1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Ciąg geometryczny.

Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
1.1.
Ciąg geometryczny.
Definicja
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy o co najmniej trzech
wyrazach, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje w wyniku
pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu.
Wówczas, jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to dla każdej
liczby naturalnej n  0 zachodzi równość an 1  a n  q .
Łatwo zauważyć, że znak ilorazu oraz jego wartość mają wpływ na
monotoniczność ciągu:

q  0 ciąg naprzemienny (nie można określić monotoniczności)

q  0,1 ciąg jest rosnący jeżeli ma wyrazy ujemne, jeżeli jest dodatni to
oczywiście malejący.

q  1 ciąg rosnący gdy dodatni, jeżeli ujemny to malejący.

q  1 ciąg stały
Należy pamiętać, że powyższa równość po małej modyfikacji jest często
wykorzystywana w zadaniach np. do sprawdzania czy ciąg jest geometryczny, a
także jest wykorzystywana do sformułowania własności ciągu geometrycznego:
Jeżeli ciąg jest geometryczny to każde dwa sąsiadujące ze sobą wyrazy ciągu
mają stały iloraz, czyli:
q
an 1
dla dowolnego n.
an
Z tej równości wynika własność:
Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny.
Robert Malenkowski
an 1
a
 n
an
an 1
czyli
an 2  an1  an1
Twierdzenie
Wzór ogólny ciągu geometrycznego a n  o wyrazie pierwszym a1 i ilorazie q
n 1
ma postać an  a1  q .
Wzór ten powstaje w następujący sposób:
a2  a1  q
a3  a2  q  a1  q  q  a1  q 2
a4  a3  q  a1  q 2  q  a1  q 3
a5  a4  q  a1  q 3  q  a1  q 4

an  an 1  q  a1  q n  2  q  a1  q n 1
Zadanie 1
Znajdź wzór ogólny rosnącego ciągu geometrycznego
a2  2, a6  32 .
Rozwiązanie
n 1
Wzór ogólny ma postać an  a1  q .
an 
mając dane:
Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny.
Robert Malenkowski
Aby go utworzyć potrzebujemy a1 i q . Są to dwie niewiadome i dlatego mamy
dane wartości dwóch wyrazów ciągu. Tworzymy więc dwa równania, aby
znaleźć te dwie niewiadome a1 i q .
a 2  2

a6  32
a1  q  2

5
a1  q  32
a1  q  2

5
a1  q  32
a1  q  2

4
a1  q  q  32
a1  q  2
a1  q  2
a1  q  2

stąd 
lub 
4
q  2
q  2
2  q  32
ostatecznie mamy:
a1  1
a1  1

lub 
drugie rozwiązanie generuje ciąg naprzemienny więc
q  2
q  2
a1  1
zgodnie z treścią zadania odrzucamy je i przyjmujemy jedynie: 
.
q  2
Mając a1 oraz q i teraz można już napisać wzór ogólny ciągu:
an  a1  q n 1  1  2 n  2 n
n
Odp: Szukany wzór to an  2 .
Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny.
Robert Malenkowski
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Ciągiem geometrycznym
an 
jest ciąg, którego kolejnymi wyrazami są
liczby:
1
a. 2,1,2
b. log 5 5,5,8
c.  3,6,12
5
d. log 2 4, log 2 2 ,8
2. Jakie liczby należy wstawić między 3 i 24 , aby wraz z danymi liczbami
tworzyły ciąg geometryczny
a.
b.
c.
d.
11 i 19
10 i 17
6 i 12
6 i 18
3. Liczby log 3 9,2 log 2 8,6 log 1 27 są kolejnymi początkowymi wyrazami
3
ciągu arytmetycznego a n  . Iloraz q jest równy:
a.
b.
c.
d.
–3
–1
2
3
n
4. Ciąg arytmetyczny a n  jest określony wzorem an  2   3 . Iloraz q
tego ciągu jest równy:
a. 6
b. 3
c. 1
d.  3
5. Trzy kolejne liczby x  2, x  2,3 x  2 są kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego, jeżeli:
a. x=0 lub x=2
Zajęcia nr 53 (LM4). – Ciąg geometryczny.
Robert Malenkowski
b. x=0 lub x=6
c. x=0 lub x=5
d. x=2 lub x=6