WYKŁAD 4: UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Definicja 1. Układem

WYKŁAD 4: UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Definicja 1. Układem m równań liniowych o n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn , gdzie n, m ∈
N nazywamy układ równań postaci:


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
,
(∗)
..

.
=


 a x + a x + ... + a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m
gdzie aij , bj ∈ R, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.
Rozwiązaniem układu (∗) nazywamy dowolny ciąg n liczb naturalnych c1 , c2 , ..., cn
spełniający każde z równań układu.
W postaci macierzowej układ (∗) zapiszemy następująco:
A · X = B, gdzie

a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n

A =  ..
..
..
 .
.
.
am1 am2 . . . amn




X=



,

x1
x2
..
.




,



B=

xn
b1
b2
..
.



,

bm
Układy n równań liniowych o n niewiadomych
Definicja 2. Układ równań liniowych postaci A · X = B, w którym A jest macierzą
kwadratową nieosobliwą nazywamy układem Cramera. Rozwiązania są postaci:
x1 =
W1
,
W
x2 =
W2
Wn
, ..., xn =
, gdzie
W
W
W = det A,
Wi - wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy A przez zastąpienie jej i - tej
kolumny kolumną wyrazów wolnych.
1
Przykład:
2
Rodzaje układów równań
Jeżeli układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (ciąg liczb) to układ nazywamy
oznaczonym.
Jeżeli układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, to nazywamy go nieoznaczonym.
Jeżeli układ równań nie ma rozwiązań, to nazywamy go sprzecznym.
Niech w układzie równań (*) m = n (czyli macierz A jest kwadratowa). Wtedy
możliwe są trzy sytuacje:
1. W 6= 0 - układ jest układem Cramera (jest oznaczony) i rozwiązania są dane wzorami
Jak wyżej.
2. W = 0 i Wi 6= 0 dla pewnego i ∈ {1, 2, ..., n} - układ jest sprzeczny.
3. W = 0 i W1 = W2 = ... = Wn = 0 - układ jest nieoznaczony
Przykład:
3
Układy m równań liniowych o n niewiadomych.
Metoda Gaussa
Metoda Gaussa polega na przekształceniu układu [A|B] −→ [E|X]. W tym celu
wykonujemy następujące działania na wierszach:
1. zamiana wierszy (ozn. wi ↔ wj ),
2. mnożenie wiersza przez stałą 6= 0 (c · wi ),
3. dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza (wi + wj ),
4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer,
5. skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych,
6.
∗
zamiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie niewiadomych (ki ↔
kj )
W przypadku m równań z n niewiadomymi, wymienione wyżej działanie na wierszach
doprowadzą do następującej macierzy:


1 0 . . . 0 s1 r+1 . . . s1n z1
 0 1 . . . 0 s2 r+1 . . . s2n z2 



.. ..  ,
.. ..
[A0 |B 0 ] =  ... ...
. . 
. .


 0 0 . . . 1 sr r+1 . . . srn zr 
. . . 0 zr+1
0 0 ... 0 0
Możliwe są trzy sytuacje:
1. zr+1 6= 0 - układ sprzeczny,
2. zr+1 = 0 i n = r - układ jest układem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie,
3. zr+1 = 0 i n > r - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań danych za pomocą n − r
parametrów.
4
Przykłady:
5