poznania, którzy
uczą się w weekendy. Jaki poziom ufności należałoby przyjąć, aby maksymalny błąd
oszacowania był o połowę mniejszy?
Czas nauki
Zadanie 7.
Badano wysokość pożyczek lub kredytów na cele konsumpcyjne zaciągniętych przez
mieszkańców miasta M z uwzględnieniem wieku kredytobiorców i dla losowo wybranej
grupy otrzymano następujące dane:.
Lp. Wysokość
Liczba osób
kredytu
(w tys. zł)
1
2,5 - 7,5
17
2
7,5 - 12,5
19
3 12,5 - 17,5
35
4 17,5 - 22,5
58
5 22,5 – 27,5
40
6 27,5 - 32,5
31
a) Oszacować metodą przedziałową przeciętną wysokość kredytu dla wszystkich
kredytobiorców tego miasta przyjmując poziom ufności 0,97. Podać błąd tego
oszacowania.
b) Jak liczna powinna być próba, aby przy poziomie ufności takim jak w punkcie (a)
otrzymać oszacowanie przeciętnej wysokości kredytu z błędem o 30% mniejszym?
c) Oszacować metodą przedziałową odsetek osób, które mają kredyty w wysokości 22,5
- 27,5 tys. zł przyjmując poziom ufności 0,9. Podać błąd tego oszacowania.
d) O ile osób należy zwiększyć próbę, aby w oszacowaniu z punktu (c) błąd był o połowę
mniejszy?
Zadanie 8.
Wyprodukowano nowy lek przeciwko pewnej chorobie. Badania kliniczne przeprowadzone na grupie
ochotników wykazały 280 wyzdrowień na 400 pacjentów. Zbudować przedział ufności dla odsetka
wyleczonych pacjentów. Przyjąć poziom ufności 0,996 i podać błąd tego oszacowania.
Zadanie 9.
Ile sztuk pewnego wyrobu Z należy wylosować do próby, aby oszacować średnią wagę tego
wyrobu z maksymalnym błędem szacunku 0,03 g i z wiarygodnością 0,94, jeśli wiadomo, że
odchylenie standardowe wagi tego wyrobu wynosi 0,15 g ?
Zadanie 10.
W losowo wybranej grupie studentów pewnej łódzkiej uczelni 128 na stałe mieszkało w
Łodzi. Oszacowano przedział ufności dla odsetka studentów mieszkających na stałe poza
11
Łodzią: (55,5%; 64,5%).
a) Jak liczną próbę poddano badaniu?
b) Jaki poziom ufności przyjęto przy estymacji?
Odpowiedzi:
Zadanie 1.
a) (29,678; 34,322)
b) (27,4%; 52,6%)
c) n’ = 999
Zadanie 2. d=5,9%
Zadanie 3. (12,362; 13,638) n’- n = 360
Zadanie 4. (755,4; 844,6) n’ = 32
Zadanie 5. (15,3%; 24,7%) n’ = 543
Zadanie 6. (15,8%; 34,2%) 1 – α = 0,758
Zadanie 7.
a)
b)
c)
d)
(18,33; 20,57) d=1,12
n’ = 408
(15,4%; 24,6%) d=4,6%
n’ – n = 600
Zadanie 8. (63,4%; 76,6%) d=6,6%
Zadanie 9. n’ = 89
Zadanie 10.
a) n = 320 (wskazówka: k = n - 128)
b) 1 – α = 0,9
12
Zadania sprawdzające – moduł 4
Zadanie 1
Zebrano dane na temat liczby sprzedanych płyt pewnego wykonawcy w ciągu ostatniego pół
roku. W analizowanych 23 punktach sprzedaży nabyto średnio 10 tys. płyt tego wykonawcy
przy odchyleniu 2 tys. płyt. Czy na poziomie istotności α=0,05 można powiedzieć, że średnia
sprzedaż jest niższa od zakładanej średniej równej 13 tys. płyt interesującego nas piosenkarza
(zakładając, że sprzedaż tych płyt ma rozkład normalny)?
Zadanie 2
Zawartość soli (NaCl) w 1 litrze wody odprowadzanej do rzeki z instalacji oczyszczających
pewnego zakładu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym
równym 35 mg. Przeprowadzono serię piętnastu pomiarów stwierdzając, że średnio w 1 litrze
znajdowało się 150 mg NaCl. Na poziomie istotności wynoszącym 0,06 zweryfikować
hipotezę mówiącą, że przeciętna zawartość soli w odprowadzanej wodzie wynosi 160 mg.
Zadanie 3
Piętnaście na sto dwadzieścia książek opuszczających drukarnię ma wady związane
z nieprawidłowym funkcjonowaniem maszyn drukarskich. Przyjmując poziom istotności
równy 0,02 zweryfikować hipotezę mówiącą, że udział nieprawidłowo wydrukowanych
egzemplarzy jest mniejszy niż 10%.
Zadanie 4
Podczas produkcji desek w tartaku powstają ścinki, których długość jest zmienną o rozkładzie
normalnym z odchyleniem standardowym wynoszącym 10 cm. Na poziomie istotności 0,05
zweryfikować hipotezę mówiącą o tym, że średnia długość ścinka jest większa niż 30 cm,
jeżeli po zmierzeniu 80 sztuk tych odpadów otrzymano średnią długość równą 32 cm.
Zadanie 5
Na poziomie istotności 0,06 zweryfikować hipotezę, że przeciętna zawartość magnezu
w butelce wody gazowanej "Nicowianka" przekracza 45 mg/l. Wiadomo, że zawartość
magnezu w tej wodzie ma rozkład normalny. Dla 50 przebadanych butelek stwierdzono, że
średnio zawierają one 44 mg/l z odchyleniem 20 mg/l.
Zadanie 6
Postanowiono zweryfikować pogląd mówiący, że ponad 75% rodzin kupuje na święta Bożego
Narodzenia żywą choinkę. Przeprowadzono stosowną ankietę. Na 200 zapytanych, 165
potwierdziło, że kupiło żywe drzewko. Zweryfikować stawianą hipotezę przyjmując poziom
istotności równy 0,04.
Zadanie 7
Zbadano zużycie paliwa dla silników benzynowych pewnej marki. Stwierdzono, że ma ono
rozkład normalny z odchyleniem standardowym wynoszącym 0,5 litra. Dla 10 przebadanych
silników otrzymano średnie zużycie 6,2 litra. Czy na poziomie istotności 0,05 można
powiedzieć, że silnik ten zużywa przeciętnie poniżej 6,5 litra?
Zadanie 8
Zbadano czas potrzebny na wykonanie elementu przy pomocy niedawno zakupionej
obrabiarki. Stwierdzono (po wykonaniu 40 elementów), że średni czas wytwarzania wynosi
13
5,8 min. z odchyleniem 2 min. Czy na poziomie istotności 0,03 można powiedzieć, że
przeciętny czas wykonania elementu różni się od 5 min.?
Zadanie 9
Dwa miasta ubiegają się o dotację na budowę obwodnicy, która zmniejszy ilość
przejeżdżających przez centrum ciężarówek. Wiadomo, że masa ładunku pojedynczej
ciężarówki ma rozkład normalny o odchyleniu standardowym wynoszącym 6t. Czy na
poziomie istotności równym 0,04 można powiedzieć, że średnia masa ładunku jednego
samochodu ciężarowego w mieście pierwszym jest wyższa niż w drugim? W obu miastach
przeprowadzono losowe badanie masy 30 ładunków. Dla pierwszego z nich średnia masa
wyniosła 18 ton zaś dla drugiego 15 ton.
Zadanie 90
Panuje opinia, że kobiety są gorszymi kierowcami niż mężczyźni. W wylosowanej grupie 305
kobiet kierowców stwierdzono, że 55 spośród nich spowodowało wypadek. Z kolei dla grupy
kierujących samochodami 310 mężczyzn liczba winnych wypadków wyniosła 52 osoby.
Zweryfikuj hipotezę, że procent liczby wypadków powodowanych przez kobiety jest wyższy
niż w przypadku mężczyzn, przyjmując poziom istotności 0,05.
