Macierze i Wyznaczniki

MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
10 października 2014
Macierze i Wyznaczniki
Kilka wzorów i informacji pomocniczych:
Definicja. Iloczynem macierzy A = [aij ]m×n ,
[cij ]m×p określoną następująco:

w1 ◦ k1
 w2 ◦ k1

C = A · B =  ..
 .
w m ◦ k1
i macierzy B = [bij ]n×p nazywamy macierz C =
w1 ◦ k2
w2 ◦ k2
..
.

. . . w1 ◦ kr
. . . w2 ◦ kr 

..  ,
. 
wm ◦ k2 . . . wm ◦ kr
gdzie ◦ oznacza iloczyn skalarny wektorów, natomiast:
w1 , . . . , wm - wiersze macierzy A,
k1 , . . . , kr - kolumny macierzy B.
Oznacza to, że iloczyn macierzy A i B jest określony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy
A jest równa liczbie wierszy macierzy B, a element cij macierzy C jest iloczynem skalarnym i-tego
wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.
Definicja. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij ]n×n , o elementach rzeczywistych lub
zespolonych nazywamy funkcję, którą oznaczamy symbolem
det A lub |A| przyporządkowującą danej macierzy liczbę. Funkcja ta jest określona następująco:
• Jeśli n = 1, to det A = a11 .
• Jeśli n ≥ 2, to
det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)1+2 a12 det A12 + . . . + (−1)1+n a1n det A1n ,
gdzie Aij jest macierzą stopnia n − 1, otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza
i j-tej kolumny.
Skrócone metody obliczania pewnych wyznaczników
1 Reguła obliczania wyznaczników stopnia drugiego
a b
det
= ad − bc.
c d
2 Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego.


a b c
det d e f  = aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi.
g h i
1
MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
10 października 2014
Uwaga. Reguły te nie przenoszą się na wyznaczniki wyższych stopni.
Definicja. Niech A = [aij ] będzie macierzą kwadratową stopnia n ≥ 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę
dij = (−1)i+j det Aij ,
gdzie Aij jest macierzą stopnia n − 1 powstałą z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i jtej kolumny.
Twierdzenie.Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n ≥ 2, to
det A = a1j d1j + a2j d2j + . . . + anj dnj , j − ustalone, 1 ≤ j ≤ n
(rozwinięcie Laplace’a względem j-tej kolumny), lub
det A = ai1 di1 + ai2 di2 + . . . + ain din , i − ustalone, 1 ≤ i ≤ n
(rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza).
Własności wyznacznika
1) Jeśli wszystkie elementy jednego z wierszy macierzy A są równe 0, to det A = 0,
2) Jeśli w macierzy A dwa wiersze są proporcjonalne, to det A = 0,
3) Przestawienie w macierzy A dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika tej macierzy,
4) Jeśli do dowolnego wiersza macierzy A dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza
pomnożone przez dowolną liczbę, to wyznacznik tej macierzy nie ulegnie zmianie, np.:
5) det AB = det A · det B
oraz det (A + B) = det A + det B ,
6) det A = det AT ,
7) Pomnożenie przez α dowolnego wiersza macierzy powoduje pomnożenie przez α jej wyznacznika.
Uwaga. Powyższe własności pozostają prawdziwe także dla kolumn.
Macierz odwrotna
Definicja.Niech A będzie macierzą nieosobliwa stopnia n. Mówimy, że macierz B jest macierzą
odwrotną do A, jeśli
AB = BA = In .
Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy symbolem A−1 .
Niech D = [dij ]n×n oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy A. Wówczas macierz
odwrotna A−1 wyraża się wzorem:
T
d11 d12 . . . d1n
 d21 d22 . . . d2n 
1
1


·  ..
· DT .
=
..
..  =
det A  .
det A
.
. 
dn1 dn2 . . . dnn

A−1
2
MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
10 października 2014
Operacje elementarne:
• dowolny wiersz mnożymy przez liczbę różną od 0
• przestawiamy miejscami dwa dowolne wiersze
• do dowolnego wiersza dodajemy dowolną kombinację pozostałych wierszy
Definicja.Minorem stopnia k ∈ N macierzy A wymiaru m × n nazywamy wyznacznik powstały z
macierzy A przez wykreślenie m − k wierszy i n − k kolumn. Definicja. Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora, jaki można uzyskać z macierzy A. Rząd macierzy
oznaczamy R(A) (rz(A) lub rank (A)). Przyjmujemy, że jeśli A jest macierzą zerową, to R(A) = 0.
Macierz schodkowa
Definicja. Macierz schodkowa to macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe umieszcza się
jako ostatnie. Rząd macierzy jest wtedy liczbą znaczących wierszy tego układu, czyli liczba schodków.
Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych, w szczególności za pomocą tzw. metody Gaussa.
Zadania
1. Dane są
 macierze:
1 −1 0

