Matematyka Dyskretna, egzamin – termin 1.

Matematyka Dyskretna, egzamin – termin 1.
PWSZ Nowy Sącz, Instytut Techniczny
Informatyka Stosowana (studia niestacjonarne)
Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
UWAGA:
Grupa: . . . . . . . . . . . . . . . .
Można korzystać ze wszelkich notatek.
NIE WOLNO w żaden sposób kontaktować z innymi osobami zarówno w sali, jak i na zewnątrz.
NIE WOLNO także pokazywać swoich rozwiązań innym osobom pod rygorem oceny niedostatecznej ze sprawdzianu zarówno dla
pokazującego, jak i odbiorcy.
[LN] Liczby naturalne. Indukcja.
[1] Wypisać sześć początkowych wyrazów ciągu:
(a)
1
an =
2
⌊ n+1
2 ⌋



· 3 + (−1)

1+(−1)
2



 ,

1
an = ·
2
(b)
n ∈ N0
⌊ n+1
2 ⌋
1 − (−1)
!
,
n ∈ N0
[2] Wyznaczyć analityczny wzór ciągu o początkowych wyrazach:
(a)
1, 3, 7, 13, 21, 31, . . . .
(b) 2, 3, 3, 2, 2, 3, . . . .
[3] Niech κ : N0 × N0 → N0 będzie funkcją pary Cantora (κ(w, k) =
κ(3) (a, b, c) = κ(a, κ(b, c)),
(c)
w+k+1
2
1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . .
+ w, w, k ∈ N0 ) i niech
dla a , b , c ∈ N0
(a)
Znaleźć κ(20, 11)
(b) Znaleźć w i k, dla których κ(w, k) = 2011
(c)
κ(3) (1, 2, 3)
(d)
Znaleźć a, b i c, dla których κ(3) (a, b, c) = 1686
[FR] Rekursja. Funkcje rekurencyjne.
[1] Zapisać za pomocą złożenia, operatora rekursji, funkcji bazowych oraz funkcji f× i f↑ funkcję określoną wzorem:
(a)
f (n, p) =
p,
n=0
pf (n−1,p) , n > 0
(b)
f (n, p) =
[2] Wyznaczyć: f (3, 2, 1), gdzie f jest funkcją zdefiniowaną wzorem:
f (n, a, c) =
ac ,
a2 · f (n − 1, a, c) ,
Ile wynosi f (x, y, z) ?
[3] Obliczyć:
(a)
h(2, 3),
gdzie h = Rec(S[Z], f× [π23 , π33 ])
(b)
h(3, 3),
gdzie h = Rec(π11 , f↑ [π33 , π23 ])
(c)
h(3, 2),
gdzie h = Rec(π11 , S[f ↑ [π23, ∆3,2 ]])
[AM] Arytmetyka modularna
[1] Znaleźć x, y ∈ Z, dla których: 24x + 74y = 6
[2] Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną x, dla której: 10x ≡65 25
n=0
.
n>0
1,
f (n − 1, p)2 + 1 ,
n=0
n>0
[3] Znaleźć x dla którego:
x ≡3 2 ∧ x ≡5 2 ∧ x ≡7 3
222011 mod 13.
[4] Korzystając m.in. z twierdzenia Eulera obliczyć:
[5] Obliczyć:
20151991 mod 50
[6] W systemie RSA dla danego klucza publicznego (55, 7) wyznaczyć klucz prywatny, a następnie odszyfrować wiadomość 33.
[TP] Testowanie pierwszości. Faktoryzacja
[1] Wyznaczyć wartość:
2012
333
[2] Znane jest n = 84773093 oraz ϕ(n) = 84754668. Rozwiązując odpowiednie równanie, znaleźć rozkład n.
[3] W systemie RSA z n = 18721 ujawniono wiadomość y1 = 12677 zaszyfrowaną kluczem e1 = 43 oraz wiadomość y2 = 14702
zaszyfrowaną kluczem e2 = 7717. Obliczyć x1 .
