Działania na macierzach (autor mgr Elzbieta Barczak)

Rachunek macierzowy.
Macierzą nazywamy tablicę prostokątną, której elementy (liczby) są uporządkowane w
p wierszy i q kolumn, tzn.
[ ]
A= p Aq = aij =
a11
a 21
a12
a 22
... a1q
... a 2 q
...
a p1
...
a p2
... ...
... a pq
Macierz A i B są równe, co zapisujemy symbolicznie A = B, jeżeli odpowiadające sobie
elementy są równe, a więc, jeśli aij = bij dla wszystkich i oraz j.
Macierz uzyskaną przez usunięcie pewnej liczby wierszy bądź kolumn nazywa się
podmacierzą danej macierzy.
Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywa się macierzą zerową; oznaczamy ją
symbolem 0 lub p0q.
Jeżeli macierz ma tę samą liczbę wierszy i kolumn (p=q), nazywa się ją macierzą
kwadratową. Elementy macierzy kwadratowej znajdujące się na przekątnej głównej, a więc a11,
a22,…, app, nazywa się elementami diagonalnymi, a macierz kwadratową, której wszystkie
elementy, poza diagonalnymi, są zerami, nazywa się macierzą diagonalną; czyli
A=
a11
0
...
0
0
a 22
...
0
...
...
...
...
0
0
... a nn
Macierz diagonalna, której wszystkie elementy diagonalne są równe 1, nazywa się
macierzą jednostkową lub macierzą identyczności: oznaczamy ją symbolem I, czyli
1 0 0 0
I=
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Macierz kwadratową symetryczną względem głównej przekątnej, a więc taką której
elementy spełniają warunek aij = aji dla wszystkich i oraz j, nazywa się macierzą symetryczną; na
przykład
1 5 8
A= 5 3 1
8 3 2
Działania na macierzach.
1. Macierz C jest sumą macierzy A i B, co zapisujemy
C=A+B
cij = aij + bij
2. Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar) polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy
przez tę liczbę
bij = c * aij
3. Aby pomnożyć macierz A przez macierz B, pierwsza z nich musi mieć tyle kolumn ile druga
wierszy. Wtedy iloczyn
C = AB
q
cij = ∑ a ik bkj
k =1
Mnożenie macierzy nie jest przemienne; wynik zależy od tego, która macierz w iloczynie jest
zapisana jako pierwsza, a która jako druga, czyli na ogół
AC ≠ CA
Wyznacznik
Każdej macierzy kwadratowej B odpowiada liczba zwana wyznacznikiem, którą
oznaczmy symbolem B
Wyznacznik macierzy typu 2 x 2 jest równy:
B =
b11b12
b21b22
= b11b22 − b21b12
Wyznacznik trzeciego stopnia macierzy:
B = +b11b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21b32 − b31b22 b13 − b32 b23 b11 − b33 b21b12
Macierz odwrotna
W rachunku macierzowym występuje mnożenie przez tzw. macierz odwrotną.
Macierz A −1 spełniającą warunek
A −1 A = AA −1 = I
nazywamy macierzą odwrotną macierzy A.
Przykłady
2 3
A 3 2
4 5
B
4 5
6 7
1 3 2
C 4 0 1
0 2 1
D
2 3 2
1 0 3
Oblicz:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2 x A;
A + D;
A’ – 2D;
A x B;
B x A;
A x D;
D x A;
B-1;
C .