Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej względem krzywej

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej
wzgledem
krzywej zamknietej
,
,
1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona
2. Homotopia odwzorowań na okregu
,
3. Indeks odwzorowania ciag
krzywej zamknietej
, lego wzgledem
,
,
4. Stopień Brouwera
5. Zasadnicze Twierdzenie algebry
1
Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona
Definiujemy cialo liczb zespolonych C jako trójke, (R2 , +, ·) gdzie dla dowolnych (a, b), (c, d) ∈
C dzialania dodawania i mnożenia zdefiniowane sa, jako
(1)
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(2)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Utożsamiajac
, liczba, zespolona, (x, 0) z liczba, rzeczywista, x ∈ R z i kladac
, i := (0, 1), dla
dowolnego (x, y) ∈ C mamy
(x, y) = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1) = x + yi
i ponadto i2 = (0, 1) · (0, 1) = −(1, 0) = −1. Definiujemy cześć
rzeczywista, Re z oraz cześć
,
,
urojona, Im z liczby zespolonej z = (x, y) jako
Re z := x oraz Im z := y.
Modul liczby zespolonej z = (x, y) ∈ C definiujemy jako
|z| :=
p
x2 + y 2 ,
zaś jej sprzeżenie
jako z := x − yi. Nietrudno zauważyć, że sprzeżenie
jest odbiciem
,
,
symetrycznym wzgledem
osi OX, zaś modul jest dlugościa, wektora (x, y). Ponadto
,
!
x
y
z = |z| p
+ ip
= |z|(cos ϕ + i cos ϕ),
x2 + y 2
x2 + y 2
gdzie ϕ ∈ [0, 2π) jest takie, że cos ϕ = √
x
x2 +y 2
oraz sin ϕ = √
y
.
x2 +y 2
argumentem glównym liczny zespolonej z i oznaczamy Arg (z) := ϕ.
1
Liczbe, ϕ nazywamy
Można sprawdzić, że iloczynem liczb zespolonych z1 oraz z2 danych jako z1 = |z1 |(cos ϕ1 +
i cos ϕ1 ), z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i cos ϕ2 ) jest liczba
z1 · z2 = |z1 | · |z2 |(cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i cos(ϕ1 + ϕ2 )).
Zatem jeśli |z| = 1 to mnożenie przez liczbe, z jest obrotem plaszczyzny zespolonej o kat
,
Arg (z). Wykorzystujac
powyższy
wzór
na
iloczyn
liczb
zespolonych
możemy
wyprowadzić
,
nastepuj
acy
wzór
de
Moivre’a:
,
,
z n = |z|n (cos nϕ + i sin nϕ)
dla n ∈ Z, n > 0.
Niech w bedzie
wielomianem zmiennej zespolonej danym wzorem w(z) = z n − 1. Wielo,
mian ten posiada dokladnie n pierwiastków zespolonych. Dane sa, one wzorami
p
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n
zk = |z| cos
+ i sin
dla k = 1, 2, . . . , n − 1.
n
n
Fakt ten można uogólnić w nastepuj
acy
sposób
,
,
Twierdzenie 1.1. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Niech w(z) := an z n + an−1 z n−1 +
. . . + a1 z + a0 , n > 1, ai ∈ C, an 6= 0 bedzie
wielomianem o wspólczynnikach zespolonych.
,
Wówczas istnieje liczba zespolona z0 ∈ C taka, że w(z0 ) = 0.
Dla dowolnego z ∈ C zbieżne sa, nastepuj
ace
szeregi S1 (z), S2 (z) oraz S3 (z):
,
,
S1 (z) :=
(3)
S2 (z) :=
∞
X
zn
i=1
∞
X
i=1
S3 (z) :=
n!
=1+
(−1)n 2n+1
z3 z5
z
=1−
+
+ ...,
(2n + 1)!
3!
5!
∞
X
(−1)n
i=1
z
z2
+
+ ...,
1!
2!
(2n)!
z 2n = 1 −
2
z2 z4
+
+ ....
2!
4!
Dla dowolnego z ∈ C definiujemy sin z := S1 (z), cos z := S2 (z) oraz ez := S2 (z). Prowadzi
nas to do postać wykladniczej liczby zespolonej z ∈ C, która przedstawia sie, nastepuj
aco
,
,
z = |z|eiφ , gdzie ϕ := arg z.
