2. Macierze

2. Macierze
Niech m, n ∈ N . Zbiór zawierający m ⋅ n liczb a ij ∈ R , gdzie i = 1,2, K , m ,
j = 1,2, K , n , zapisanych w postaci tablicy prostokątnej
 a11
a
 21
K

a m1
K a1n 
K a 2 n 
K K

K a mn 
nazywamy macierzą o wymiarach m × n (macierzą o m wierszach i n kolumnach. Liczby
a ij nazywamy elementami macierzy.
a12
a 22
K
am2
[ ][ ]
Macierz moŜna teŜ oznaczać: A , Am×n , a ij , aij
m×n
.
Macierz Am×n jest macierzą prostokątną o wymiarach m × n . JeŜeli m = n , to
piszemy An i mówimy, Ŝe A jest macierzą kwadratową stopnia n .
Przykład
Macierz
1 2 3
6 5 4 


jest macierzą prostokątną o wymiarach 2 × 3 . Macierz
1 0 2 
0 0 0 


4 0 3
jest macierzą kwadratową stopnia trzeciego.
Ciąg elementów
a i1 a i 2 K ain
nazywamy i-tym wierszem macierzy A ( i = 1,2, K , m ), natomiast ciąg elementów
a1 j
a2 j
M
a mj
nazywamy j-tą kolumną macierzy A ( j = 1,2, K , n ).
Macierz złoŜoną z jednej kolumny
 a11 
a 
A = Am×1 =  21 
 M 
 
a m1 
nazywamy wektorem kolumnowym, a macierz złoŜoną z jednego wiersza
A = A1×n = [a11 a12 K a1n ]
nazywamy wektorem wierszowym.
Macierze stanowią wygodny sposób zapisywania informacji statystycznych i
planistycznych.
Przykład
Planowanie zaopatrzenia materiałowo-technicznego w przedsiębiorstwie
przemysłowym opiera się na systemie planistycznym w postaci norm zuŜycia materiałów.
Przedsiębiorstwo wytwarza dwa wyroby gotowe W1 i W2 , do których wytworzenia zuŜywane
są surowce S1 , S 2 , S 3 . System norm przedstawia tablica
Norma zuŜycia na jednostkę
wyrobu gotowego
Surowiec
Jednostka
W1
W2
kg
1
3
S1
2
m
5
3
S2
l
4
1
S3
PowyŜszą tablicę moŜemy zapisać w postaci macierzy
1 3
N = 5 3
4 1
zwanej macierzą norm zuŜycia surowców przy produkcji wyrobów. Jest to macierz
prostokątna o wymiarach 3 × 2 .
Macierz, której wszystkie elementy są zerami, nazywamy macierzą zerową.
0 0 
0 0 0 
O2 = 
,
O2×3 = 

.
0 0 
0 0 0 
Macierz kwadratowa, w której a ij = 0 , gdy i ≠ j nazywamy macierzą diagonalną
(przekątniową).
1 0 0 0 
0 2 0 0 
.
D4 = 
0 0 0 0 


0 0 0 − 1
Macierz diagonalną, w której a ii = 1 dla i = 1,2, K , n , nazywamy macierzą
jednostkową.
1 0 0
I 3 = 0 1 0 .
0 0 1
Macierz, którą otrzymujemy z danej macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny,
z zachowaniem ich kolejności, nazywamy macierzą transponowaną (przestawioną) i
oznaczamy AT . Operację tworzenia macierzy transponowanej z danej macierzy nazywamy
transponowaniem.
1 3 
A=
,
2 4
1 2
AT = 
,
3 4
1
B T = 2
3
1 2 3
B=
,
6 5 4 
( )
ZauwaŜmy, Ŝe AT
T
6
5
4
= A . Ponadto
[a1
a2 K an ]
T
 a1 
a 
=  2.
M
 
a n 
JeŜeli dla macierzy kwadratowej stopnia n, spełniony jest warunek A = AT , to macierz
A nazywamy macierzą symetryczną.
Macierz
 3 − 1
A=

− 1 4 
jest macierzą symetryczną stopnia drugiego.
Dodawanie macierzy.
Niech A = a ij i B = bij będą macierzami o wymiarze m × n . Macierz C = cij o wymiarze
[ ]
[ ]
[ ]
m × n , nazywamy sumą macierzy A i B , co zapisujemy C = A + B , jeŜeli
cij = a ij + bij
( i = 1,2, K , m , j = 1,2, K , n ).
Przykłady
3 − 2 5 1  8 − 1
2 4  + 2 − 3 = 4 1  ,

 
 

 2 − 1 2  − 1 2 − 1 1 1 1
− 1 2 − 1 +  2 − 1 2  = 1 1 1 .

 
 

MnoŜenie macierzy przez liczbę.
Niech A = a ij będzie macierzą o wymiarze m × n oraz λ ∈ R . Macierz B = bij o wymiarze
[ ]
[ ]
m × n , nazywamy iloczynem macierzy A przez liczbę λ , co zapisujemy B = λ ⋅ A , jeŜeli
bij = λ ⋅ a ij
( i = 1,2, K , m , j = 1,2, K , n ).
Przykład
 1 − 2  3 − 6
3 ⋅ − 1 1  = − 3 3  .
 2 − 1  6 − 3
Odejmowanie macierzy.
Niech A = a ij i B = bij będą macierzami o wymiarze m × n . Macierz C = cij o wymiarze
[ ]
[ ]
[ ]
m × n , nazywamy róŜnicą macierzy A i B , co zapisujemy C = A − B , jeŜeli
c ij = a ij − bij
( i = 1,2, K , m , j = 1,2, K , n ).
MoŜna zauwaŜyć, Ŝe
A − B = A + (−1) ⋅ B .
MnoŜenie macierzy.
Niech A = [a ik ] będzie macierzą o wymiarach m × p , a B = bkj macierzą o wymiarach
[ ]
[ ]
p × n . Macierz C = cij o wymiarze m × n , nazywamy iloczynem macierzy A i B , co
zapisujemy C = A ⋅ B , jeŜeli
c ij = a i1 ⋅ b1 j + a i 2 ⋅ b2 j + K + a ip ⋅ b pj
( i = 1,2, K , m , j = 1,2, K , n ).
Przykład
2 ⋅ (−1) + 0 ⋅ (−4)
2⋅3+ 0⋅6
2 ⋅1 + 0 ⋅ 0 
2 0 
 2⋅0 + 0⋅2
1 − 2 ⋅ 0 − 1 3 1 = 1⋅ 0 + (−2) ⋅ 2 1⋅ (−1) + (−2) ⋅ (−4) 1⋅ 3 + (−2) ⋅ 6 1⋅1 + (−2) ⋅ 0 =

 2 − 4 6 0 

 3 ⋅ 0 + (−1) ⋅ 2 3 ⋅ (−1) + (−1) ⋅ (−4) 3 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 6 3 ⋅1 + (−1) ⋅ 0
3 − 1 


 0 − 2 6 2

= −4
7 − 9 1 .

− 2 1
3 3
Uwaga
W powyŜszym przykładzie A = A3×2 , czyli m = 3 , p = 2 , B = B2×4 , czyli p = 2 ,
n = 4 . Wobec tego C = C 3×4 .
Iloczyn B ⋅ A jest nieokreślony.
Uwaga
JeŜeli A = An jest macierzą kwadratową stopnia n , to A ⋅ A = A 2 ,
A ⋅ A ⋅ A = A ⋅ A 2 = A 3 , ..., A ⋅ A k −1 = A k .
Operacje elementarne na macierzach
Na macierzy moŜna wykonywać następujące operacje elementarne:
1. pomnoŜenie wszystkich elementów dowolnego wiersza przez liczbę róŜną od zera,
2. zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy,
3. dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza elementów innego wiersza
pomnoŜonych przez dowolną liczbę róŜną od zera.
Macierze otrzymane z danej macierzy w wyniku operacji elementarnych nazywamy
macierzami równowaŜnymi.
Przykłady
1 3 
1 3 
2 2
⇔ 2 2


3 1  2 ⋅ w3
6 2
3 1 
 1 3  w3
 2 2
⇔ 2 2


3 1 w1
1 3
1 3 
1 3
2 2 w + 2 ⋅ w ⇔ 4 8
1

 2


3 1 
3 1
1 1 1 
1 1 1
2 3 4 w − w ⇔ 1 2 3

 2


1
Postać kanoniczna (bazowa) macierzy
Macierz postaci
 I
R 
k
 '

"
 O O 
gdzie I k - macierz jednostkowa stopnia k ,
O ' , O " - macierze zerowe,
R - macierz reszt (macierz resztowa),
jest zwana postacią kanoniczną lub postacią bazową danej macierzy.
KaŜdą macierz o wymiarach m × n moŜna za pomocą ciągu operacji elementarnych
sprowadzić do postaci kanonicznej.
Przykłady
1 3 
1 3 
1 3 
1 3 
2 2
⇔ 2 2  w2 − 2 ⋅ w1 ⇔ 0 − 4
⇔ 0 − 4 (−


3 1 w3 − 3 ⋅ w1
0 − 8
0 − 8 w3 − 2 ⋅ w2
0 0 
1
4
) ⋅ w2 ⇔
1 3 w1 − 3 ⋅ w2
1 0
⇔ 0 1
⇔ 0 1
0 0
0 0
⇔
I2 
O
 
1 1 1 
1 1 1  w1 − w2
1 0 − 1
⇔
⇔
 2 3 4 w − 2 ⋅ w
0 1 2 
0 1 2 

 2
1




⇔
[I
2
R
]