Ćwiczenia 3 / 4 — pochodna, cz. 2

Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012
23 października 2012
Ćwiczenia 3 / 4 — pochodna, cz. 2
0. Definicje (żargon) Przypomnijmy, że f 0 (x0 ), czyli pochodną funkcji f (x) w punkcie
x0 zdefiniowaliśmy jako „nachylenie stycznej do wykresu f w punkcie x0 ”.
Funkcję f (x) nazywamy różniczkowalną, jeśli posiada pochodną w każdym punkcie
swojej dziedziny. Przykładem funkcji, która nie jest różniczkowalna, jest f (x) = |x|.
Funkcję nazywamy monotoniczną na przedziale [a, b], jeśli jest ona na tym przedziale
rosnąca, malejąca lub stała.
Funkcja osiąga minimum (maksimum) lokalne w punkcie x0 , jeśli w otoczeniu tego
punktu wartości funkcji są większe (mniejsze) niż f (x0 ). Punkt, który jest minimum
lub maksimum lokalnym nazywamy ekstremum lokalnym.
1. Prosto Wyznacz pochodną funkcji f (x) = ax + b.
2.* Nachylenie siecznych Niech f (x) = x2 , zaś La,b jest sieczną przechodzącą przez
punkty wykresu (a, f (a)) i (b, f (b)). Oblicz nachylenie siecznych La,b dla:
• a = 2; b = 3
• a = x; b = x + 1
• a = 1; b = 3
• a = 2; b = 2, 1
• a = x; b = x + 0, 1
• a = 1, 9; b = 2, 1
• a = 2; b = 2, 01
• a = x; b = x + 0, 01
• a = 1, 99; b = 2, 01
• a = 2; b = 2, 001
• a = x; b = x + 0, 001
• a = 1, 999; b = 2, 001
(Uwaga — jeden punkt za każdą z kolum niezrobioną na ćwiczeniach).
Obliczanie pochodnej
3.*** Z definicji Oblicz pochodną funkcji f (x) = x2 i g(x) = x3 w punktach 0, 1, x,
korzystając z formalnej definicji pochodnej:
f 0 (x0 ) = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
4.** Liniowość Twierdzenie 1. Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , a c jest pewną
liczbą rzeczywistą, to funckja c · f też ma pochodną w punkcie x0 , i pochodna ta
jest równa cf˙0 (x0 ).
Jak próbował(a)byś uzadanić to twierdzenie?
Twierdzenie 2. Jeśli każda z funkcji f i g ma pochodną w punkcie x0 , to ich suma
f + g też ma pochodną w punkcie x0 , i pochodna tej sumy jest sumą pochodnych:
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
Jak próbował(a)byś uzadanić to twierdzenie?
x jest pewną
liczbą rzeczywistą
5. Pochodne wielomianów Oblicz pochodną y 0 dla funkcji y. Przyjmij, że znasz już
następujące pochodne:
• (x)0 = 1,
• (x2 )0 = 2x,
• (x3 )0 = 3x2 .
(a) y(x) = 2 + x − x2 ; oblicz y 0 (0); y 0 (1/2); y 0 (1); y 0 (−10)
(b) y(x) = x3 /3 + x2 /2 − 2x; dla jakich x: y 0 (x) = 0, y 0 (x) = −2, y 0 (x) = 10?
(c) y(x) = a5 + 5a3 x2 − x3
(d) y(x) =
dla
dowolnych funkcji
różniczkowalnych f, g
zachodzi
(f + g)0 =
f 0 + g0
a jeśli c jest
stałą:
(c · f )0 = cf˙0
ax+b
a+b
(e) y(x) = (x − a)(x − b)
6. Iloczyn Twierdzenie 3. Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi, to ich iloczyn f · g
też jest różniczkowalny, a jego pochodna jest zadana wzorem f 0 · g + f · g 0 .
(a) Oblicz pochodne funkcji: x2 , (x − a)2 i x3 , przyjmując za znane jedynie Twierdzenie 3 i pochodne funkcji liniowych.
(b) ** Podaj wzór na pochodną xn i udowodnij go indukcyjnie.
7. Pochodne wielomianów - c.d. Oblicz pochodną y 0 dla funkcji y. Przyjmij, że znasz
już następujące pochodne: (x)0 = 1, (x2 )0 = 2x, (xn )0 = nxn−1 .
(a) y(x) =
ax+b
a+b
(b) y(x) = (x − a)(x − b)
(c) y(x) = (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3
(d) y(x) = (x sin α + cos α)(x cos α − sin α)
m
n
(e) y(x) = (1 + nx )(1 + mx )
(f) y(x) = (1 − x)(1 − x2 )2 (1 − x3 )3
(g) y(x) = (5 + 2x)10 (3 − 4x)20
8. Szybkość zmian 1. Długość promienia koła stale rośnie z szybkością 2cm/s. Z
jaką szybkością rośnie powierzchnia koła w momencie, gdy jego promień wynosi
R = 10cm?
2. Z jaką szybkością zmienia się powierzchnia prostokąta w momencie, gdy jego
boki mają długość x = 20m i y = 15m, jeżeli długość pierwszego boku maleje
z szybkością 1m/s, a długość drugiego rośnie z szybkością 2m/s.
3. *** Niech f (x) = x dla 0 ≤ x ≤ 2 i f (x) = 2x − 2 dla 2 ≤ x < +∞ oraz niech
S(x) oznacza pole obszaru ograniczonego krzywą y = f (x), osią OX i prostą
prostopadłą do osi OX w punkcie x (x ≥ 0). Podaj wzór funkcji S(x), znajdź
pochodną S 0 (x) i narysuj wykres funkcji y = S 0 (x).
2
dla
dowolnych funkcji
różniczkowalnych f, g
zachodzi
(f · g)0
=
f 0 g + f g0
a jeśli c jest
stałą:
(c · f )0 = cf˙0
(x)0
=
1,
(x2 )0 = 2x,
(x3 )0 = 3x2