Co to są i do czego służą funkcje zespolone?

Funkcje analityczne
Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne?
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Paweł Mleczko
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
1. Sprawy organizacyjne
2. Czego będziemy się uczyć?
3. Kogo spotkamy podczas wykładów?
4. Co to są i do czego służą funkcje zespolone?
5. O co w tym chodzi?
6. Co trzeba wiedzieć, żeby uczyć się funkcji analitycznych?
Sprawy organizacyjne
Skąd czerpać wiedzę?
Co oznacza słowo „studiować”?
| uczyć się na uczelni wyższej; być na studiach
| uważnie czytać, zgłębiać temat
| wpatrywać się uważnie
Wykład nie będzie udostępniony w formie elektronicznej. Na stronie
http://students.wmi.amu.edu.pl/˜mleczko/ znajdzie się spis
omówionego materiału.
T. H. Moore, E. H. Handlock
Complex analysis
Londyn 1991.
J. Bak, D. J. Newman
Complex analysis
New York 1997.
J. Chądzyński
Wstęp do analizy zespolonej
Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1999.
4
Zasady zaliczenia
Punkty przydzielane według zasady:
| test końcowy – 50%
| zaliczenie – 50%
Oceny (do zdobycia 100 pkt.):
|
|
|
|
|
50–60 pkt. – dostateczny
61–70 pkt. – dostateczny plus
71–80 pkt. – dobry
81–90 pkt. – dobry plus
91–100 pkt. – bardzo dobry
5
Czego będziemy się uczyć?
Zakres materiału
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Wiadomości wstępne
Płaszczyzna zespolona
Funkcje zespolone
Wizualizacja funkcji zespolonych
Pochodna funkcji zespolonej. Warunki Cauchy’ego–Riemanna
Szeregi potęgowe
Funkcje specjalne i ich szeregi potęgowe
Wzór całkowy Cauchy’ego
Twierdzenie Cauchy’ego
Twierdzenie Liouville’a. Zasada maksimum. Twierdzenie
o jednoznaczności
11. Szeregi Laurenta
12. Residua. Metody znajdowania residuów
13. Zastosowanie w analizie rzeczywistej do znajdowania całek Riemanna,
całek niewłaściwych oraz sum szeregów
7
Kogo spotkamy podczas wykładów?
Postacie
Augustin Louis
Cauchy
(1789–1857)
Leonhard Euler
(1707–1783)
Jacques Salomon
Hadamard
(1865–1963)
Zdjęcia za wikipedią.
9
Postacie
Joseph Liouville
(1809–1882)
Georg Friedrich
Bernhard Riemann
(1826–1866)
Karl Theodor
Wilhelm Weierstrass
(1815–1897)
Zdjęcia za wikipedią.
10
Co to są i do czego służą funkcje zespolone?
Płaszczyzna zespolona. Liczby zespolone
| Liczby zespolone jako zbiór
C = {x + iy : x , y ∈ R, i 2 = −1} = {(x , y ) : x , y ∈ R} = R2
| Liczby zespolone jako struktura algebraiczna
(C, +, ·)
(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x1 ) + i(y1 + y2 )
(x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
| Liczby zespolone jako przestrzeń metryczna
Funkcja | · | : C → [0, ∞) dana wzorem
p
|x + iy | = x 2 + y 2
nazywana jest modułem liczby zespolonej. Funkcja
d : C × C → [0, ∞) dana wzorem
d(x1 + iy1 , x2 + iy2 ) = |(x1 + iy1 ) − (x2 + iy2 )|
jest odległością w C × C.
12
Liczby zespolone. Postać trygonometryczna
Im
z = r (cos t + i sin t)
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 )
z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 )
r
Dodawanie liczb
t
z1 + z2 = r1 cos t1 + r2 cos t2
Re
+ i(r1 sin t1 + r2 sin t2 )
Mnożenie liczb
z1 · z2 = r1 r2 cos(t1 + t2 )
+ i sin(t1 + t2 )
13
Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej
Zajmować się będziemy funkcjami zespolonymi zmiennej rzeczywistej,
czyli funkcjami
f = u + iv : A → C,
gdzie A ⊂ R.
Przykład
Funkcja f : [0, 2π) → C
f (t) = cos t + i sin t.
Obrazem odcinka [0, 2π) za pomocą funkcji f jest okrąg jednostkowy.
14
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Zajmowac będziemy się funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej, czyli
funkcjami
f = u + iv : A → C, gdzie A ⊂ C.
Funkcję u : R2 → R nazywana jest częścią rzeczywistą funkcji f ,
Funkcję v : R2 → R nazywana jest częścią urojoną funkcji f .
Przykład
Funkcja f : C → C
f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n ,
gdzie ai ∈ C, i = 0, 1, . . . , n
jest zespolonym wielomianem.
15
Tematyka
# szereg Taylora
# ciągłość
# różniczkowalność
# miejsca zerowe
# szereg potęgowy
# całka krzywoliniowa
16
Obszary
Obszar – zbiór otwarty i spójny
Dysk jednostkowy
Pierścień
r1
1
r2
r0 , r1 ∈ (0, ∞)
17
Motywacja: zastosowania w matematyce elementarnej
| Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych
Zadanie
Uzasadnić wzór na sumę kosinusów kątów, czyli
cos α + cos β = 2 cos
α+β
α−β
cos
2
2
α, β ∈ R.
18
Motywacja: zastosowania w matematyce (trochę) wyższej
| Znajdowanie granic całek niewłaściwych, sum szeregów liczbowych,
skomplikowanych całek Riemanna
Zadanie
Znaleźć granicę do której zbieżna jest całka niewłaściwa
Z ∞
1
dx .
4
−∞ 1 + x
Zadanie
Znaleźć sumę szeregu
∞
X
n=0
1
.
1 + n2
19
Motywacja: lepsze zrozumienie fenomenów matematyki „rzeczywistej”
Rozważmy funkcję
Im
f (x ) =
x2
1
,
+1
x ∈ R.
Jej szereg Taylora to
f (x ) =
−1
1
Re
1
x 2 +1
f (x ) =
∞
X
(−1)n x 2n ,
|x | < 1.
n=0
Jest on zbieżny tylko dla |x | < 1!
W jaki sposób liczby ±1 związane są
z wykresem i wzorem funkcji f ?
Analiza zespolona daje odpowiedź!
20
Motywacja: analiza zespolona
żródło: http://itunes.apple.com
21
Motywacja: ważne zastosowania nie tylko matematyczne
Funkcje zespolone mają ważne zastosowania np. w:
| matematyce (m.in. teorii liczb, geometrii algebraicznej)
| fizyce (m.in. hydrodynamice, termodynamice)
| naukach inżynierskich (m.in. mechanice, elektronice, lotnictwie)
22
O co w tym chodzi?
Pochodna funkcji f : R → R
y
f
f (x0 + h) − f (x0 )
Niech f : A → R, A ⊂ R, A będzie
zbiorem otwartym, x0 , x0 + h ∈ A.
Jeśli istnieje granica
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
istnieje i jest skończona to
nazywamy ją pochodną funkcji f
w punkcie x0 i oznaczamy f 0 (x0 ).
x0
x0 + hx
24
Pochodna funkcji f : R2 → R2
Niech f = (f1 , f2 ) : A → R2 , A ⊂ R2 , A będzie zbiorem otwartym,
x0 , x0 + h ∈ A. Macierz D nazywa się pochodną liniową funkcji f , jeśli
kf (x0 + h) − f (x0 ) − Dh∗ k
= 0.
khk
khk→0
lim
Jeśli f ma pochodną, to
 ∂f
1
(x0 )
 x1
D=
 ∂f
2
(x0 )
x1