Wynika ona ze wzorów (3).
2
Homotopia odwzorowań na okregu
,
Niech A, B ⊂ C bed
, a, dowolnymi zbiorami. Powiemy, że odwzorowania f, g : A → B
sa, homotopijne, jeśli istnieje ciag
, le odwzorowanie H : [0, 1] × A → B takie, że H(0, · ) = f
oraz H(1, · ) = g. W tej sytuacji odwzorowanie H nazywamy homotopia, lacz
, ac
, a, odwzorowania f i g.
Powiemy, że odwzorowanie f : A → B jest homotopijne trywialne jeśli istnieje homotopia H : [0, 1] × A → B takie, że H(0, · ) = f oraz H(1, x) = const dla x ∈ A.
Przyjmujemy, że A = B = S 1 = {z ∈ C | |z| = 1}. Wówczas zachodzi nastepuj
ace
,
,
Twierdzenie 2.1. (Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej, wersja dwuwymiarowa)
Niech f : S 1 → S 1 bedzie
odwzorowaniem ciag
,
, lym. Wówczas dowolne przedlużenie F :
1
D → C odwzorowania f posiada punkt zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy f nie jest homotopijnie trywialne.
Dowód. (=⇒) Gdyby istniala homotopia H : [0, 1] × S 1 → S 1 taka, że H(0, · ) = f oraz
H(1, x) = x0 dla x ∈ S 1 , to moglibyśmy zdefiniować odwzorowanie F : D → C dane
wzorem

x
jeśli 0 6 kxk 6 1/2,
0
F (x) =
H(2 − 2kxk, x/kxk) jeśli 1/2 6 kxk 6 1.
Wtedy F |S 1 = f oraz F (x) 6= 0 dla x ∈ D, co jest sprzecznościa.,
(⇐=) Niech F : D → C bedzie
przedlużeniem odwzorowania f . Jeśli F (x) 6= 0 dla x ∈ D,
,
1
1
to definiujac
, H : [0, 1] × S → S jako
H(t, x) =
F ((1 − t)x)
kF ((1 − t)x)k
dla
(t, x) ∈ [0, 1] × S 1
mielibyśmy, że
H(0, x) =
f (x)
= f (x)
kf (x)k
dla x ∈ S 1
i ponadto
H(1, x) =
F (0)
kF (0)k
dla
(t, x) ∈ [0, 1] × S 1 .
Zatem odwzorowanie H jest homotopia, lacz
, ac
, a, f z odwzorowaniem stalym. Dlatego f
jest odwzorowaniem homotopijnie trywialnym co jest sprzecznościa.,
3
3
Indeks odwzorowania ciag
lego wzgledem
krzywej zamknie,
,
,
tej
1
Niech γ : [0, 1] → C bedzie
krzywa, zamkniet
,
, a, kawalkami klasy C , czyli, γ(0) = γ(1)
oraz istnieja, punkty 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 takie, że obciecie
γ|[ti ,ti+1 ] , i = 1, . . . , n − 1
,
1
jest klasy C . Niech U ⊂ C bedzie
zbiorem otwartym oraz niech f : U → C bedzie
,
,
odwzorowaniem ciag
lym
takim,
że
f
(γ(t))
=
6
0
dla
t
∈
[0,
1].
Niech
w
:
[0,
1]
→
C
b
edzie
,
,
odwzorowaniem danym wzorem w(t) := f (γ(t)) dla t ∈ [0, 1].
Logarytmem krzywej f ◦γ nazywamy odwzorowanie L : [0, 1] → C spelniajace
, równość
eL(t) = w(t)
dla t ∈ [0, 1].
Argumentem krzywej f ◦ γ nazywamy odwzorowanie A : [0, 1] → C dane wzorem
dla t ∈ [0, 1].
A(t) = Im L(t)
Wówczas zachodzi równość
L(t) = ln |w(t)| + iA(t)
dla t ∈ [0, 1].
Wynika stad,
, że
L(1) − L(0) = i(A(1) − A(0))
gdyż w(0) = w(1). Ponieważ eL(1) = w(1) = w(0) = eL(0) , mamy
1
1
(L(1) − L(0)) ∈ Z
oraz
(A(1) − A(0)) ∈ Z.
2πi
2π
Indeksem odwzorowania f wzgledem
krzywej γ nazywamy liczbe, calkowita, indγ f dana, jako
,
1
1
indγ f =
(L(1) − L(0)) =
(A(1) − A(0)).
2πi
2π
Interpretacja geometryczna: indγ f zlicza ile razy wektor f (γ(t)) obróci sie, o pelny kat
,
wokól punktu 0 ∈ C gdy t ∈ [0, 1].
Twierdzenie 3.1. (Homotopijna niezmienniczość indeksu wzgledem
krzywej) Niech ft :
,
U → C \ {0} bedzie
homotopia, odwzorowań ciag
krzywa,
,
, lych oraz niech γ : [0, 1] → C bedzie
,
zamkniet
, a, taka,
, że γ([0, 1]) ⊂ U . Wtedy dla każdych t1 , t2 ∈ [0, 1] mamy
indγ ft1 = indγ ft2 .
4
Stopień Brouwera
1
Niech f : S 1 → S 1 bedzie
odwzorowaniem ciag
,
, lym. Zauważmy, że S jest obrazem
krzywej γ0 : [0, 1] → C danej wzorem
γ0 (t) = e2πit
dla t ∈ [0, 1].
Ponadto f (z) 6= 0 dla z ∈ S 1 . Definiujemy stopień Brouwera degB f odwzorowania f jako
degB f := indγ0 f.
4
Rysunek 1: (A) indγ f = −1, (B) indγ f = −1, (C) indγ f = 0, (D) indγ f = 1,
(E) indγ f = 2
Twierdzenie 4.1. (Homotopijna niezmienniczość stopnia Brouwera) Niech f, g : S 1 →
S 1 bed
, a, odwzorowaniami homotopijnymi. Wtedy
degB f = degB g.
Lemat 4.2. Niech m ∈ Z oraz niech f : S 1 → S 1 bedzie
dane wzorem f (z) = z m dla
,
z ∈ S 1 . Wtedy degB f = m.
Wniosek 4.3. Jeśli f : S 1 → S 1 jest odwzorowaniem homotopijnie trywialnym, to
degB f = 0.
5
Zasadnicze twierdzenie algebry
Twierdzenie 5.1. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Niech w(z) := an z n + an−1 z n−1 +
. . . + a1 z + a0 , n > 1, ai ∈ C, an 6= 0 bedzie
wielomianem o wspólczynnikach zespolonych.
,
Wówczas istnieje liczba zespolona z0 ∈ C taka, że w(z0 ) = 0.
Dowód. Niech 0 < ε < 1. Jeśli |z| = 1 oraz r > 0 jest dostatecznie duże, to
n
X
−i ai (rz) < ε.
i=1
Definiujemy odwzorowanie h : S 1 × [0, 1] → C wzorem
H(z, t) = (1 − t)(rz)n + tw(rz) = (rz)n
1+t
n
X
i=1
5
!
ai (rz)−i
dla t ∈ [0, 1], z ∈ S 1 .
Wtedy H(z, 0) = (rz)n oraz H(z, 1) = w(rz) dla z ∈ S 1 . Ponadto H(z, t) 6= 0 dla
(z, t) ∈ S 1 × [0, 1]. Rzeczywiście, jeśli H(z, t) = 0, to
−1 = t
n
X
ai z −i
i=1
a to jest sprzecznościa, gdyż wartość bezwzgledna
prawej strony jest mniejsza od 1. Jeśli
,
wielomian w nie mialby pierwiastków, to w szczególności w(rz)/|w(rz)| =
6 0 dla z ∈
1
S . Zatem, korzystajac
, z podstawowego twierdzenia analizy nieliniowej otrzymujemy, że
1
odwzorowanie g : S → S 1 sane wzorem
g(z) = w(rz)/|w(rz)|
dla z ∈ S 1
jest homotopijnie trywialne i tym samym jego stopień Brouwera jest równy zero. Z drugiej
strony
degB g = degB H(1, ·)/|H(1, ·)| = degB H(0, ·)/|H(0, ·)| = degB z n = n > 1,
co daje sprzeczność.
6