Wykład 3: Transformata Fouriera

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 3: Transformata Fouriera
Załóżmy, że f (t) jest określona na R, ograniczona, okresowa o okresie 2T i spełnia warunki
π
Dirichleta. Oznaczmy ∆ω = . Wtedy
T
f (t) =
∞
X
in∆ωt
cn e
n=−∞
T
∆ω Z
, gdzie cn =
f (t)e−in∆ωt dt.
2π
(1)
−T
Możemy zapisać to w postaci
f (t) =

∞
X
n=−∞
lub
 ∆ω

2π
ZT

f (s)e−in∆ωs ds ein∆ωt

−T
∞
1 X
f (t) =
F (n∆ω)∆ω,
2π n=−∞
gdzie
ZT
F (n∆ω) =
f (s)e−in∆ω(s−t) ds
−T
W granicy, przy T → ∞, a równoważnie ∆ω → 0+, tzn. gdy funkcja f (t) przestaje być
okresowa, zachodzi:
Twierdzenie całkowe Fouriera:
Dla dowolnego t
∞
Z∞
1 Z
dω
f (s)e−iω(s−t) ds
f (t) =
2π
−∞
−∞
przy założeniach, że:
• f (t) jest bezwzględnie całkowalna na R, czyli
R∞
|f (t)|dt < ∞
−∞
(tzn. całka ta jest zbieżna)
• f (t) spełnia warunki Dirichleta na dowolnym przedziale ograniczonym.
Inny zapis pokazuje analogię do (1):
f (t) =
Z∞
iωt
c(ω)e
−∞
∞
1 Z
dω, gdzie c(ω) =
f (s)e−iωs ds
2π
−∞
Stąd idea transformaty Fouriera.
1
Definicja.
Niech f (t) będzie funkcją określoną na R.
Transformatą Fouriera funkcji f (t) nazywamy funkcję zespoloną
fˆ(ω) =
Z∞
−iωt
f (t)e
−∞
dt =
Z∞
f (t) cos(ωt)dt − i
Z∞
f (t) sin(ωt)dt,
ω ∈ R.
−∞
−∞
Inne oznaczenie: fˆ(ω) = F(f (t))(ω).
Popularna interpretacja: t - czas (lub długość fali), ω - częstotliwość (lub liczba falowa))
fˆ(ω)- widmo (charakterystyka widmowa, gęstość widmowa) funkcji f (t),
|fˆ(ω)| - widmo amplitudowe,
θ(ω) = Arg(fˆ(ω)), argument główny z przedziału [−π, π] - widmo fazowe
Fakt.
Jeżeli f (t) jest bezwzględnie całkowalna na R, to transformata Fouriera funkcji f (t) jest
dobrze określona.
Wynika to z tego, że |f (t)e−iωt | = |f (t)|.
Uwaga.
• Jeżeli f (t) jest funkcją parzystą, to
fˆ(ω) = 2
Z∞
f (t) cos(ωt)dt.
0
• Jeżeli f (t) jest funkcją nieparzystą, to
fˆ(ω) = −2i
Z∞
0
Przykłady do zad. 2.1
2
f (t) sin(ωt)dt.
Podstawowe własności transformaty Fouriera:
Załóżmy, że f (t), g(t) są określone na R i bezwzględnie całkowalne na R
R∞
(1) |fˆ(ω)| ¬
|f (t)|dt < ∞,
−∞
zatem fˆ(ω) to funkcja ograniczona
(2) fˆ(ω) to funkcja ciągła (dowód wymaga zaawansowanych metod)
(3) liniowość
Dla dowolnych α, β ∈ R, dla h(t) = αf (t) + βg(t) mamy
ĥ(ω) = αfˆ(ω) + βĝ(ω)
Dowód: ∞
R
R∞
R∞
ĥ(ω) =
h(t)e−iωt dt = α
f (t)e−iωt dt + β
g(t)e−iωt dt = αfˆ(ω) + βĝ(ω)
−∞
−∞
−∞
(4) przesunięcie w czasie
Dla dowolnego a ∈ R, dla h(t) = f (t + a) mamy
ĥ(ω) = eiaω fˆ(ω)
Dowód:
ĥ(ω) =
R∞
−∞