5
3 2
A=
 −1 0 1
1 0
1
 2 −1 −1
D=
 0 −2 −3
1 2
3

2
0 ,
0


−2 0 1 3
B =  0 2 1 0 ,
2 3 1 3

C=


,

E=
−3 0 2
0 1 −1

F =

,
Wykonaj następujące działania (jeśli to możliwe):
(a) A + 2B
(b) 2A − C
T
(d) B · A
(e) A + B T
(g) AT · C 2
(h) C T · (A + B)
T
(j) F · F + D · A
2. Oblicz:


(a) 


(c) 
1
0
0
4
2
1
3
0
1
2
0
·
0
4
3
0
 
2
1 0


0   0 1
·
0   0 2
3
1 0
1
−1
5
1
−1
0
3
0
2
1
0

1
0 
,
0 
1
2
 1
(b) 
 0
0
1
(d)
1
3

.

(c) A · B
(f) A − 2DT
(i) E · C · B

1 2 3 ,

3 0
2 3 ,
4 1
 
0

0 
· 
2  
1
T 1 1
1
·
0 2
0
1
2
0
0
0
0
4
2
1
2
0
0
0
2
0
0
2 3
1 2

0
0 
,
1 
1
0
0
3
2
,
MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
3. Oblicz wartość wielomianu:
10 października 2014
1 2
(a) P (x) = x − 5x − 2 dla macierzy A =
,
3 4

1 −1 1
1 0 .
(b) P (x) = x2 − 2x + 1 dla macierzy A =  2
−1 2 3
2
4. Wykorzystując poznane metody oblicz następujące
−1 2 −2
−8
(a) (b)
cos x sin x 3 5 2 1 2 3 1 −1 2 0 2 3 1 (d) 0 6 1 (e) 0
0
3
1
2 −2 4 0 0 0 −2 8 −5 4 3
1 2 −1 0 2 −3 4 2
0 1 −2 2 (h) 2 −5 4 3
(g) 1 1 1 −2 −2 1 3 4
0 1 2
1 −2 1 3 4
1 3 2 1 4 8 5 3 −4
2 1 5 1 2 −1 2 2 0
(j) 3 4 1 0 1 (k) 0 6 7 2
2 1 1 5 2 9 6 1 −6
3 −1 1 −1 1 1 0 1 0
wyznaczniki: 1 2 3 (c) 4 5 0 6 7 0
0 1 1 1 1 1 3 4 (f) 2
1
6
10
3 1 0 12 2 −1 1 0
2 1
0 2 2 0
2 1 1 0
(i) 3
0 −1 2 3 2
2
0
3 5 −1
2 6 1 3 2 0 0 0 2 0 1 3 0 2 2 0 1 0 1 1 0 (l) 2
2
0
0
4
6
0 0 0 5 1 1 1 1
5 9 2 4 8 4 5. Rozwiązać w zbiorze liczb rzeczywistych
równania:
1
2
1
1
x 1
2 0
1
0
1 1 =0
(a) −1 x
(b) =0
5
3
2 1 1 x+1 1
−1 −2 −5 −x x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 x1 y1 z1 1 x y z 1 .
6. Wykazać, że x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = 2 2 2
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4 1 x 0 1
(c) 1 0 x
1 x 1
0
0
0
1
1
x 1
=
1 x
7. Znajdź macierz odwrotną do danej:
(a)
3 4
5 7
(b)
2 1
3 2




1 0 0
2 5
7



2 1 0
6 3
4 
(c)
(d)
1 1 2
5 −2 −3
4

0
 1
(e) 
 0
0
1
0
0
0
0
0
0
1

0
0 

1 
0
dr Krzysztof Żyjewski
MiBM; S-I 0 .inż.
10 października 2014
8. Rozwiązaćponiższe równania
macierzowe:
4 −3
1 0
2 1
−3 2
−2 4
(a) X +
=
(d)
·X ·
=
2 3
0 1
3 2
3 −1
 5 −3
0 2
3 4
2 9
(b)
·X =
(e) X +  0 2  = 3 · X
1 1
1 3
2 1 

1 0 0
1 2
3 5
2 −5
−16
−8
−5
(c)
·X =
(f)
X 1 1 0 =
3 4
5 9
−1 3
10
5
3
1 1 1
9. Oblicz rząd macierzy wskazując niezerowe
minory
maksymalnych stopni:



1 3 4
1
2 −6 −4
(a)
(b)  2 −1 0 
(c)  2
−3 9
6
−1
 4 2 8




2 3 −1 1
1 4
2 3
 4 2 0
5 





2 8
(d)
(e) 
(f) 1 1
0 4 −2 −3 
0 0
3 4
4 6 −2 2

3 5
2 1 
0 3

4
0 
4
10. Wykonując elementarne operacje na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć
ich rzędy.




1
2 −1
2 3 0 4
 −1 3
 1 −1 1 2 
0 


(a) 
(b) 
 2 −1 −7 
 5 0 4 −2 
−1 1 −4
 1 −1 2 2 


3 1 6 2 1
1 −3 2 1 2
 2 1 4 2 2 

(c)  2 1 −1 3 1 
(d) 
 3 1 3 1 3 
4 −5 3 5 5


 2 1 2 1 4 
1
2 3 4
1
2 3 4 5
 0

 0
1
2
3
1 2 3 4 



(e) 
(f)
 1
 −1 0 1 2 3 
2 0 1 
−1 −1 2 2
−2 −1 0 1 2
11. Sprowadzając
podane macierze

 do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:



3
1
2 −1 7
8
1
2
3
1
5
 0
1
0
2 1 



 0

4
7 1 2 
−1

2
2
1 8 
(c)
(a)
 3
 (b) 1


6
2
3 4 6
 0
1
1
5 4 
9
−1 −2 −3 5 −3

 −3 −1 −1 4 2

1 2 3 4
2 −30 0 30
60
 5 6 7 8 
 −3 45 0 −45 −90 


(d)
(e)
 9 10 11 12 
 5 −75 0 75 150 
13 14 15 16
4 −60 0 60 120
5
5
2
9
3

3 −4
2 2 

7 0 
1 −6
dr Krzysztof Żyjewski
MiBM; S-I 0 .inż.
12. W zależności od parametru p wyznaczyć rząd macierzy:





1 2 −1 1
1 p −1 2
p 1 −1
 5 1
2
1
(a) 2 −1 p 5  (b) 1 p 1  (c)
 4 −1 p
0
1 10 −6 1
−1 1 p
3 p
4 −1
Odpowiedzi:

10 października 2014



−1 − p −1 −1 −1


5
4−p 2
2 
 (d)


 −2
−1
0 −1 
1
0
0
1







3 0 0 3
4 2 0 0
2 4 6
1 3 5
 0 −7 6 0 
 5 4 0 0 







2. a) 
 0 −4 7 0  ; b)  0 0 16 6  ; c) 1 2 3 ; d) 1 2 3 .
3 6 9
1 4 7
7 0 0 7
0 0 8 3
a) -11; b) −2 sin x + 8 cos x; c) -6; d) 0;
e) -24;
f) 23;
4.
g) 0;
h) 0;
i) -30; j) 1060;
k) -112;
 l) 0.

1
0 0
7 −4
−1 21
;
c)  −2 1 0  ;
7. a)
;
b)
3 −1
−5 3
1
− 12 12
2




0 1 0 0
−17 29
1
 1 0 0 0 
1

d) 145
·  −2 29 −34  ;
e) 
 0 0 0 1 ;
27 −29 24
0 0 1 0
−3 3
2 3
−1 −1
8. a)
;
b)
;
c)
;
−2 −2
−1
0
2
3


0 1
13
8
1
2
0
3
f)
;
;
e)  0 1  ;
d)
2 1 1
−10 −5
1 12
9. a) 1;
b) 3;
c) 3;
d) 1;
e) 3;
f) 2.
10. a) 3;
b) 4;
c) 2;
d) 4;
e) 3;
f) 2.
11. a) 4;
b) 3;
c) 2;
d) 2;
e) 1.
6