Zagadnienia do egzaminu ustnego z algebry

Zagadnienia do egzaminu ustnego z algebry - ostateczne
1. Pojecie grupy i ciała. Ciała liczbowe.
2. Ciało liczb zespolonych. Działania. Sprzeżenie zespolone. Moduł i faza liczby zespolonej.
3. Reprezentacja geometryczna liczby zespolonej.Postać wykładnicza. Wzór
de Moivre’a. Pierwiastki liczby zespolonej.
4. Pierwiastki wielomianu zespolonego. Zasadnicze twierdzenie algebry.
5. Definicja permutacji. Składanie permutacji. Grupa permutacji. Związek z
grupami skończonymi.
6. Rozkład permutacji na cykle i transpozycje. Parzystość permutacji. Symbol
Leviego-Civity. Symbol Kroneckera.
7. Macierze. Mnożenie macierzy. Macierz jednostkowa, transponowana, sprzeżona po hermitowsku. Macierz symetryczna i hermitowska. Ślad macierzy.
Własności transponowania, sprzężenia hermitowskiego i śladu macierzy.
8. Wyznacznik macierzy. Własności wyznacznika. Rozwinięcie Laplace’a.
9. Odwrotność macierzy. Grupa macierzy. Przykłady grup macierzy.
10. Układy równań liniowych. Układ Cramera i wzory Cramera. Metoda eliminacji Gaussa.
11. Rząd macierzy. Twierdzenia Kroneckera-Capellego.
12. Definicja przestrzeni wektorowej. Kombinacja liniowa wektorów. Liniowa
niezależność wektorów. Baza przestrzeni wektorowej. Wymiar przestrzeni
wektorowej. Podprzestrzeń przestrzeni wektorowej. Powłoka liniowa.
13. Rozkład wektora w bazie. Współrzedne wektora. Zmiana bazy. Wzory transformacyjne współrzednych wektora przy zmianie bazy.
14. Operatory liniowe. Macierz operatora liniowego. Zmiana macierzy operatora
liniowego przy zmianie bazy. Jądro operatora liniowego. Obraz operatora
liniowego.
15. Problem własny operatora liniowego. Wartości własne i wektory własne.
Własności wektorów własnych. Postać macierzy operatora liniowego w bazie
wektorów własnych.
16. Formy liniowe i dwuliniowe. Forma metryczna. Iloczyn skalarny wektorów
i długość wektora. Geometria Euklidesa i Minkowskiego.