3.1. Własności funkcji liniowej

3.1. WŁASNOŚCI FUNKCJI LINIOWEJ
Wzór funkcji liniowej y = ax + b ,
gdzie a, b ∈ R .
a - współczynnik kierunkowy
b - współczynnik stały
Przykład 3.1.1. Napisz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym równym 5 ,
której wykres przechodzi przez punkt (3,−1) .
Rozwiązanie
a=5
y = 5x + b
Komentarz
Współczynnik kierunkowy jest równym
(3,−1)
−1 = 5 ⋅ 3 + b
− 1 = 15 + b
− b = 15 + 1
− b = 16 / : (− 1)
b = −16
Odp. y = 5 x − 16
5.
b , podstawiając
współrzędne punktu (3,−1) do wzoru funkcji
y = 5x + b
Obliczamy współczynnik
Wykres i własności funkcji liniowej
Wykresem funkcji liniowej jest prosta
Warunki
Wzór funkcji
a>0
Wykres
Dziedzina
D: x∈R
Zbiór
wartości
y∈R
y = ax + b
a<0
x=
D: x∈R
y∈R
y = ax + b
a = 0∧b ≠ 0
Miejsca
zerowe
jedno miejsce
zerowe
funkcja rosnąca
−b
a
jedno miejsce
zerowe
x=
Monotoniczność
funkcja malejąca
−b
a
D: x∈R
y ∈ {b} nie ma miejsca
funkcja stała
D: x∈R
y ∈ {0}
funkcja stała
zerowego
y=b
a = 0∧b = 0
nieskończenie
wiele miejsc
zerowych
x∈R
y=0
Przykład 3.1.2. Wyznacz wartość parametru m wiedząc , Ŝe funkcja liniowa
y = (2m + 4)x − 3 jest rosnąca.
Rozwiązanie
y = (2m + 4)x − 3
Komentarz
Funkcja jest rosnąca, gdy a > 0
a = 2m + 4
Współczynnik kierunkowy
współczynnik przy x
a jest to
2m + 4 > 0
2 m > −4 / : 2
m > −2
Odp. m ∈ (− 2,+∞ )
Przykład 3.1.3. Wyznacz wartości współczynnika b , dla których miejsce zerowe funkcji
1
liniowej y = x + b jest większe od –2.
4
Rozwiązanie
y=
1
x+b
4
Komentarz
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji
y=
1
x+b
4
1
x+b = 0
4
1
x = −b / ⋅ 4
4
x = −4b
x0 = −4b - miejsce zerowe
− 4b > −2
− 4b > −2 / : −4
2
b<
4
1
b<
2
1

Odp. b ∈  − ∞, 
2

Obliczamy b wiedząc, Ŝe miejsce zerowe
funkcji
y=
1
x + b jest większe od –2.
4
Przykład 3.1.4. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji y =
3
x−5
4
z osiami układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Komentarz
3
y = x−5
4
Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia
3
0 = x−5
4
3
 3
− x = −5 / :  − 
4
 4
z osią OX, podstawiając za y zero.
wykresu funkcji
y=
3
x−5
4
 4
x = −5 ⋅  − 
 3
20
x=
3
 20 
 ,0  - punkt przecięcia wykresu funkcji
 3 
z osią OX
3
y = x−5
4
y=
3
⋅ 0 − 5 = 0 − 5 = −5
4
Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia
wykresu funkcji
y=
3
x−5
4
z osią OY, podstawiając za x zero
(0,−5) - punkt przecięcia wykresu funkcji
z osią OY
Przykład 3.1.5. Dla jakich argumentów funkcja f ( x) = 4 x − 5 przyjmuje wartości
niemniejsze od wartości funkcji g ( x) = −2 x + 7 ?
Rozwiązanie
f ( x) ≥ g ( x)
4 x − 5 ≥ −2 x + 7
4x + 2x ≥ 7 + 5
6 x ≥ 12 / : 6
x≥2
Odp. x ∈ 2, + ∞ )
Komentarz
Wykorzystując warunek , Ŝe wartości funkcji f
są niemniejsze od wartości funkcji g ,
zapisujemy nierówność, której rozwiązanie
pozwoli nam znaleźć szukane argumenty.
Przykład 3.1.6. Jakie znaki mają współczynniki a, b funkcji liniowej y = ax + b , której
wykres przechodzi przez:
a) II i IV ćwiartkę układu współrzędnych,
Rozwiązanie
II
Komentarz
Rysujemy wykres funkcji liniowej
przechodzący przez II i IV ćwiartkę układu
współrzędnych
I
III
funkcja malejąca
IV
⇒
a<0
wykres przecina oś OY w punkcie
(0,0) ⇒
b=0
Na podstawie rysunku widzimy , Ŝe
funkcja jest malejąca oraz jej wykres przecina
oś OY w punkcie (0,0 )
b) I, II, i III ćwiartkę układu współrzędnych ?
Rozwiązanie
II
Komentarz
Rysujemy wykres funkcji liniowej
przechodzący przez I, II i III ćwiartkę układu
współrzędnych
I
III
funkcja rosnąca
IV
⇒
Na podstawie rysunku widzimy , Ŝe
funkcja jest rosnąca oraz jej wykres przecina
dodatnią półoś OY
a>0
wykres przecina dodatnią półoś OY
⇒
b>0
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 3.1.1. (1pkt.) Napisz wzór funkcji liniowej , która przechodzi przez punkt (3,−4)
i jest funkcją stałą.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Podanie wzoru funkcji liniowej.
Liczba punktów
1
Ćwiczenie 3.1.2. (2pkt.) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji
y = 2 x − 2 + 4 z osiami układu współrzędnych.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
Odpowiedź
Podanie współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji
z osią OX.
Podanie współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji
z osią OY.
Liczba punktów
1
1
Ćwiczenie 3.1.3. (1pkt.) Dla jakiej wartości n punkt P = (2n, n + 1) naleŜy do wykresu
funkcji y = 2 x + 3 ?
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Podanie wartości n.
Liczba punktów
1
Ćwiczenie 3.1.4. (1pkt.) Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc, Ŝe jej miejscem zerowym
jest liczba –2 i jej wykres przecina oś OY w punkcie (0,5) .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Podanie wzoru funkcji liniowej.
Liczba punktów
1