Zapisz jako PDF

Wstęp
Z wszelkiego radzaju drganiami mamy doczyniania w życiu codziennym. Na przykład codziennie
korzystamy z prądu. Gdy pobieramy go z sieci miejskiej natężenie prądu zmienia się periodycznie z
czasem. Jadąc na wykład dowolnym środkiem lokomocji mamy doczynienia z drganiami związanymi z
amortyzatorami. Czasami mamy okazję dostrzec dziecko bujające się na huśtawce. Ruch huśtawki
jest też przykładem drgań. Dochodzą do naszego ucha różne dźwięki. Są one źródłem drgań błony
bębenkowej. Przykłady te możnaby powielać. Zwykle stykamy się z tzw. drganiami tłumionymi.
Jednak na początek naszych rozważań skupmy uwage na drganiach swobodnych. Co zatem kryje się
pod terminiem drgania swobodne?
Drganiami swobodnymi nazywamy periodyczną (okresową) w czasie zmianę stanu układu fizycznego,
tzn. układ ten powraca do tych samych parametrów opisujących jego stan, co możemy zapisać
następująco:
gdzie są parametrami opisującymi stan układu. Tymi parametrami mogą być różne wielkości
fizycznę, np. położenie układu, prędkość, przyśpieszenie, natężenie prądu elektrycznego, ciśnienie,
natężenie pola elektromagnetycznego, etc. Wielkość T nosi nazwę okresu. Odwrotność okresu
nazywamy częstotliwością:
.
Przykładami ruchów okresowych układów fizycznych są: ruch masy zawieszonej na sprężynie, ruch
wahadła matematycznego i fizycznego, drgania kamertonu i strun w instrumentach fizycznych,
drgania atomów i cząsteczek, zmiany napięcia, ładunku i natężenia w obwodach elektrycznych LC,
zmiany natężenia pola elektromagnetycznego.
Natomiast dowolny ruch chaotyczny, np. ruchy Browna, czy wszelkie postacie ruchu postępowego są
przykładami ruchu nie będącego ruchem drgającym.
Jakie warunki musi spełniać układ fizyczny (dla ustalenia uwagi skoncentrujmy sie na układzie
mechanicznym), żeby zachodziły w nim drgania swobodne? Warunki te są następujące:
istnieje położenie równowagi trwałej (tzn. istnieje minimum energii potencjalnej, a więc
istnieje siła zwrotna przywracająca stan równowagi),
układ ma bezwładność (dla układów mechanicznych jest to masa),
układ nie traci energii (nie ma żadnych sił oporu).
Zależność energii
potencjalnej od położenia.
Na rysunku Figure 1 pokazano przykład energii potencjalnej posiadającej dla punktu
minimum lokalne. Punkt
jest punkt równowagi trwałej. Z reguły rozpatrujemy tzw. małe drgania,
czyli taki ruch układu, że zmiana współrzędnej x jest niewielka w porównaniu z . W takim
przypadku energię potencjalną, U(x) możemy rozwinąć na szereg wokół położenia równowagi:
Drugi składnik wzoru jest równy zeru, ponieważ rozwijamy funkcję
wokół jej minimum.
Natomiast, ze względu na małe drgania pomijamy wyższe wyrazy w rozwinięciu. W takim przypadku
energię potencjalną możemy zapisać:
We wzorze tym wprowadziliśmy oznaczenie noszące nazwę stałej sprężystości:
W tym przybliżeniu zależność energii potencjalnej od odległości od położenia równowagi jest
kwadratowa. W takim przypadku mówimy o oscylatorze harmonicznym. Biorąc pod uwagę, że siła
jest równa:
otrzymujemy wyrażenie na siłę:
.
Taką postać siły nazywamy siłą harmoniczną. Siła harmoniczna jest proporcjonalna do wychylenia z
położenia równowagi, a jest zwrot jest skierowany do punktu równowagi.
Jeśli układ współrzędnych przyjmiemy tak, że
, to postać siły harmonicznej jest bardzo prosta:
.
