Analiza matematyczna II

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: ANALIZA MATEMATYCZNA II
Rok studiów:
Semestr:
II
3
ECTS: 12
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
60
60
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne:
Analiza matematyczna I. Wstęp do topologii. Algebra liniowa z geometrią analityczną
Założenia i cele przedmiotu:
Zadaniem kursu jest zapoznanie studenta z podstawowymi zagadnieniami rachunku różniczkowego i
całkowego funkcji wielu zmiennych.
Metody dydaktyczne:
Wykład – wykład prowadzony tradycyjnie (tablica i kreda)
Ćwiczenia – prowadzony w sposób tradycyjny (rozwiązywanie zadań, kolokwia, kartkówki)
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie ćwiczeń, egzamin pisemny i ustny
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Ciąg dalszy różniczkowania
Różniczkowanie funkcji złożonej i odwrotnej, odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy,
twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.
2. Funkcja uwikłana
Twierdzenie o funkcji uwikłanej (różne przypadki), równanie stycznej do krzywej danej równaniem
uwikłanym, druga pochodna funkcji uwikłanej, pochodne wyższych rzędów, pochodna rzędu n
n
funkcji wielu zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych, funkcje klasy C , macierz
Jacobiego, jacobian, gradient, twierdzenie Taylora, ekstrema funkcji wielu zmiennych, warunek
konieczny na ekstremum, warunek wystarczający na ekstremum, ekstrema funkcji uwikłanych,
3
ekstrema warunkowe, powierzchnie stopnia drugiego w przestrzeni R .
3. Całka oznaczona
Całka oznaczona w sensie Cauchy’ego, całka Darboux, całka oznaczona Riemanna, warunek
konieczny i wystarczający całkowalności w sensie Riemanna, własności całki Riemanna, metody
całkowania dla całki oznaczonej, zastosowanie całki oznaczonej, całki niewłaściwe I i II rodzaju.
4. Całka Riemanna wielokrotna
Definicja całki Riemanna, sumy całkowe górna i dolna, warunek konieczny i wystarczający na
całkowalność, twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej, R(P), twierdzenie Fubiniego dla całki
Riemanna, całka wielokrotna po dowolnym zbiorze, interpretacja całki podwójnej, całkowanie po
zbiorach normalnych, interpretacja całki potrójnej, twierdzenie o zmianie zmiennych, współrzędne
biegunowe, współrzędne sferyczne, całka we współrzędnych biegunowych, całka we
współrzędnych sferycznych, całka jako funkcja parametrów.
5. Elementy analizy fourierowskiej
Geometria przestrzeni Hilberta, metoda ortogonalizacji, szereg Fouriera, nierówność Bessela,
równość Parsevala, szereg trygonometryczny Fouriera.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Ciąg dalszy różniczkowania
n
m
Obliczanie pochodnych pierwszego rzędu odwzorowań z R do R , wykorzystanie twierdzeń
o różniczkowaniu funkcji, różniczkowanie funkcji złożonej i odwrotnej, sprawdzanie czy dane
odwzorowanie jest regularne, dyfeomorfizmem, zastosowanie twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie.
2. Funkcja uwikłana
Zastosowanie twierdzenia o funkcji uwikłanej (różne przypadki), wyznaczanie stycznej do
krzywej danej równaniem uwikłanym, obliczanie pierwszej, drugiej pochodnej funkcji uwikłanej,
obliczanie pochodnych wyższych rzędów funkcji wielu zmiennych rzeczywistych o wartościach
n
rzeczywistych, sprawdzanie przynależności funkcji do klasy C , wyznaczanie gradientu funkcji,
wykorzystanie twierdzenia Taylora, obliczenia przybliżone z wykorzystaniem wzoru Taylora dla
funkcji wielu zmiennych, wyznaczanie ekstremów funkcji wielu zmiennych, zastosowanie
twierdzenia Sylwestera, wyznaczanie ekstremów funkcji uwikłanych, wyznaczanie ekstremów
warunkowych.
3. Całka oznaczona
Obliczanie całek oznaczonych Riemanna z definicji oraz przy użyciu całki Cauchy’ego,
wykorzystanie sum całkowych Riemanna do wyznaczania sum szeregów, obliczanie całek
Darboux, wykorzystanie własności całki Riemanna, ćwiczenie metod całkowania dla całki
Riemanna, wykorzystanie geometrycznej interpretacji całki funkcji nieujemnej, obliczanie długości
łuku, pole obszaru, objętość i pole powierzchni bryły obrotowej, wyznaczanie całek niewłaściwych
1
I rodzaju i II rodzaju, wykorzystanie
1
dx dx
,
, zastosowanie kryterium całkowego do badanie
x 0 xa
zbieżności szeregu, kryteria Abela i Dirichleta.
4. Całka Riemanna wiolokrotna
Zastosowanie domkniętości i zupełności przestrzeni R(P), zastosowanie twierdzenia Fubiniego
dla całki Riemanna, wyznaczanie całki wielokrotnej po dowolnym zbiorze, wykorzystanie
interpretacji całki podwójnej, potrójnej, całkowanie z wykorzystaniem twierdzenia o zmianie
zmiennych, badanie ciągłości i różniczkowalności całki jako funkcji parametrów.
5. Elementy analizy fourierowskiej
Przypomnienie definicji iloczynu skalarnego, przestrzeni unitarnej, przestrzeni Hilberta, metody
ortonormalizacji, badanie zupełności układu, sprawdzanie ortogonalności elementów przestrzeni
unitarnej, badanie ortogonalności podprzestrzeni, wyznaczanie współczynników Fouriera,
rozwijanie w szereg trygonometryczny Fouriera, sprawdzanie warunków Dirichleta, zastosowanie
poznanej teorii do wyznaczania sum szeregów.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1983.
[2] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1969.
[3] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna. Podstawy, wyd. UJ, Kraków 1998.
[4] H. Cartan, Calcul differentiel, formes differentielles, Paris 1967.
[5] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa
1983.
[6] B. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej.
[7] L. Siewierski, Ćwiczenia z analizy matematycznej z zastosowaniami, PWN, Warszawa 1981.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. Dieudonne, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York And London 1960.
[2] G. E. Sziłow, Matematiczeskij analiz, Moskwa 1968.
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK
Zatwierdził: dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK