Elementy geometrii różniczkowej – krzywe

Elementy geometrii różniczkowej – krzywe
Wszystkie zadanie zaczerpnięto z książki: Bogusław Gdowski, “Elementy geometrii różniczkowej
z zadaniami”, PWN, 1982.
1. Dane są trzy wektory stałe i niezerowe a, b i c takie, że a · b = 0, a · c = 0 i b · c = 0. Jaki
zbiór punktów określa hodograf funkcji
a) r(u) = a + b cos u + c sin (u) dla u ∈ [0, 2π)
b) r(u, v) = a cos (u) + b sin (u) + cv
dla u, v ∈ R
2. Dane są dwa wektory stałe i niekolinearne a i b. Znaleźć warunek, jaki muszą spełniać funkcje
α(t) i β(t), aby hodograf funkcji wektorowej r = α(t)a + β(t)b był położony na prostej
przechodzącej przez końce wektorów a i b.
3. Wykazać, że przedstawienia parametryczne
r(u) = [a cos (u), b sin (u)],
oraz
u ∈ (−π, π)
1 − t2
2t
r(u) = a
,b
,
1+2 1 + t2
t ∈ R,
gdzie a > 0 i b > 0 , są przedstawieniami parametrycznymi tej samej krzywej. Podać nazwę
tej krzywej oraz jej równania w postaci uwikłanej.
4. Wykazać, że krzywa określona równaniem
r = [au cos (u), au sin (u), bu2 ],
u ∈ R,
a 6= 0,
b 6= 0
leży na paraboloidzie obrotowej.
5. Wykazać, że krzywa określona równaniem
r = [a cosh (t), b sinh (t), ct],
u ∈ R,
a 6= 0,
b 6= 0,
c 6= 0,
leży na walcu hiperbolicznym.
6. Napisać równania parametryczne okręgu x2 + y 2 = a2 przyjmując za parametr t współczynnik
kierunkowy cięciwy okręgu przechodzącego przez punkt (−a, 0).
7. Napisać równania parametryczne okręgu x2 + y 2 − 2ax = 0 przyjmując jako parametr kąt ϕ
między prostą przechodzącą przez środek okręgu a osią OX.
8. Znaleźć długość łuku krzywej zawartego między danymi punktami:
a) y = 14 x2 − 12 ln x;
x1 = 1, x2 = 4;
b) x = 8at3 , y = 3a(2t2 − t4 );
t1 = 0, t2 =
c) x = cos3 (t), y = sin3 (t), z = cos(2t);
√
2;
t1 = 0, t2 = π2 ;
1
9. Znaleźć naturalne przedstawienie parametryczne następujących krzywych przyjmując s = 0
dla t = 0:
a) r = [3t, 4t],
t ≥ 0,
b) r = [t, a cosh ( at )],
t ≥ 0,
c) r = [cos3 (t), sin3 (t), cos (2t)],
t ∈ [0, π2 ].
10. Znaleźć równanie stycznej i normalnej do krzywej:
a) x = t3 − 2t, y = t2 + 1 w punkcie t = 1;
, 3a
);
b) x3 + y 3 − 3axy = 0, a 6= 0, w punkcie ( 3a
2
2
c) ρ = 2a cos (θ), a > 0, w punkcie θ = π4 .
11. Znaleźć równanie stycznej do asteroidy r = [a cos3 (t), a sin3 (t)] najbardziej oddalonej od
początku układu.
12. Znaleźć punkt wspólny krzywych:
a) x2 + y 2 = 8,
b) x2 + y 2 = 8x,
y 2 = 2x;
y 2 (2 − x) = x3
i kąty, pod jakimi krzywe te przecinają się w tych punktach.
13. Znaleźć równanie płaszczyzny normalnej do krzywej r = [2 cos(t), 2 sin(t), 4t] w punkcie t = 0.
14. Znaleźć równanie prostej stycznej i płaszczyzny normalnej do krzywej o równaniach x2 − 2z =
0, y 2 − 2z = 0 w punkcie P (2, 2, 2)
15. Znaleźć równanie płaszczyzny normalnej do krzywej o równanich x2 + y 2 − z 2 = 1,
z 2 = 1 w dowolnym punkcie tej krzywej.
x2 − y 2 −
16. Znaleźć krzywiznę krzywej:
a) y = ln x w punkcie (1, 0);
b) x3 + y 3 = 3axy w punkcie ( 23 a, 32 a).
17. Znaleźć krzywiznę w dowolnym punkcie krzywej:
a) y = sin(x);
b) y 2 = 2px;
c) x = t2 , y = t3 ;
d) x = a(t − sin(t)), y = a(1 − cos(t));
e) ρ = a(1 + cos(θ))
18. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej spirali stożkowej r = [t cos(t), −t sin(t), at] w punkcie t = 0.
2
19. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej krzywej r = [a cos(t), b sin(t), et ] w punkcie t = 0.
20. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej krzywej r = [cos3 (t), sin3 (t), cos(2t)] w dowolnym
punkcie tej krzywej.
21. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej krzywej powstałej z przekroju sfery x2 +y 2 +z 2 =
9 i walca hiperboloicznego x2 − y 2 = 3 w punkcie P(2,1,2) tej krzywej
22. Znaleźć równanie normalnej głównej i binormalnej krzywej:
a) r = [t, t2 , t3 ] w punkcie t = 1;
b) x = y 2 , x2 = z w punkcie P (1, 1, 1);
c) xy = z 2 , x2 + y 2 − z 2 = 1 w punkcie P (1, 1, 1).
3