32. Dwa ciała o masach m1 = 400 g i m2 = 600 g połączone linką o

WPPT; kier. Inż. Biom.; lista zad. nr 6 pt.: Rozwiązywanie zadań związanych z dynamiką ruchu obrotowego bryły sztywnej z wykorzystaniem zasady zachowania momentu pędu; pod koniec listy zadania do
samodzielnego rozwiązania. Lista ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej, nabycie
umiejętności rozwiązywania prostych zadań dotyczących dynamiki bryły sztywnej z wykorzystaniem zasady
zachowania momentu pędu i utrwalanie dotychczas zdobytej wiedzy fizycznej.
32. Dwa ciała o masach m1 = 400 g i m2 = 600 g połączone linką o znikomo małej masie i przewieszona
na jednorodnym krążku o masie M = 500 g i promieniu R = 12 cm. Krążek może obracać się bez tarcia
wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek, a linka po nim się nie ślizga. Obliczyć: a)
przyspieszenia klocków; b) naciągi linki.
33. Wyznaczyć wartość wypadkowego momentu sił działającego na podwójną
szpulkę względem jej osi (rys. po prawej stronie), jeśli r = 10 cm, R = 25 cm, nitki
są ciągnięte z siłami F1 = 12N, F2 = 9N, F3 = 10N, a kąt α = 45o.
34. Jednorodny walec o promieniu r i masie m stacza się bez poślizgu po równi
pochyłej o kącie nachylenia β i współczynniku tarcia µ. Oblicz przyspieszenie a
środka masy walca oraz jego prędkość V po przebyciu drogi s wzdłuż równi. Czy
i kiedy jest możliwy poślizg w takim ruchu?
35. Dziecko o masie 25 kg stojące obok kołowej karuzeli o masie 80 kg i promieniu 2 m obracającej się z
prędkością kątową 2 rad/s wchodzi na karuzelę. (a) Jak zmieni się jej prędkość kątowa? (b) Jeśli dziecko
zacznie wędrówkę do środka karuzeli, to ile wyniesie prędkość kątowa i energia kinetyczna karuzeli w
chwili, gdy znajdzie się na środku?
36. Student siedzi (rys. a) na osi nieruchomego obrotowego stolika trzymając
obracające się wokół pionowej osi (za którą trzyma oburącz) z prędkością
kątową ω1 koło rowerowe o momencie bezwładności I0. Moment
bezwładności studenta i stolika wynosi I. Wyznaczyć prędkość kątową ω2
ruchu obrotowego układu po: a) obróceniu przez studenta koła o kąt 180o
(rys. b) wokół poziomej osi, b) zahamowaniu koła przez studenta.
37. Cienki drewniany pręt o długości 1,5 m i masie 10 kg podwieszono pionowo za jego górny koniec.
W środek pręta uderza kula o masie 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością 500 m/s i grzęźnie w pręcie.
Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kuli. Dane jest przyspieszenie
ziemskie 10 m/s2. Ws-ka: Zastosować zasadę zachowania momentu pędu (ale nie pędu) do zderzenia kuli
z prętem.
38 A) Jeśli moment pędu ciała jest stały w czasie, to co bardzo ogólnego można powiedzieć o torze ruchu
tego ciała? B) Jedziesz rowerem1 bez trzymanki (patrz „popisy” kierowców w nagraniach wideo pt. Bez
trzymanki dostępne na stronie http://www.gazeta.tv/Wideo/0,130121.html). Aby skręcić w prawo/lewo
nieco przechylasz rower w prawo/lewo. Wyjaśnij dlaczego tak postępujesz?
W. Salejda
Wrocław, 2 XI 2015
1
Stabilność poruszającego się roweru jest problemem otwartym, tj. wciąż dyskutowanym; patrz między innymi: prezentacja pt. Fizyka jazdy na rowerze
(http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/fjnr.ppt); inna prezentacja dostępna w Internecie pt. Fizyka roweru (http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/fiz-row.ppt);
http://bicycle.tudelft.nl/stablebicycle/StableBicyclev34Revised.pdf, http://bicycle.tudelft.nl/schwab/Publications/schwab2013review.pdf;
http://en.wikipedia.org/wiki/Bicycle_and_motorcycle_dynamics; https://sites.google.com/site/bikephysics/english-version;
http://bicycle.tudelft.nl/schwab/; http://slideplayer.pl/user/84096/; http://socrates.berkeley.edu/~fajans/Teaching/MoreBikeFiles/JonesBikeBW.pdf.
1
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
W obliczeniach przyjąć g = 10 m/s2.
1. Układ mechaniczny tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy o długości L
połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok). Wyznaczyć moment
bezwładności tej bryły względem wskazanej na rysunku osi obrotu.
2. W chwili t = 0 wektor położenia cząstki o masie 0,01 kg wynosi r = 4i − 2j,
względem początku układu współrzędnych, a jej prędkość zależna od czasu t
2
wynosi −6t i. Wyznaczyć, względem początku układu współrzędnych, dla t>0: a) moment pędu cząstki w funkcji
czasu; b) działający na nią moment siły.
3. Słońce porusza się z prędkością liniową 250 km/s wokół środka Drogi Mlecznej (DM), od którego dzieli je
odległość 2,2·1020 m. Jaka jest prędkość kątowa Słońca? Ile lat trwa obrót Słońca wokół środka DM? Ile takich
obrotów wykonało Słońce, które istnieje około 4,5 mld lat?
4. Na poziomym stole leży szpulka nici. Z jakim przyspieszeniem a będzie się poruszać oś szpulki, jeśli ciągnąć ją siłą F? Pod jakim kątem ϕ należy ciągnąć nić, by
szpulka poruszała się w prawo? Szpulka toczy się bez poślizgu. Moment bezwładności
szpulki o masie m względem jej środka wynosi I. Ws-ka: Należy napisać równania
ruchów: Postępowego środka masy oraz obrotowego szpulki i stąd wyprowadzić wzór na
przyspieszenie a = F·(cosϕ − r/R)/(m + I/R2).
5. Pod sufitem wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się z sufitem:
kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M. Promienie: kuli, sfery, walca,
cienkiej obręczy i tarczy są równe R, a pręt ma długość R. Które z tych ciał ma względem osi obrotu
największy/najmniejszy moment bezwładności?
6. Do końców stalowego pręta o długości 1,2m i masie 6,4 kg przymocowano małe kulki o masach 1,06 kg. Pręt
obraca się z prędkością kątową ! = 39 obrotów/s w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez
jego środek. Pod wpływem tarcia zwalnia, aż do zatrzymania w czasie 32 s. Zakładając, że moment siły hamującej
był stały wyznaczyć: a) opóźnienie kątowe pręta; b) moment siły tarcia; c) energię mechaniczną straconą na tarcie;
d) liczbę obrotów pręta do zatrzymania się. Gdybyśmy nie przyjęli założenia o stałości momentu siły hamującej, to
którą z poprzednich wielkości można byłoby policzyć?
7. Jednorodny walec o masie 20 kg i promieniu 20 cm owinięto żyłką, do końca której przyłożono siłę F = 20N.
Walec toczy się (rys. obok po lewej stronie) po poziomej płaszczyźnie bez poślizgu. Ile
wynosi: a) przyspieszenie liniowe i kątowe walca względem jego środka masy; b)
kierunek i wartość siły tarcia działającej na walec; c) energia kinetyczna ruchu
obrotowego walca oraz jego całkowita energia kinetyczna po czasie 5 s (założyć, że
początkowo walec spoczywał).
8. Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec odwijającej się nici.
Z jakim przyspieszeniem a opada szpulka? Ws-ka: Należy napisać równania ruchu postępowego środka masy
walca oraz ruchu obrotowego walca.
9. Do końców stalowego pręta o długości 1,2 m i masie 6,4 kg przymocowano małe kulki o masach 1,06 kg. Pręt
obraca się z prędkością 39 obrotów/s w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jego
środek. Pod wpływem tarcia zwalnia i zatrzymuje po 32 s. Zakładając, że moment siły hamującej był stały
wyznaczyć: a) opóźnienie kątowe pręta; b) moment siły tarcia; c) energię mechaniczną straconą na tarcie; d) liczbę
obrotów pręta do zatrzymania się. Gdybyśmy nie przyjęli założenia o stałości momentu siły hamującej, to którą z
poprzednich wielkości można byłoby policzyć?
10. Krążek o promieniu 20 cm może się obracać się bez tarcia wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek.
Moment bezwładności krążka wg. tej osi wynosi 0,4 kg·m2. Na obwodzie krążka jest nawinięta nitka o znikomo
małej masie, na końcu której podwieszono ciało o masie 6 kg. Początkowo układ utrzymywano w spoczynku, a
potem pozwolono mu na ruch. W pewnej chwili energia kinetyczna ciała wyniosła 6 J. Ile wynosi w tej chwili
energia kinetyczna ruchu obrotowego krążka? Jaką drogę przebyło ciało?
2
11. Cztery masy są połączone ze sobą sztywnymi prętami o pomijalnej masie (patrz
rys. obok). Obliczyć moment bezwładności układu względem osi z (prostopadłej do
płaszczyzny xy i przechodzącej przez punkt O). Wyznaczyć energię kinetyczną ruchu
obrotowego, jeśli układ obraca się wokół osi z ze stałą prędkością kątową 6 rad/s.
12. Dwie masy: M i m są połączone prętem o długości l i znikomo małej masie.
Pokazać, że moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręta jest najmniejszy dla osi przechodzącej przez środek masy układu.
13. W układzie z rys. po lewej stronie m1 = 2 kg, m2 = 6 kg, promień krążka R
= 0,25m, jego masa mk=10kg, kąt ϑ=30o, współczynnik tarcia kinetycznego dla
masy m2 na równi µ =0,30. Zaniedbując masę sznurka, wyznaczyć przyspieszenie mas m1 i m2 oraz naciągi nici. Czy naciągi są takie same?
14. W układzie przedstawionym na rys. po prawej stronie m1 = 15kg, m2 = 19kg, promień krążka
R = 0,1m, jego masa mk = 3 kg, a h = 3m. Zaniedbując masę sznurka i tarcie, wyznaczyć
przyspieszenie i prędkość mas m1 i m2 oraz naciągi nici (czy są takie same?) w momencie, gdy
obie masy mijają się. Wskazówka: Skorzystać z zasad zachowania energii.
15. Jednorodna tarcza o promieniu R i masie M może się obracać wokół
punktu P (patrz rysunek po lewej stronie). Obliczyć prędkość środka masy
tarczy w najniższym punkcie toru. Wyznaczyć prędkość punktu A w
najniższym punkcie toru ruchu. Ws-ka: Wykorzystać zasadę zachowania energii. Powtórzyć
obliczenia dla obręczy.
16. Jak pokazano na rys. po lewej stronie, do koła o masie 10 kg i promieniu 0,3m
przyłożono poziomo stałą siłę o wartości 10N. Pod jej wpływem koło toczy się bez poślizgu po poziomym podłożu, przy czym przyspieszenie jego środka masy wynosi 0,6m/s2.
Jaka jest wartość, kierunek i zwrot działającej na koło siły tarcia?
17. Wyobraźmy sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce zacznie kurczyć się
stając się kulistym białym karłem o średnicy kuli Ziemi. Przyjmując niezmienność masy Słońca obliczyć jego okres
obrotu wokół własnej osi. Obecnie okres obrotu Słońca to 25 dób.
18. Osoba o masie 94 kg znajduje się na równiku. Ile wynosi jej moment pędu wg. środka Ziemi.
19. Biała myszka o masie m siedzi na skraju jednorodnego krążka o masie 10m, który może obracać się swobodnie
wokół swojej osi, jak karuzela. Początkowo mysz i krążek obracają się łącznie z prędkością kątową ω. W pewnej
chwili mysz zaczyna iść ku środkowi krążka i zatrzymuje się w połowie drogi. (a) Ile wynosi przy tym zmiana
prędkości kątowej układu mysz–krążek? (b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej układu po przemieszczeniu się
myszy do początkowej energii kinetycznej tego układu? (c) Dzięki czemu zmieniła się energia kinetyczna układu?
