ALGEBRA - LISTA 3

ALGEBRA - LISTA 3
FORMY LINIOWE, DWULINIOWE I KWADRATOWE
1. Które z poniższych odwzorowań sa, funkcjonalami liniowymi?
C3 3 (x, y, z) 7→ x − z ∈ C; R2 3 (x1 , x2 ) 7→ x1 x2 ∈ R; R3 [x] 3 w 7→ w(1) ∈ R;
Z 1
f (t)g 2 (t)dt ∈ R, gdzie g ∈ C([0, 1]) jest ustalona.
C([0, 1]) 3 f 7→
0
2. Znaleźć baze, sprzeżon
a, z baza, B = {(5, 3), (7, 4)} przestrzeni R2 .
,
3. Niech T ∈ L(V, W ), V, W - przestrzenie skończonego wymiaru. Uzasadnić, że jeśli A jest
macierza, przeksztalcenia T w ustalonych bazach przestrzeni V i W , to AT jest macierza, przeksztalcenia sprzeżonego
w bazach dualnych przestrzeni V ∗ i W ∗ .
,
4. Które z wymienionych odwzorowań sa, formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:
a) f (x, y) = xT · y, x, y ∈ Kn ;
b) f (A, B) = tr(AB), A, B ∈ Mn (K);
c) f (u, v) = Re(uv), u, v ∈ C, C − przestrzeń nad R;
Rb
d) f (u, v) = a uvdt, u, v ∈ C([a, b]);
Rb
e) f (u, v) = a (u + v)2 dt, u, v ∈ C([a, b]).
5. W przestrzeniach skończenie wymiarowych z zadania 4 wyznaczyć macierz odpowiedniej
formy dwuliniowej w bazie standardowej danej przestrzeni.
6. Wyznaczyć macierz A0 formy dwuliniowej f w nowej bazie {~v01 , ~v20 , ~v30 }, jeśli podana jest jej
macierz A w starej bazie i wzory przejścia od bazy starej do nowej:


~v10 = ~v1 − ~v2
1 2 3
~v20 = ~v1 + ~v3
.
A= 4 5 6 ,
~v30 = ~v1 + ~v2 + ~v3
7 8 9
7. A jest macierza, formy dwuliniowej f w pewnej bazie. Obliczyć f (x, y), jeśli


1 −1 1
A =  −2 −1 3  , x = (1, 0, 3), y = (−1, 2, −4) .
0
4 5
8. Niech g bedzie
forma, dwuliniowa, o macierzy G w pewnej bazie przestrzeni V , L - operatorem
,
liniowym w V o macierzy A. Wyznaczyć macierz formy dwuliniowej f (u, v) = g(u, Lv) w
zadanej bazie, jeśli




1 −1
0
−1
1 1
0 −2  , A =  −3 −4 2  .
G= 2
3
4
5
1 −2 3
9. Rozlożyć forme, dwuliniowa, f (x, y) = x1 y1 −3x1 y2 −5x2 y1 +x2 y2 na sume, formy symetrycznej
i antysymetrycznej. Jak można to zrobić dla dowolnej formy dwuliniowej?
10. Znaleźć forme, biegunowa, formy kwadratowej:
a) q(x) = x21 − 4x1 x2 − 4x22 ,
b) q(x) = x21 − 4x1 x2 + 4x1 x3 − 4x23 .
11. Sprowadzić do postaci kanonicznej metoda, Lagrange’a forme, kwadratowa, q dana, w bazie
standardowej przestrzeni R3 lub R4 i znaleźć baze, kanoniczna, tej formy. Zbadać rzad
, formy i
jej określoność:
a) q(x) = x21 + 3x22 + 4x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 6x2 x3 ,
b) q(x) = 2x21 + 17x22 + 17x23 + 8x1 x2 + 8x1 x3 − 2x2 x3 ,
c) q(x) = 2x21 + 5x22 + 11x23 + 2x1 x2 + 8x1 x3 + 6x2 x3 ,
d) q(x) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x4 .
12. Znaleźć postać kanoniczna, formy kwadratowej q określonej na przestrzeni Kn i majacej
w
,
pewnej bazie tej przestrzeni postać
n X
n
X
ai aj x i x j ,
i=1 j=1
gdzie ak 6= 0 przy pewnym k ∈ {1, . . . , n}.
13. Metoda, Jacobiego znaleźć forme, kanoniczna, i baze, kanoniczna, formy kwadratowej q
określonej na przestrzeni R3 w bazie standardowej wzorem:
a) q(x) = x21 + 5x22 + 11x23 + 4x1 x2 + 6x1 x3 + 14x2 x3 ,
b) q(x) = 6x21 + x22 + 6x1 x2 + 10x1 x3 + 8x2 x3 .
14. Korzystajac
, z kryterium Sylvestera, zbadać, czy dana forma kwadratowa na przestrzeni
3
R jest dodatnio określona:
a) q(x) = x21 + 3x22 + 7x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 ,
b) q(x) = 5x21 + x22 + 8x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 6x2 x3 .
15. Znaleźć te wartości parametru λ, dla których forma kwadratowa:
a) q(x) = 5x21 + x22 + λx23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 ,
b) q(x) = 2x21 + x22 + 3x23 + 2λx1 x2 + 2x1 x3
jest dodatnio określona.
Jakie sa, sygnatury powyższych form w zależności od parametru λ?
2