Zadanie 11
Porównano silniki producentów A i B pod kątem zużycia paliwa. Dla 50 egzemplarzy silnika
producenta A otrzymano średnie zużycie wynoszące 6,2 litra z odchyleniem 0,5 litra, a dla
takiej samej liczby silników producenta B, średnie zużycie wyniosło 6,5 litra z odchyleniem
0,8 litra. Czy można powiedzieć, że (na poziomie istotności równym 0,03) zużycie paliwa jest
dla obu producentów takie samo?
Zadanie 102
Postanowiono zbadać hipotezę mówiącą, że poziom wiedzy z pewnego przedmiotu w dwóch
grupach ćwiczeniowych jest równy. Po przeprowadzeniu kolokwium w grupie 1, liczącej
sobie 17 osób, otrzymano średnią ocenę 3,5 z odchyleniem 0,3. W grupie 2 składającej się z
14 osób średnia ocena wyniosła 3,35 z odchyleniem 0,2. Zakładając, że oceny z kolokwium w
obu grupach mają rozkład normalny z takim samym odchyleniem standardowym,
zweryfikować postawioną hipotezę, przyjmując poziom istotności α=0,06.
Zadanie 11
Zbadać, przy pomocy testu niezależności chi-kwadrat, czy na poziomie istotności równym
0,05 odpowiedź na jedno z pytań pewnej ankiety i miejsce zadania tego pytania nie są
niezależne od siebie. Zebrano następujące dane dotyczące liczby ankietowanych:
Odpowiedź Miejsce A Miejsce B
Tak
26
30
Nie
15
21
Zadanie 12
Przeprowadzono badanie ankietowe mające sprawdzić czy poziom osiąganych dochodów i
preferencje wyborcze nie są niezależne od siebie. Odpowiedzi ankietowanych rozłożyły się
następująco:
Dochód [zł] Partia A Partia B
0-2000
20
38
2000-4000
33
21
4000-6000
37
21
14
Wykorzystując test niezależności chi-kwadrat sprawdź prawdziwość postawionej hipotezy
(poziom istotności 0,06). W przypadku odrzucenia hipotezy zerowej, oblicz i zinterpretuj
współczynnik V-Cramera.
Zadanie 13
W badaniu wykonanym na zlecenie producenta telefonów komórkowych postanowiono
zbadać m.in. czy płeć i wybierany model aparatu nie są niezależne od siebie. Poniżej
przedstawiono zgromadzone dane odnośnie liczby osób zainteresowanych danym modelem.
Na tej podstawie zbadaj (na poziomie istotności 0,04) prawdziwość postawionej hipotezy
wykorzystując test niezależności chi-kwadrat. Oblicz i zinterpretuj współczynnik TCzuprowa.
Płeć
Model 1 Model 2 Model 3
Kobieta
15
11
13
Mężczyzna
10
17
14
Odpowiedzi do zadań:
1) T = −7,0356, tα = -1,717, odrzucić H0, przyjąć H1: m<13
2) U = −1,1066, |uα| = 1,88 lub uα = 1,75, brak podstaw do odrzucenia H0
3) U = 0,9129, uα = 2,06, brak podstaw do odrzucenia H0
4) U = 1,7889, uα = 1,65, odrzucić H0, przyjąć H1: m>30
5) U = −0,3536, uα = 1,56, brak podstaw do odrzucenia H0
6) U = 2,4495, uα = 1,75, odrzucić H0 , przyjąć H1: p>0,75
7) U = −1,8974, uα = −1,65, odrzucić H0 , przyjąć H1: m<6,5
8) U = 2,5298, |uα| = 2,17, odrzucić H0 , przyjąć H1: m≠5
9) U = 1,9365, uα = 1,75, odrzucić H0 , przyjąć H1: m1>m2
9) U = 0,4117, uα = 1,65, brak podstaw do odrzucenia H0
10) U = −2,2486, |tα| = 2,17, odrzucić H0 , przyjąć H1: m1≠m2
11) T = 1,5482, |tα| = 1,9573, brak podstaw do odrzucenia H0
12) χ e2 = 0,2011, χ α2 = 3,8415, brak podstaw do odrzucenia H0
13) χ e2 = 38,0209, χ α2 =0,06 = 5,6268, odrzucić H0, V = 0,5826
14) χ e2 = 2,2742, χ α2 =0,04 = 6,4377, brak podstaw do odrzucenia H0, T = 0,1418
15