Granica funkcji Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Granica funkcji
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Punkt skupienia zbioru
DEFINICJA Niech A ⊂ Rk będzie dowolnym zbiorem. Mówimy, że punkt p jest punktem skupienia zbioru A wtedy
i tylko wtedy, gdy w każdej kuli o środku w punkcie p istnieją elementy zbioru A różne od p.
UWAGA Punkt p może, lecz nie musi należeć do zbioru A.
TWIERDZENIE Punkt p jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg punktów (pn )
taki, że
1. pn ∈ A,
2. pn 6= p,
3. pn → p.
Definicja granicy funkcji w punkcie
(wg Heinego)
DEFINICJA Niech Df ⊂ R oraz f : Df → R i niech x0 będzie punktem skupienia zbioru Df .
Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów (xn )
takiego, że
1. xn ∈ Df ,
2. xn 6= x0 ,
3. xn → x0 ,
ciąg liczbowy f (xn ) jest zbieżny do liczby g.
Piszemy:
x→x
lim f (x) = g lub f (x) −→0 g.
x→x0
Definicja granicy funkcji w punkcie
(wg Cauchy’ego)
DEFINICJA Niech A ⊂ R oraz f : A → R i niech x0 będzie punktem skupienia zbioru A.
Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
^ _ ^
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g| < ε.
ε>0 δ>0 x∈A
Piszemy:
x→x
lim f (x) = g lub f (x) −→0 g.
x→x0
TWIERDZENIE Definicje granicy funkcji w punkcie wg Heinego i wg Cauchy’ego są równoważne.
Granice jednostronne funkcji w punkcie (H)
DEFINICJA Niech Df ⊂ R oraz f : Df → R i niech x0 będzie punktem skupienia zbioru Df .
Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego ciągu punktów (xn ) takiego, że
1. xn ∈ Df ,
2. xn < x0 (xn > x0 ),
3. xn → x0 ,
ciąg liczbowy f (xn ) jest zbieżny do g.
Piszemy:
x→x−
lim− f (x) = g lub f (x) −→0 g.
x→x0
x→x+
lim f (x) = g lub f (x) −→0 g
x→x+
0
Granice jednostronne funkcji w punkcie (C)
1
DEFINICJA Niech A ⊂ R oraz f : A → R i niech x0 będzie punktem skupienia zbioru A.
Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
^ _ ^
x0 − δ < x < x0 ⇒ |f (x) − g| < ε.
ε>0 δ>0 x∈A
^ _ ^
(x0 < x < x0 + δ) ⇒ |f (x) − g| < ε.
ε>0 δ>0 x∈A
Piszemy:
x→x−
lim− f (x) = g lub f (x) −→0 g.
x→x0
x→x+
lim+ f (x) = g lub f (x) −→0 g
x→x0
TWIERDZENIE Granica funkcji f w punkcie x0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne funkcji f w tym punkcie
i są sobie równe.
Granice niewłaściwe funkcji w punkcie (H)
DEFINICJA Niech Df ⊂ R oraz f : Df → R i niech x0 będzie punktem skupienia zbioru Df .
Mówimy, że granicą funkcji f w punkcie x0 jest +∞ (−∞) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów
(xn ) takiego, że
1. xn ∈ Df ,
2. xn 6= x0 ,
3. xn → x0 ,
ciąg liczbowy f (xn ) jest zbieżny do +∞ (−∞).
Piszemy:
x→x
lim f (x) = +∞ lub f (x) −→0 +∞.
x→x0
x→x
lim f (x) = −∞ lub f (x) −→0 −∞
x→x0
Granice niewłaściwe funkcji w punkcie (C)
DEFINICJA Niech A ⊂ R oraz f : A → R i niech x0 będzie punktem skupienia zbioru A.
Mówimy, że granicą funkcji f w punkcie x0 jest +∞ (−∞) wtedy i tylko wtedy, gdy
^ _ ^
0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > ε.
ε>0 δ>0 x∈A
^ _ ^
0 < |x − x0 | < δ ⇒ (f (x) < −ε).
ε>0 δ>0 x∈A
Piszemy:
x→x
lim f (x) = +∞ lub f (x) −→0 +∞.
x→x0
x→x
lim f (x) = −∞ lub f (x) −→0 −∞
x→x0
Definicja granicy funkcji w nieskończoności (H)
DEFINICJA Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w +∞ (−∞) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
punktów (xn ) takiego, że
1. xn ∈ Df ,
2. xn → +∞ (−∞),
ciąg liczbowy f (xn ) jest zbieżny do liczby g.
Piszemy:
x→+∞
lim f (x) = g lub f (x) −→ g.
x→+∞
x→−∞
lim f (x) = g lub f (x) −→ g
x→∞
Definicja granicy funkcji w nieskończoności (C)
2
DEFINICJA Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w +∞ (−∞) wtedy i tylko wtedy, gdy
^ _ ^
x > δ ⇒ |f (x) − g| < ε.
ε>0 δ>0 x∈A
^ _ ^
(x < −δ) ⇒ |f (x) − g| < ε.
ε>0 δ>0 x∈A
Piszemy:
x→+∞
lim f (x) = g lub f (x) −→ g.
x→+∞
x→−∞
lim f (x) = g lub f (x) −→ g
x→∞
Działania arytmetyczne na granicach funkcji w punkcie
DEFINICJA Otoczeniem punktu x0 o promieniu r U (x0 , r) nazywamy przedział otwarty (x0 − r, x0 + r). Sąsiedztwem punktu x0 o
promieniu r S(x0 , r) nazywamy otoczenie tego punktu z jego wyłączeniem, czyli sumę przedziałów (x0 − r, x0 ) ∪ (x0 , x0 + r).
TWIERDZENIE Niech dane będą dwie funkcje f : A → R i g : A → R oraz niech punkt x0 będzie punktem
skupienia zbioru A ⊂ R. Niech ponadto lim f (x) = g1 oraz lim g(x) = g2 .Wówczas
x→x0
x→x0
— lim (f (x) + g(x)) = g1 + g2
x→x0
— lim (f (x) − g(x)) = g1 − g2
x→x0
— lim (f (x)g(x)) = g1 g2
x→x0
— jeżeli ponadto g(x) 6= 0 w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz g2 6= 0, to lim
x→x0
f (x)
g1
= .
g(x)
g2
Twierdzenie o trzech granicach.
TWIERDZENIE Załóżmy, że A ⊂ R i niech x0 jest punktem skupienia zbioru A. Niech f : A → R, g : A → R,
h : A → R będą funkcjami takimi, że
(i) lim f (x) = lim h(x) = a,
x→x0
x→x0
(ii) f (x) 6 g(x) 6 h(x), w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Wtedy lim g(x) = a.
x→x0
Ważne granice
—
—
—
—
sin x
lim
=1
x→0 x
1
lim (1 + )x = e
x→+∞
x
1
lim (1 + )x = e
x→−∞
x
1
lim (1 + x) x = e
x→0
3