5. równania różniczkowe – zagadnienia brzegowe

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE – ZAGADNIENIA BRZEGOWE
1

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE – ZAGADNIENIA BRZEGOWE
Zagadnienia początkowe (initial value problems) to zagadnienia związane ze stałymi całkowania,
zadeklarowanymi na początku. Pozwalają uwarunkować zadanie, dostosować je do konkretnych sytuacji.
dy1
 y'1  f 1 ( x, y1 , y 2 )
dx
dy 2
 y ' 2  f 2 ( x, y1 , y 2 )
dx
y1, 0  y1 (0)
(5.1)
y 2, 0  y 2 ( 0)
y
d y1
=f x , y 1, y 2 
dx
y 1,0
y 2,0
d y2
=f x , y 1, y 2 
dx
Rys.5.1 Przykład zadania z zagadnieniem brzegowym
x
Równania różniczkowe-zagadnienia brzegowe (boundary value problems), to zagadnienia w których stałe
całkowania wyznacza się na podstawie warunków określanych nie na początku przedziału lecz najczęściej
na jego końcach (brzegach). Np. Równania różniczkowe linii ugięcia belki:
d2y
 f ( x, y)
dx 2
y 0  y (0)
y L  y ( L)
Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
(5.2)
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE – ZAGADNIENIA BRZEGOWE
2

y
y L
d2 y
=f x , y 
d x2
y 0
x =L
x
Rys.5.2 Zagadnienia brzegowe; warunek początkowy i końcowy
Przykład 5.1:
Równanie różniczkowe przewodnictwa cieplnego:
d 2T
 h(Ta  T )  0
dx 2
(5.3)
Ta
T2
T1
Ta
x =L
x =0
Rys.5.3 Przykład przewodnictwa ciepła wzdłuż pręta.
Dane:
Pręt jest nie izolowany (ciepło rozchodzi się do otoczenia), x – zmienna kierunku, warunki brzegowe:
T ( 0)  T1  40C
T ( L)  T2  200C
Ta  20C - temperatura otoczenia
L  10m
h  0,01 – stała charakteryzująca rozchodzenie się ciepła
Rozwiązanie dokładne:
T  73,4523e 0,1x  53,4523e 0,1x  20
Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE – ZAGADNIENIA BRZEGOWE
3

Zastosujemy tzw. metodę strzału (shooting method).
Polega ona na przekształcaniu równania różniczkowego brzegowego, do równania różniczkowego
początkowego. Równanie różniczkowe n-tego rzędu można sprowadzić zawsze do układu n równań I rzędu.
Układ równań różniczkowych I rzędu będzie miał postać:
 dT
 dx  z

 dz  h(T  Ta )
 dx
T ( 0)  T1  40C
T ( L)  T2  200C
początkowo zakładamy, że z (0)  10 - pierwszy strzał. Stosując np. metodę R-K IV rzędu o kroku h=2,
otrzymujemy:
T (10)  168,3797C
dla z (0)  20 - drugi strzał, otrzymujemy:
T (10)  285,8980C .
Zależność między dwoma strzałami jest liniowa więc dokonujemy liniowej interpolacji:
z (0)  10 
20  10
(200  168,3797)  12,6907
285,8980  168,3797
y
pierwszy strzał
200
końcowy, celny strzał
100
drugi strzał
0
2
4
6
8
10
x
Rys.5.4 Interpretacja graficzna shooting method
Jest to poprawny warunek początkowy. W ten sposób sprowadziliśmy zagadnienie brzegowe do zagadnienia
początkowego. Dla zagadnień liniowych jest to bardzo efektywna metoda a dla zagadnień nieliniowych
rzadko stosowana.
Metoda różnic skończonych (MRS)
Rozpatrzmy ponownie równanie różniczkowe przewodnictwa cieplnego:
d 2T
 h(Ta  T )  0
dx 2
Zastępujemy drugą pochodną różnicą skończoną.
Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
(5.3)
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE – ZAGADNIENIA BRZEGOWE
4

d 2 T Ti 1  2Ti  Ti1

dx 2
x 2
(5.4)
i po podstawieniu otrzymujemy:
Ti 1  2T  Ti1
 h(Ti  Ta )  0
x 2
Ti 1  2Ti  Ti 1  x 2 hTi  x 2 hTa  0
(5.5)
Ti 1  Ti (2  h  x 2 )  Ti 1   h  x 2  Ta
Równanie (5.5) zapisać możemy dla wszystkich punktów wewnętrznych.
Pręt dzielimy na 5 równych części:
L  10m
Δx=2
T0  40C
T5  200C
Układ równań różnicowych dla punktów wewnętrznych zapisujemy w postaci macierzowej:
0
0  T1   40,8 
2,04  1
  1 2,04  1
0  T2   0,8 


 0
 1 2,04  1  T3   0,8 

  

0
 1 2,04 T4   200,8
 0
Otrzymujemy rozwiązanie:
T  65,9698 ; 93,7785 ;124,5382 ;159,4795
Zestawienie wyników otrzymanych przy zastosowaniu obu omawianych metod:
x
0
2
4
6
8
10
Rozwiązanie dokładne
40
65.9518
93.7478
124.5036
159.4334
200
Metoda ‘shooting’
40
65.9520
93.7481
124.5039
159.4538
200
Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
MRS
40
65.9698
93.7785
124.5382
159.4795
200