2. Szeregi Definicja 2.1 Szeregiem liczbowym będziemy nazywać

2. Szeregi
Definicja 2.1
Szeregiem liczbowym będziemy nazywać symbol
∞
X
(an ∈ R)
an
n=1
P
Często zamiast powyższego symbolu będziemy pisali an
Sumą częściową tego szeregu będziemy nazywali symbol
n
X
an = a1 + a2 + . . . + ak
k=1
P
Mówimy, że szereg an jest zbieżny, gdy istnieje granica ciągu sum częściowych.
Granice tą nazywamy sumą szeregu.
Definicja 2.2
Niech dane będą dwie sumy częściowe
Sn =
n
X
an
i Sm =
k=1
Mówimy, że szereg
P
m
X
więc Sn − Sm =
an
k=1
n
X
an
k=m+1
an spełnia warunek Cauchy’ego, jeśli
^
_
^
|Sn − Sm | < ε
ε>0 p∈N n,m>p
Twierdzenie 2.1
P
Szereg an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego
Twierdzenie 2.2
P
Jeśli szereg an jest zbieżny, to
lim an = 0
n→∞
Dowód:
P
Zbieżność szeregu an oznacza, że istnieje granica ciągu sum częściowych
lim Sn = S
n→∞
gdzie
n
X
an
ponadto
k=1
lim Sn−1 = S
n→∞
Ponieważ zaś an = Sn − Sn−1 dla k > 1, to
lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0
n→∞
n→∞
n→∞
Twierdzenie 2.3 Jeśli zbieżny jest szereg
P
n→∞
|an |, to zbieżny jest też szereg
P
an
Dowód:
Ponieważ szereg modułów jest zbieżny, to jest spełniony warunek Cauychy’ego
^
_
^
||am+1 | + . . . + |an || < ε
⇒
ε>0 p∈N n,m>p
^
_
^
|am+1 | + . . . + |an | < ε
ε>0 p∈N n,m>p
Ponieważ |a + b| < |a| + |b|, to
^
_
^
|am+1 | + . . . + |an | < ε
ε>0 p∈N n,m>p
skąd wynika, że szereg
⇒
^
_
^
ε>0 p∈N n,m>p
P
an jest zbieżny.
|am+1 + . . . + an | < ε
Uwaga 2.1
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Przykładem niech będzie zbieżny szereg
∞
X
(−1)n+1
n=1
1
n
Natomiast szereg utworzony z wartości bezwzględnych jest rozbieżny.
Twierdzenie 2.4 (kryterium porównawcze)
P
P
Niech dane będą dwa szeregi an oraz bn i niech 0 ¬ an ¬ bn . Wówczas jeśli
P
P
P
zbieżny jest szereg bn , to zbiezny jest też szerg an . Jeśli zaś szereg an jest
P
rozbieżny, to rozbieżny jest też szereg bn .
Dowód:
P
Ze zbieżności szeregu bn mamy
^
_
^
||bm+1 | + . . . + |bn || < ε
⇒
ε>0 p∈N n,m>p
^
_
^
0 ¬ bm+1 + . . . + bn < ε
ε>0 p∈N n,m>p
a korzystając z założenia twierdzenia mamy
^
_
^
0 ¬ am+1 + . . . + an ¬ bm+1 + . . . + bn < ε
ε>0 p∈N n,m>p
P
co oznacza zbieżność an .
Drugą część twierdzenia dowodzimy analogicznie.
Twierdzenie 2.5 (kryterium Cauchy’ego)
P
Niech dany będzie szereg an o wyrazach nieujemnych. Wtedy
jeśli
jeśli
lim
√
n
n→∞
lim
√
n
n→∞
∧
an = g
an = g
g < 1 to szereg
∧
g > 1 to szereg
P
P
an jest zbieżny
an jest rozbieżny
Dowód:
Zauważmy, że
√
| n an − g| < ε
⇔
g−ε<
√
n
an < g + ε
⇔
(g − ε)n < an < (g + ε)n
Wobec tego z istnienia granicy g mamy
^
_
^
√
| n an − g| < ε
⇔
ε>0 p∈N n>p
^
_
^
(g − ε)n < an < (g + ε)n
ε>0 p∈N n>p
Jeżeli g < 1, to istnieje takie ε > 0, że g + ε < 1. Wtedy szereg
∞
X
(g + ε)n
n=p+1
jest zbieżny jako szereg geometryczny, a ponieważ dla n > p mamy: 0 ¬ an ¬ (g+ε)n ,
P
to szereg an jest zbieżny.
Jeśli zaś g > 1, to istnieje takie ε > 0, że g −ε > 1. Wtedy ciąg (g −ε)n jest rozbieżny,
a ponieważ (g − ε)n < an dla n > p, to lim an 6= 0, a więc nie jest spełniony warunek
konieczny zbieżności szeregów.
Twierdzenie 2.6 (kryterium d’Alamberta)
P
Niech an > 0, oraz g = limn→∞ an+1 /an . Wtedy szereg an jest zbieżny, gdy g < 1
i rozbieżny, gdy g > 1
Dowód:
Z istnienia granicy g mamy
^
_
^ an+1
− g < ε
an
ε>0 p∈N n>p
⇔
^
_
^
g−ε<
ε>0 p∈N n>p
an+1
<g+ε
an
1◦ . Załóżmy, że g < 1. Można więc tak dobrać ε, aby g + ε < 1 i niech c = g + ε.
Wtedy dla n > p
an+1
<c
an
⇒
an+1 < an c
an+2
<c
an+1
⇒
an+2 < an+1 c < an c2
A więc szereg an+1 + an+2 + an+3 + . . . ma majorantę an c + an c2 + an c3 + . . . czyli
zachodzi
0 ¬ an+1 + an+2 + an+3 + . . . ¬ an c + an c2 + an c3 + . . .
P
I zgodnie z kryterium porównawczym oznacza to, że szereg an jest zbieżny.
2◦ . Załóżmy, że g > 1. Można więc tak dobrać ε, aby g − ε > 1. Wtedy dla n > p
an+1
>g−ε>1
an
⇒
an+1 > an
⇒
lim an 6= 0 bo an 6= 0
n→∞
czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.
Twierdzenie 2.7 (kryterium o zagęszczaniu)
Niech {an } będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych (an > an+1 , an ­ 0) i
P
niech bn = 2n a2n . Wówczas szereg an jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny
P
jest szereg bn .
Dowód:
Zauważmy najpierw, że
Sk (bn ) = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + . . . + 2k a2k
S2k (an ) = a1 + a2 + a3 + . . . + a2k
Wtedy dla sum częściowych Sk (bn ) i S2k (an ) prawdziwe są oszacowania:
S2k (an ) = a1 + . . . + a2k ¬ a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + . . .
. . . + (a2k + . . . + a2k+1 −1 ) ¬ a1 + . . . + 2k a2k = Sk (bn )
na mocy malenia wyrazów an , oraz
S2k (an ) = a1 + . . . + a2k = a1 + a2 + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) + . . .
. . . + (a2k−1 +1 + . . . + a2k ) ­ 21 a1 + a2 + 2a3 + . . . + 2k−1 a2k = 12 Sk (bn )
również na mocy malenia wyrazów an . Mamy zatem
1
0 ¬ Sk (bn ) ¬ S2k (an ) ¬ Sk (bn )
2
P
(∗)
Załóżmy zbieżność szeregu an . Wówczas ciąg sum częściowych tego szeregu jest
zbieżny, a więc także ograniczony. Stąd na mocy (∗) ograniczony jest też ciąg sum
P
częściowych szeregu bn , a ponieważ ciąg ten jest też monotoniczny, to jest zbieżny
P
co implikuje zbieżność szeregu bn .
Dowód w drugą stronę jest analogiczny.
Definicja 2.3
P
Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg (−1)n+1 an
Twierdzenie 2.8 (kryterium Leibnitza)
Jeśli w szeregu naprzemiennym ciąg modułów jest malejący
a1 > a2 > . . . > an > an+1 > . . .
(∗)
oraz lim an = 0, to szereg ten jest zbieżny, a suma częśiowa Sn różni się od sumy S
szeregu o mniej niż an+1 , to znaczy |Sn − S| < an+1
Dowód:
Z ciągu sum częściowych Sn wybierami dwa podciągi S2k , S2k−1 , k ∈ N . Z założenia
(∗) wynika, że oba te podciągi są monotoniczne i ograniczone (|a1 | > an > 0), czyli
są zbieżne, a ponieważ granica podciągu jest równa granicy ciągu, to oba podciągi
mają tą samą granicę S. Ponadto:
S2 < S4 < . . . < S2k < S < S2k−1 < . . . < S3 < S1
Jeśli n = 2k −1, to Sn −S < Sn −Sn+1 = an+1 . Jeśli n = 2k, to S −Sn < Sn+1 −Sn =
an+1
Tak więc w obu przypadkach |Sn − S| < an+1 , co wobec an → 0 oznacza, że Sn → S,
a więc szereg naprzemienny jest zbieżny.
Twierdzenie 2.9
P
Szereg n−a jest zbieżny, gdy a > 1 i rozbieżny, gdy a ¬ 1.
Dowód:
Jeśli a = 1, to dostajemy szereg harmoniczny, a więc zbieżny. Gdy a < 1, to n−a > 1
i nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.
Niech więc a > 1. Wtedy an = n−a jest ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych
i lim an = 0. Niech
1 n
n
n 1
bn = 2 a2n = 2 n a = a−1
(2 )
2
Wtedy szereg
P
bn jest szeregiem geometrycznym, zbieżnym, gdy
2−(a−1) < 1
⇔
2a−1 > 1
⇔
a−1>0
⇔
a>1
Ponieważ założyliśmy a > 1, to na mocy kryterium o zagęszczaniu wynika teza.
Copyright
c
Grzegorz Gierlasiński