Y t

Wykład 1
Podstawy automatyki i robotyki
Interdyscyplinarnosć AiR
• matematyka (algebra, statystyka, równania różniczkowe, analiza funkcjonalna)
• fizyka (mechanika, dynamika, termodynamika, elektronika, optyka)
• informatyka (teoria algorytmów, bazy danych, sieci komputerowe)
Poj˛ecie obiektu i jego prezentacja graficzna
z (t )
u (t )
OBIEKT
y (t )
y(t) ≈ F(u(t − τ )), gdzie τ ∈ [0, ∞)
Przykłady i interpretacje
• termometr lekarski
• działo wojskowe
• źrenica oka
• kocioł C.O.
• zbiornik z ciecza˛
• testowanie nowego leku
• prognozowanie cen indeksów giełdowych
• automatyczne rozpoznawanie (klasyfikacja)
Układ automatycznej regulacji
u(t )
MODEL
OBIEKTU
y(t )
-
yzad
ε (t )
A
Przykład. Sterowanie r˛eczne napełnianiem zbiornika
u(t)
e(t)
Yo(t)
Y(t)
p
Y0
e(t )
+
_
Y (t )
człowiek
u (t )
zbiornik
Y (t )
Przykładowe kryteria oceny jakości sterowania
• uchyb w stanie ustalonym εust
εust , lim |ε(t)|
t→∞
• czas regulacji tr
minimalne tr , takie że dla t > tr zachodzi |ε(t) − εust| 6 δ,
np. δ = 5% |ε(0) − εust|
• przeregulowanie κ
¯ ¯
¯ ε2 ¯
κ = ¯¯ ¯¯ · 100 %
ε1
• kryterium całkowe ISE
Z T
ε2(t)dt,
ISE =
0
Integrated Square Error;
Etapy tworzenia systemu automatycznego sterowania
1. eksperyment na obiekcie
2. akwizycja i przetwarzanie otrzymanych danych pomiarowych
3. modelowanie i identyfikacja modelu matematycznego obiektu
4. sformułowanie i rozwiazanie
˛
problemu sterowania obiektem (procesem)
5. rozwiazanie
˛
problemu sterowania optymalnego
6. praktyczna realizacja układu (algorytmu) sterowania i/lub regulacji
Metody opisu liniowego układu dynamicznego
z czasem ciagłym
˛
• liniowe równanie różniczkowe rz˛edu m, (zakładamy że: am 6= 0,
l 6 m, dodatkowo u(t) = 0 dla t < 0)
dmy(t)
dm−1y(t)
dy(t)
am
+ a0y(t) =
+ am−1
+ ... + a1
m
m−1
dt
dt
dt
dl u(t)
dl−1u(t)
du(t)
+ b0u(t)
+ bl−1
+ ... + b1
= bl
l
l−1
dt
dt
dt
z warunkiem poczatkowym
˛
(razem m liczb)
y(0−),
dy(t)
/t=(0−),
dt
...
,
dm−1y(t)
/t=(0−)
m−1
dt
Przykład równania rz˛edu m = 1 i odp. warunku poczatkowego
˛
3y 0(t) + 2y(t) = 7u(t),
y(0−) = 10
• charakterystyka impulsowa k(t) (tzw. odpowiedź impulsowa), czyli
postać y(t) przy u(t) = δ(t) i zerowym WP
Przykład odpowiedzi skokowej
k(t) = e−t
Uwaga. Gdy WP rzeczywiście jest zerowy, wtedy sygnał wyjściowy jest
splotem wejścia i charakterystyki impulsowej
Z ∞
u(t − τ )k(τ )dτ
y(t) = u(t) ∗ k(t) =
0
Gdy tak nie jest, dochodzi składowa zależna od WP.
• charakterystyka skokowa λ(t) (tzw. odpowiedź skokowa), czyli postać
y(t) przy u(t) = 1(t) i zerowym WP
Przykład odpowiedzi skokowej
λ(t) = 3t
• transmitancja
K(s) = L{k(t)} =
Z ∞
0
l + ... + b s + b
b
s
1
0
k(t)e−stdt = l m
ams + ... + a1s + a0
Uwaga. Gdy warunek poczatkowy
˛
jest zerowy, wtedy Y (s) = K(s)U(s)
(tylko wtedy!!!).
• równanie stanu
½ 0
x (t) = Ax(t) + bu(t)
y(t) = cT x(t)
u(t), y(t) — wejscie i wyjście obiektu (skalarne)
x(t) — wektor stanu (kolumna, k elementów zmieniajacych
˛
si˛e w czasie)
A — macierz parametrów, kwadratowa k × k
b, c — wektory parametrów (kolumny k-elementowe)
Uwaga. K(s) = cT (sI − A)−1b
Układy wielowymiarowe (MIMO)
⎡
⎤
u1(t)
⎢ u2(t) ⎥
⎥,
u(t) = ⎢
⎣ ... ⎦
up(t)
⎡
(
0
⎤
y1(t)
⎢ y2(t) ⎥
⎥,
y(t) = ⎢
⎣ ... ⎦
yq (t)
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
A — macierz o wymiarach r × r
B — macierz o wymiarach r × p
C — macierz o wymiarach q × r
Macierz transmitancji
K(s) = C(sI − A)−1B
K(s) — macierz o wymiarach q × p
⎡
⎤
x1(t)
⎢ x2(t) ⎥
⎥
x(t) = ⎢
⎣ ... ⎦
xr (t)
⎡
K1,1(s)
⎢ K2,1(s)
K(s) = ⎢
⎣ ...
Kq,1(s)
Przy zerowych WP
K1,2(s)
K2,2(s)
...
...
Yi(s) =
Y(s) = K(s)U(s);
p
X
...
...
...
...
⎤
K1,p(s)
⎥
...
⎥.
⎦
...
Kq,p(s)
Ki,j (s)Uj (s);
i = 1, 2, ..., q,
j=1
gdzie
⎡
⎤
⎡
⎤
U1(s)
Y1(s)
⎢ U2(s) ⎥
⎢ Y2(s) ⎥
⎥ oraz Y(s) = ⎢
⎥
U(s) = ⎢
⎣ ...
⎦
⎦
⎣ ...
Up(s)
Yq (s)
˛ a˛ wpływ j-tego wejścia układu na i-te
Ki,j (s) — transmitancja, określajac
wyjście