∂f1
(x0 )

x2


∂f2
(x0 )
x2
Przypomnijmy:
khk =
q
h12 + h22 ,
h = (h1 , h2 ) ∈ R2 .
Ponadto h∗ oznacza transpozycję wektora h.
25
Pochodna zespolona
Niech f : A → C, A ⊂ C, z, z0 ∈ A. Jeśli istnieje granica
lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
z − z0
istnieje i jest skończona to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie z0 .
Jeśli funkcja ma pochodną w każdym punkcie zbioru A, to mówimy,
że jest holomorficzna w A.
Pochodną funkcji zespolonej można zdefiniować tak, jak pochodną
funkcji rzeczywistej, gdyż w dziedzinie zespolonej można mnożyć (dzielić)
elementy.
26
Zasadnicze twierdzenie
Twierdzenie
Funkcja f : A → C, gdzie A ⊂ C jest obszarem, ma pochodną w punkcie
z0 ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r > 0, że
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n ,
|z − z0 | < r .
n=0
Przykład
Zdefiniujmy funkcję f : R → R wzorem
( 1
e − t 2 , t 6= 0
f (x ) =
0,
t = 0.
Wówczas f ma pochodną dowolnego rzędu na prostej R, natomiast szereg Taylora funkcji f w zerze jest równy zero.
27
Warunki Cauchy’ego–Riemanna
Twierdzenie
Jeśli funkcja zespolona u + iv ma w punkcie x0 + iy0 pochodną, to
spełnione są równania:
∂v
∂u
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x
∂y
∂v
∂u
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
∂x
∂y
Uwaga!
Powyższe twierdzenie wskazuje na to, że jeśli istnieje pochodna funkcji
zespolonej, to część rzeczywista oraz urojona funkcji są ściśle ze sobą
związane.
28
Twierdzenie Liouville’a
Twierdzenie
Jeśli funkcja holomorficzna na C ma oganiczony moduł, to jest funkcją
stała.
Wniosek (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian zespolony ma pierwiastek.
Przykład
Funkcje sin : C → C oraz cos : C → C mają nieograniczone moduły.
29
Zasada maksimum
Twierdzenie
Niech f będzie funkcją holomorficzną w obszarze A ⊂ C. Jeśli istnieje
lokalne maksimum funkcji |f | w obszarze A, to f jest stała w A.
Twierdzenie (Weierstrass)
Jeśli funkcja f : A → C, A ⊂ C jest ciągłą natomiast A jest zbiorem
zwartym, to f osiąga na A swoje kresy.
Wniosek
Jeśli funkcja f : A → C jest holomorficzna w A oraz ciągłą na A, to |f |
osiąga na A \ A wartość największą.
30
Twierdzenie o jednoznaczności
Twierdzenie
Niech f , g : A → C będą funkcjami holomorficznymi w obszarez A. Wówczas jeśli
f (z) = g(z), dla z ∈ D,
oraz zbiór D ma punkt skupienia w A, to
f (z) = g(z) dla każdego z ∈ A.
Uwaga!
Zbiór D w powyższym twierdzeniu może być „mały”, np. może być ciągiem liczbowym mającym granicę należącą do zbioru A.
31
Co trzeba wiedzieć,
żeby uczyć się funkcji analitycznych?
Oczekiwania
| Podstawowa wiedza z analizy rzeczywistej (w szczególności znajomość
pojęć całki Riemanna, pochodnej rzeczywistej oraz umiejętność
liczenia całek i pochodnych rzeczywistych)
| Podstawowa wiedza z topologii
33