[KWP] Kombinacje, wariacje, permutacje, . . .
[1] W pewnym klubie jest 10 osób grajacych w szachy, 15 grajacych w brydza i 12 grajacych w pokera. Spośród nich 5 gra
w szachy i brydza, 4 w brydza i pokera, 3 w szachy i pokera, a tylko 2 graja we wszystkie te gry. Ile osób jest w tym klubie?
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
[2] Niech σ =
,τ=
iπ=
.
2 3 1 5 7 6 8 4
5 7 6 8 4 2 3 1
5 6 8 4 7 2 3 1
(a)
Wyznaczyć permutację (σ −2 ◦ τ )2 ◦ π.
(b)
Zapisać ją jako złożenie cykli rozłącznych.
(c)
Zapisać cykl (5, 3, 6, 2, 7, 1) jako złożenie transpozycji. Jaki jest znak tej permutacji?
[3] Wyznaczyć wszystkie 3-elementowe rozbicia zbioru { a, b, c, d, e }
[4] Wyznaczyć x4 jako kombinację potęg kroczących za pomocą liczb Stirlinga II-rodzaju.
[5] Wyznaczyć x4 jako kombinację zwykłych potęg za pomocą liczb Stirlinga I-rodzaju.
[RSF] Różnice, szeregi formalne.
[1] Wyznaczyć ∆ λn (2n )
[2] Korzystając ze wzoru na różnicę iloczynu:
∆(f · g) = ∆f · g + Eg · ∆f
wyznaczyć różnicę ∆ λn (n · 2n ) .
[3] W pierścieniu wielomianów formalnych wyliczyć α =
1
. Wyznaczyć jego pierwszą i drugą pochodną.
(1 + X − 2X2 )
[4] Zapisać za pomocą równań w pierścieniu wielomianów formalnych rekurencje:
(a)
a0 = 1, a1 = 1, an+2 = 2an − an−1
(b)
a0 = 1, a1 = −1, an+2 = an+1 − an
[GR] Grafy.
[1] Wyznaczyć w poniższym grafie
liczby: δ(G), ∆(G), α0 (G), α1 (G), β0 (G), β1 (G), κ(G) i λ(G).
[2] W podanym grafie
wyznaczyć graf dendrytów. Wyznaczyć dendryt centralny tego grafu i jego cykle fundamentalne.
[3] Czy wskazany graf
jest eulerowski? Jeśli tak, to wskazać w nim cykl Eulera.
[4] Czy wskazany graf
jest hamiltonowski? Jeśli tak, to wskazać w nim cykl Hamiltona.
[5] Wyznaczyć dendryt grafu
o minimalnym koszcie. Wyznaczyć w tym grafie optymaną drogę z A do B.
[6] W podanym grafie
wskazać
(a)
najliczniejszy zbiór niezależny wierzchołków.
(b)
najliczniejsze dopasowanie
(c)
najmniej liczne pokrycie wierzchołkowe.
(d)
najmniej liczne pokrycie krawędziowe.
(e)
najmniej liczny zbiór rozdzielający wierzchołki A i B
(f) wierzchołki rozcinające
(g)
mosty
[7] Znaleźć pokoloranie grafu
. . . kolorami.
[8] W podanym grafie dwudzielnym
wyznaczyć skojarzenie doskonałe.
[9] Czy wskazany graf
jest spłaszczalny? Odpowiedź uzasadnić.
[10] W podanym grafie
wypisać wierzchołki zgodnie z porządkiem “w głąb”
[11] W podanym grafie
wypisać wierzchołki zgodnie z porządkiem “wszerz”
[12] Wskazać izomorfizm podanych grafów:
[13] Uzasadnić dlaczego grafy
nie są izomorficzne.
Data: . . . . . . . . . . . . . . . .
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .