Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji

Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji
Zadanie 1
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie
.
Wskazówka
Najpierw należy obliczyć pochodną funkcji
.
Rozwiązanie
Aby obliczyć pochodną, musimy oddzielić zależność od w podstawie od zależności od
wykładniku. Umożliwia nam to funkcja logarytm. Mamy z jednej strony:
a z drugiej:
Z porównania powyższych wzorów otrzymujemy:
Zadanie 2
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie
.
w
Wskazówka
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Rozwiązanie
Aby oddzielić zależność funkcji od
wykorzystamy wzór:
dla
i
w podstawie logarytmu od zależności w argumencie,
. Otrzymujemy:
więc szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu:
Zadanie 3
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie
.
Wskazówka
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Rozwiązanie
Aby znaleźć pochodną wystarczy wykorzystać wzór na różniczkowanie funkcji złożonej.
Otrzymujemy:
Zadanie 4
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie
.
Wskazówka
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Rozwiązanie
Aby oddzielić zależność funkcji od w podstawie logarytmu od zależności w argumencie,
wykorzystamy wzór (6). Otrzymujemy w ten sposób:
i szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu: