Analiza matematyczna II Lista 3 III. Dyfeomorfizmy. Twierdzenie o

Analiza matematyczna II
Lista 3
III. Dyfeomorfizmy. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań.
Definicja. Niech U ⊂ Rk bedzie
zbiorem otwartym. Powiemy, że odwzorowanie f : U → Rm gdzie k ≤ m, klasy C 1 jest
,
dyfeomorfizmem, jeśli:
(a) jest różnowartościowe,
(b) jest nieosobliwe,
(c) odwzorowanie odwrotne f −1 : f (U ) → Rk jest ciag
, le.
Twierdzenie. (o lokalnym odwracaniu odwzorowań) Niech U ⊂ Rk bedzie
otwartym otoczeniem punktu x0 oraz niech
,
k
1
f : U → R , bedzie
odwzorowaniem klasy C . Wówczas, jeśli f jest osobliwe w punkcie x0 , to
,
(a) f (U ) jest otoczeniem punktu f (x0 ),
(b) odwzorowanie f zaweżone
do pewnego otoczenia punktu x0 jest różnowartościowe.
,
Twierdzenie. Jeśli U ⊂ Rk jest zbiorem otwartym oraz odwzorowanie f : U → Rk jest dyfeomorfizmem, to zbiór f (U )
jest otwarty, odwzorowanie f −1 : f (U ) → Rk jest klasy C 1 oraz dla dowolnego w ∈ f (U ) mamy Df −1 (w) = Df (u)−1
gdzie w = f (u).
Zadanie III.1 (dyfeomorfizm biegunowy)
Niech f : U → R2 gdzie U = {(r, α) ∈ R2 | r > 0, −π < α < π} bedzie
odwzorowaniem danym wzorem
,
f (r, α) = (r cos α, r sin α)
dla
(r, α) ∈ U.
Pokazać, że f jest dyfeomorfizmem.
Zadanie III.2 (dyfeomorfizm walcowy)
Niech f : U → R3 gdzie U = {(r, α, β) ∈ R3 | r > 0, −π < α < π} bedzie
odwzorowaniem danym wzorem
,
f (r, α, z) = (r cos α, r sin α, z) dla (r, α, z) ∈ U.
Pokazać, że f jest dyfeomorfizmem.
Zadanie III.3 (dyfeomorfizm sferyczny)
Niech f : U → R3 gdzie U = {(r, α, β) ∈ R3 | r > 0, −π < α < π, − π2 < β <
π
2}
bedzie
odwzorowaniem danym wzorem
,
f (r, α, β) = (r cos β cos α, r cos β sin α, r sin β) dla (r, α, β) ∈ U.
Pokazać, że f jest dyfeomorfizmem.
Zadanie III.4 (inwersja lub odbicie wzgledem
okregu)
,
,
odwzorowaniem
danym wzorem
Niech f : Rk \ {0} → Rk bedzie
,
f (x) = |x|−2 x dla x ∈ Rk \ {0}.
Pokazać, że f jest dyfeomorfizmem.
Zadanie III.5 Niech ϕ : (−2π, 1) → R2 bedzie
odwzorowaniem danym wzorem
,
(
(cos t, sin t) dla − 2π < t < 0
ϕ(t) =
(1, t)
dla 0 ≤ t < 1.
1
Narysować przeciwdziedzine, odwzorowania ϕ oraz wykazać, że ma ono wszystkie wlasności wystepuj
ace
w definicji dyfe,
,
−1
omorfizmu, z wyjatkiem
ci
ag
lości
ϕ
.
,
,
Zadanie III.6 Niech f : R2 → R2 bedzie
dane wzorem
,
f (u, v) = (eu+v + eu−v , eu+v − eu−v )
dla
(u, v) ∈ R2 .
Znaleźć f (R2 ) oraz zbadać, czy f jest dyfeomorfizmem.
Zadanie III.7 Niech f : R2 → R2 dana bedzie
wzorem f (x, y) := (x2 − y 2 , xy).
,
(a) Czy f jest odwracalna?
(b) Co można powiedzieć o odwracalności lokalnej wokól (0, 0), (−2, −3) i (2, 3)?
(c) Wyznaczyć pochodne (lokalnych) funkcji odwrotnych wokól tych punktów (o ile istnieja).
,
Zadanie III.8 Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedzialu otwartego P ⊂ R2 na obszar U ⊂ R2 dany jako:
(a) U = {(x, y) ∈ R2 | 1 < x2 + y 2 < 4, 0 < x < y < 2x},
(b) U = {(x, y) ∈ R2 | y 2 < x < 2y 2 < 4, 2x2 < y < 3x2 },
(c) U = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x, 0 < y < x2 },
2
2
(d) U = {(x, y) ∈ R2 | xa + yb < 1} \ {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0, y = 0},
(e) U = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ U, f (x) < y < g(x)}, gdzie f, g : U → R sa, funkcjami klasy C 1 określonymi na przedziale
otwartym U oraz f (x) < g(x) dla x ∈ U .
Zadanie III.9 Znaleźć przeciwobraz zbioru {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 − x < 0} przy dyfeomorfizmie f : U → R2 gdzie
U = {(r, α) | r > 0, −π < α < π} oraz f (r, α) = (r cos α, r sin α) dla (r, α) ∈ U .
Zadanie III.10 Znaleźć macierz różniczki odwzorowania odwrotnego do dyfeomorfizmu sferycznego.
Zadanie III.11 Znaleźć dyfeomorfizm z danego przedzialu otwartego P ⊂ Rn na Rn .
Zadanie III.12 Wykazać, że odwzorowanie f : Rk → Rk dane wzorem
x
f (x) =
dla x ∈ Rk
1 + |x|
jest dyfeomorfizmem i przeksztalca ono przestrzeń Rk na kule, {y ∈ Rk | |y| < 1}.
Zadanie III.13 Niech f : U → Rn bedzie
odwzorowaniem klasy C 1 , gdzie U ⊂ Rk jest otwartym otoczeniem punktu
,
k
x0 ∈ R . Wykazać, że jeśli f jest nieosobliwe w punkcie x0 , to f zaweżone
do pewnego otoczenia tego punktu jest
,
dyfeomorfizmem.
Zadanie III.14 Niech f : U → Rn bedzie
odwzorowaniem klasy C 1 , gdzie U ⊂ Rk jest otwartym otoczeniem punktu
,
k
x0 ∈ R . Wykazać, że jeśli rzad
, pochodnej df (x0 ) wynosi m, to f (U ) jest otoczeniem punktu f (x0 ).
Zadanie III.15 Znaleźć wszystkie odwzorowania różniczkowalne f : R2 → R spelniajace
warunek
,
a1
∂f
∂f
(x, y) + a2 (x, y) = g(x, y)
∂x
∂y
dla
(x, y) ∈ R2 ,
gdzie g : R2 → R jest danym odwzorowaniem ciag
, lym, zaś a1 , a2 sa, danymi liczbami rzeczywistymi nie znikajacymi
,
jednocześnie.
Zadanie III.16 Niech g : Rk → Rk bedzie
odwzorowaniem różniczkowalnym, dla którego istnieje liczba 0 < L < 1 taka,
,
że kdg(x)k ≤ L dla x ∈ Rk . Wykazać, że odwzorowanie f : Rk → Rk dane wzorem f (x) = x − g(x) jest różnowartościowe,
f (Rk ) = Rk oraz f −1 jest różniczkowalne.
2