Równanie ruchu ma wówczas postać:
gdzie m jest masą. Równanie to możemy przekształcić do formy:
Powyższe równanie jest równaniem jednorodnym, liniowym drugiego rzędu o stałych
współczynnikach. Rozwiązanie możemy łatwo odgadnąć. Poszukujemy bowiem funkcji
,
takiej, że dwukrotnie zróżniczkowana daje tę samą funkcję pomnożoną przez stałą ze znakiem
ujemnym. Warunek taki spełniają dwie funkcje trygonometryczne: sinus i cosinus. Ogólne
rozwiązanie będzie zatem kombinacją liniową obu funkcji:
Stałe A i B są stałymi całkowymi, które wyznaczamy z warunków początkowych, natomiast
nazwę częstości kołowej. Częstość ta wyraża się wzorem:
Przyjmijmy następujące warunki początkowe: położenie początkowe
początkową
nosi
oraz prędkość
. Uwzględniając te warunki łatwo wyznaczamy stałe:
Stąd pełne rozwiązanie oscylatora harmonicznego jest postaci:
Korzystając z tożsamości trygonometrycznych rozwiązanie to możemy zapisać w równoważny
następujący sposób:
gdzie
nosi nazwę fazy, fazy początkowej lub przesunięciem fazowym i wyraża się wzorem:
Na rysunku Figure 3 pokazano przykładowe zależności położenia i prędkości od czasu dla oscylatora
harmonicznego.
Położenie x(t) (kolor
niebieski) i prędkość v(t)
(kolor czerwony)
przykładowego oscylatora
harmonicznego.
Policzmy energię oscylatora harmonicznego. Przyjmijmy rozwiązanie postaci:
Prędkość wówczas wynosi:
Stąd łatwo możemy policzyć energię kinetyczną:
i energię potencjalną:
Energia całkowita jest stała i wynosi:
[Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 702x68]
Na rysunku Figure 3 pokazano dla rozważanego oscylatora zależność energii potencjalnej i
kinetycznej od czasu.
Warto zwrócić uwagę, że ruch harmoniczny można powiązać z ruchem po okręgu — taki wniosek
wyciągnął Galileusz w roku 1610 obserwując ruch księżyców Jowisza. Ruch harmoniczny jest
bowiem ruchem rzutu punktu poruszającego się po okręgu na średnicę okręgu po którym ten ruch
się odbywa.
Energia kinetyczna (kolor
niebieski) i energia
potencjalna (kolor
czerwony) przykładowego
oscylatora harmonicznego.
Teraz kilka przykładów układów fizycznych wykonujących ruch harmoniczny.
Przykład 1. Wahadło matematyczne.
Wahadło matematyczne.
Wahadło matematyczne składa się z punktu materialnego o masie m zawieszonego na nieważkiej nici
o długości L. Jeśli wahadło wychylimy z położenia równowagi o kąt (patrz rysunek Figure 4), to
spełnione jest równanie:
gdzie I jest momentem bezwładności,
przyśpieszeniem kątowym, M momentem siły, r —
ramieniem, a F — siłą. Zgodnie z rysunkiem Figure 4 równanie to możemy przekształcić do postaci:
Jeśli dalej założymy, że wychylenia z położenia równowagi (kąt ) są małe to wówczas
otrzymujemy na kąt wychylenia równanie oscylatora harmonicznego:
i
Pozostaje pytanie co to znaczy małe wychylenie. Na rysunku Figure 5 pokazano funkcję liniową (linia
różowa) oraz funkcję sin(x) (linia niebieska) w funkcji kąta, natomiast w poniżej tabeli zebrano
wartości obu tych funkcji.
Plik:Zależność funkcji
liniowej y=x i funkcji
y=sin(x).png
Zależność funkcji liniowej
i funkcji
.
Argumentem obu funkcji
jest kąt wychylenia
wahadła z położenia
równowagi.
Figure 6: Wartości funkcji sin(x).
stopnie radiany
sin(x)
1
0,017452 0,017453
2
0,034899 0,034907
3
0,052336 0,05236
4
0,069756 0,069813
5
0,087156 0,087266
6
0,104528 0,10472
7
0,121869 0,122173
8
0,139173 0,139626
9
0,156434 0,15708
10
0,173648 0,174533
11
0,190809 0,191986
12
0,207912 0,209439
13
0,224951 0,226893
14
0,241922 0,244346
15
0,258819 0,261799
16
0,275637 0,279252
17
0,292371 0,296706
18
0,309017 0,314159
19
0,325568 0,331612
20
0,34202 0,349066
Z rysunku oraz z powyższej tabeli wynika, że dla wychylenia o 10 stopni względny błąd przybliżenia
funkcji sinus jej argumentem jest na poziomie 0,5%.
Przykład 2. Wahadło fizyczne
Wahadło fizyczne
Na rysunku Figure 7 schematycznie pokazano wahadło fizyczne. W tym przypadku siła ciężkości
wahadła jest przyłożona w jego środku ciężkości, tj. w punkcie odległym o h od osi obrotu. Równanie
ruchu wahadła fizycznego jest bardzo podobne do równania ruchu wahadła matematycznego, tj.:
Zakładamy, że amplituda drgań jest mała, tzn. przyjmujemy:
równanie oscylatora harmonicznego:
Stąd częstość kołowa i okres drgań wahadła wynoszą odpowiednio:
i wówczas otrzymujemy
Przykład 3. Wahadło torsyjne.
Wahadło torsyjne
Dla wahadła torsyjnego (Figure 8) równanie ruchu ma postać:
Gdzie nosi nazwę momentu kierującego. Powyższe równanie jest równaniem oscylatora
harmonicznego z częstością kołową:
Przykład 4. Drgania w obwodzie LC.
Na rysunku Figure 9 przedstawiono obwód składający się z cewki o indukcyjności L i kondensatora o
pojemności C (tzw. obwód LC).
Schemat obwodu LC.
Dla takiego obwodu spełnione jest równanie:
gdzie: I jest natężeniem prądu płynącego w obwodzie, Q ładunkiem na kondensatorze, a SEM siłą
elektromotoryczną. Powyższy obwód jest obwodem idealnym bo pomijamy wszelkie opory
elektryczne. Ponadto: SEM=0, i w takim przypadku równanie na ładunek jest równaniem oscylatora
harmonicznego:
którego rozwiązaniem jest
, gdzie
.
Energia całkowita układu jest stała i wynosi
:
Wahadło matematyczne (proste).
Wróćmy do rozważań dotyczących wahadła matematycznego i zastanówmy się jaki jest okres drgań
wahadła, jeśli amplituda drgań nie jest mała, tzn. gdy nie jest spełniony warunek
zasady zachowania energii wynika:
.Z
Stąd otrzymujemy równanie:
gdzie:
Załóżmy, że maksymalne wychylenie wahadła z położenia równowagi wynosi
. Dla tego punktu
(tzw. punktu zwrotnego) zachodzi:
. Stąd otrzymujemy wyrażenie na okres
drgań (okres ten jest równy 4 razy czas potrzebny na pokonanie dystansu od położenia równowagi
do maksymalnego wychylenia):
Wprowadzając podstawienie
zupełną pierwszego rodzaju):
otrzymujemy następującą całkę (zwaną całką eliptyczną
Korzystając z tablic całek ostatecznie wyrażenie na okres drgań ma postać:
Widać, ze w tym przypadku okres drgań zależy od amplitudy drgań (rysunek No reference
identifier provided).
No reference identifier
provided Zależność
parametru C drgań
wahadła od amplitudy
drgań. (okres drgań:
)
Rezonans parametryczny wahadła matematycznego.
Pewnie wielu z nas miało okazję huśtać się na huśtawce. Na podstawie tego „doświadczenia” wiemy,
że istnieje możliwość rozbujania się poprzez wyciąganie i podciąganie nóg. Takie „zjawisko”
nazywamy rezonansem parametrycznym. Przeanalizujmy rezonans parametryczny na przykładzie
wahadła matematycznego pokazanego na rysunku Figure 10.
Wahadło matematyczne o
zmiennej długości.
Ruch wahadła odbywa się najpierw od punktu zwrotnego A (wychylenie o kąt ) do punktu B.