20. Dziewczynka o masie m1 stoi na brzegu karuzeli o promieniu R i momencie bezwładności I, która może
obracać się bez tarcia. Karuzela się nie obraca. W pewnej chwili dziewczynka rzuca poziomo z prędkością v
kamień o masie m2 pod kątem α względem promienia karuzeli. Ile wynosi po rzuceniu kamienia prędkość kątowa
karuzeli z dziewczynką?
21. Dziecko o masie m = 40 kg stoi na zewnątrz kołowej karuzeli o masie M = 80 kg i promieniu R = 2m
obracającej się z prędkością kątową 2 rad/s. Dziecko wchodzi na karuzelę. (a) Jak zmieni się jej prędkość kątowa?
(b) Dziecko rozpoczyna wędrówkę do środka karuzeli. Ile wynosi jej prędkość kątowa w chwili, gdy dziecko
znajduje się na środku? (c) Jak zmieni się energia kinetyczna układu, gdy dziecko przejdzie od brzegu do środka
karuzeli?
r
r
r
r
r
r
22. Na cząstkę o masie 2 kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r = 5i + 7 j działa siła F = 3i + 4 j .
Wyznacz wektor momentu tej siły względem początku układu współrzędnych.
23. Gdyby lody pokrywające bieguny Ziemi stopiły się całkowicie, a powstała z nich woda zasiliła oceany, to ich
głębokość zwiększyłaby się o 30m. Jaki miałoby to wpływ na ruch obrotowy Ziemi? Oszacuj związaną z tym
zmianę długości doby.
r
r
r
r
r
r
24. Cząstka o masie 2 kg znajdująca się w punkcie określonym wektorem r = 5i + 7 j ma prędkość v = 6i + 7 j .
Wyznacz wektor momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych
3
25. Pionowo ustawiony jednorodny pręt o długości l i masie M może się obracać
wokół osi P.Oblicz: (a) jego prędkość kątową i przyspieszenie kątowe; (b)
składowe: poziomą i pionową przyspieszenia całkowitego środka masy pręta; (c)
składowe siły, z jaką pręt działa na punkt P w chwili, gdy znajdzie się w położeniu
poziomym. Ws-ka: Wykorzystać zasadę zachowania energii mechanicznej.
Rozwiązanie poniżej:
26. Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół stałej osi będącej jego osią symetrii. Moment
bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi I, a jego energia kinetyczna Ek. Wyznacz
jego moment pędu.
27. Jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności I wirujące z
prędkością kątową ω a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej powierzchni?
Pionowy słup o wysokości h = 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię. Wiedząc, że
moment bezwładności słupa o masie m i długości l względem osi przechodzącej przez
jego koniec jest równy ml2/3, wyznacz liniową prędkość górnego końca słupa w
I, ω
F
chwili uderzenia o ziemię.
R
28. Koło napędowe o momencie bezwładności I i promieniu R wiruje z prędkością
T
kątową ω0. Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f. Z jaką siłą należy
przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła, aby zatrzymać je po upływie czasu t?
29. Dwa odważniki o masach m1 = 2kg, m2 = 1kg są połączone nicią przerzuconą przez krążek. Promień
krążka R = 0,1m, a jego masa m = 1kg. Obliczyć: a) przyspieszenie a z jakim poruszają się odważniki, b)
naciągi F1 i F2 nici, na których są zawieszone odważniki. Krążek uważać za jednorodny, a tarcie
pominąć.
30. Na jednorodnym krążku o masie M i promieniu R nawinięta jest nierozciągliwa linka, której jeden z
końców umocowany jest u sufitu. Oblicz przyspieszenie kątowe i liniowe środka ciężkości krążka oraz
naciąg linki, jeżeli w pewnej chwili krążek zaczął spadać swobodnie.
31. Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje z prędkością kątową ω w płaszczyźnie poziomej wokół
pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek gumy do
żucia o masie M i przykleja się do płyty w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi prędkość CD
bezpośrednio po przyklejeniu się gumy?
32. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w
wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się prędkość
obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu? Moment
bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.
33. Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec
odwijającej się nici. Z jakim przyspieszeniem a opada szpulka? Ws-ka: Należy napisać
równania ruchu postępowego środka masy walca oraz ruchu obrotowego walca.
0
W. Salejda
Wrocław, 2 XI 2015
4