Podczas tego ruchu długość wahadła wynosi
. W punkcie równowagi zmienia się długość
wahadła z
na l (przejście z punktu B do punktu B’). Następnie wahadło porusza się do punktu
zwrotnego C (wychylenie o kąt ). Energia kinetyczna wahadła w punkcie B jest równa zmianie
energii potencjalnej z punktu A do punktu B:
Stąd kwadrat prędkości kątowej w punkcie B: .
W analogiczny sposób z zasady zachowania energii znajdujemy kwadrat prędkości kątowej w
punkcie B’:
. Dalej korzystamy z zasady zachowania momentu pędu gdy
wahadło przechodzi przez punkt równowagi
: gdzie I jest momentem bezwładności,
a prędkością kątową. Zasadę tę zapisujemy w postaci:
Do tego równania wstawiamy wyliczone wyżej prędkości kątowe i otrzymujemy równość:
Równość ta jest spełniona gdy
, a stąd korzystając z własności funkcji cosinus
otrzymujemy:
. A więc skracając długość wahadła w momencie przechodzenia przez punkt
równowagi zwiększyliśmy kąt wychylenia w punkcie zwrotnym. W ten sposób możemy rozbujać
huśtawkę zwiększając amplitudę drgań.
Oscylator anharmoniczny
Na początku tego rozdziału zajmowaliśmy się drganiami harmonicznymi, a więc ruchem układu
mechanicznego, którego energia potencjalna jest funkcją paraboliczną (kwadratową) wychylenia z
położenia równowagi. Zastanówmy się jak zmienia się ruch układu jeśli w rozwinięciu energii
potencjalnej wokół położenia równowagi uwzględnimy wyższe wyrazy, a więc gdy zależność energii
potencjalnej od położenia jest na przykład postaci:
Rozpatrujemy przypadek taki, że poprawka
jest bardzo mała, tzn. parametr s pomnożony
przez amplitudę drgań jest dużo mniejszy od jedynki —
. Siła wyraża się w takim przypadku
wzorem:
, a stąd otrzymujemy równania:
Ponieważ poprawka do energii potencjalnej jest mała, to poszukujemy rozwiązania postaci:
Zakładamy więc, że rozwiązanie składa się z rozwiązania oscylatora harmonicznego oraz poprawek:
wyrazu zawierającego wielokrotność częstości kołowej podstawowej oraz wyraz stały. Oba te wyrazy
powinny być małe, tzn.
,a
. Policzmy prędkość i przyśpieszenie, a następnie
podstawmy do równania ruchu:
Wykorzystując tożsamość trygonometryczną:
otrzymujemy:
Z porównania współczynników przy
wynika:
Natomiast z porównania współczynników przy
:
otrzymujemy:
.
Przyrównując wyraz stały do zera znajdujemy:
przyjętego przybliżenia jest następujące:
. „Pełne” rozwiązanie równania w ramach
Widzimy więc, ze poprawka do potencjału harmonicznego powoduje, że w rozwiązaniu pojawiają się
drgania z częstością kołową będącą wielokrotnością częstości podstawowej (tzw. wyższe
harmoniczne) oraz wyraz stały (następuje przesuniecie położenia równowagi).
Warto zwrócić uwagę, że w cząsteczkach (np. H2, CO2, etc.) jądra wykonują drgania, które w
przybliżeniu są drganiami harmonicznymi. Jednakże w przybliżeniu harmonicznym nie można
zrozumieć np. rozszerzalności (wydłużania się) długości wiązania (odległości miedzy jadrami
cząsteczki) ze wzrostem temperatury. To zjawisko można zrozumieć w przybliżeniu rozpatrywanym
wyżej oscylatora anharmonicznego. W rozwiązaniu pojawia się bowiem wyraz stały proporcjonalny
do kwadratu amplitudy drgań. Średnie położenie oscylatora harmonicznego (a więc np. średnia
długość wiązania w cząsteczce) zmienia się liniowo z temperaturą, co jest znanym faktem
eksperymentalnym:
Bardzo wiele zjawisk fizycznych z dobrym przybliżeniem można opisać za pomocą oscylatora
harmonicznego. Są jednak i takie zjawiska, jak opisane wyżej, że opis wymaga wyjścia poza to
przybliżenie.