s=t+a




ds=dt
 R∞
R∞

f (s)e−iω(s−a) ds = eiaω
f (s)e−iωs ds = eiaω fˆ(ω)
=
 −∞
−∞
f (t + a)e−iωt dt =
t
−∞
∞
s
−∞
∞
(5) modulacja
Dla dowolnego a ∈ R, dla h(t) = f (t)e−iat mamy
ĥ(ω) = fˆ(ω + a)
Dowód: ∞
R
R∞
ĥ(ω) = f (t)e−iat e−iωt dt =
f (s)e−i(ω+a)t ds = fˆ(ω + a)
−∞
−∞
(6) skalowanie
Dla dowolnego a 6= 0, dla h(t) = f (at) mamy
1 ˆ ω
ĥ(ω) =
f
|a|
a
Dowód: Dla a > 0 mamy
ĥ(ω) =
R∞




f (at)e−iωt dt =
−∞

s=at
ds=adt
t
−∞
∞
s
−∞
∞
 1 Z∞
1ˆ ω

−i ω
s
a
f (s)e
ds = f
=
 a
a
a
−∞
Dla a < 0 mamy
ĥ(ω) =
R∞
−∞

s=at



ds=adt

f (at)e−iωt dt =

t
−∞
∞
s
∞
−∞
Z
 1 −∞
1ˆ ω
1 ˆ ω

−i ω
s
a
f (s)e
ds = − f
=
f
=
 a
a
a
|a|
a
∞
Przykłady do zad. 2.2 (a)-(d)
3
(7) pochodna w spektrum
Jeżeli h(t) = tf (t) jest bezwzględnie całkowalna na R (tzn.
R∞
|tf (t)|dt < ∞),
−∞
d ˆ
0
to istnieje ciągła pochodna fˆ (ω) =
f (ω) oraz
dω
Z∞
0
fˆ (ω) =
f (t)(−it)e−iωt dt = −iĥ(ω)
−∞
Jeżeli hm (t) = tm f (t), m ∈ N, jest bezwzględnie całkowalna na R
R∞ m
dm ˆ
(tzn.
|t f (t)|dt < ∞), to istnieje ciągła pochodna fˆ(m) (ω) =
f (ω) oraz
dω m
−∞
ˆ(m)
f
Z∞
(ω) =
f (t)(−it)m e−iωt dt = (−i)m ĥm (ω)
−∞
(8) pochodna w czasie
d
0
Jeżeli f (t) = f (t) jest ciągła oraz bezwzględnie całkowalna na R
dt
R∞ 0
(tzn.
|f (t)|dt < ∞), to
−∞
fc0 (ω) = iω fˆ(ω)
dm
f (t), m ∈ N, jest ciągła oraz
dtm
∞
R
|f (r) (t)|dt < ∞ dla każdego 0 < r ¬ m, to
Jeżeli f (m) (t) =
−∞
(m) (ω) = (iω)m fˆ(ω)
fd
Przykłady do zad. 2.2 (e)-(g)
Tabela: Własności transformaty Fouriera
h(t)
liniowość
ĥ(ω)
Uwagi
αf (t) + βg(t) αfˆ(ω) + βĝ(ω)
przesunięcie w czasie
f (t + a)
eiaω fˆ(ω)
modulacja
f (t)e−iat
fˆ(ω + a)
1 ˆ ω
f
|a|
a
skalowanie
f (at)
splot
a 6= 0
fˆ(m) (ω)
m∈N
f (m) (t)
(iω)m fˆ(ω)
m∈N
(f ∗ g)(t)
fˆ(ω) · ĝ(ω)
pochodna w spektrum (−i)m tm f (t)
pochodna w czasie
4
Jednoznaczność przekształcenia Fouriera
Transformata Fouriera F : f (t) 7−→ fˆ(ω) to odwzorowanie z jednej rodziny funkcji w
drugą.
Twierdzenie.
• Jeżeli f (t), g(t) są bezwzględnie całkowalne na R
oraz f (t) = g(t) dla prawie wszystkich t
(tzn. zbiór {t : f (t) 6= g(t)} jest skończony albo nieskończony przeliczalny,
albo nieprzeliczalny o długości (mierze Lebesgue’a) 0, jak np. zbiór Cantora),
to fˆ(ω) = ĝ(ω) dla każdego ω.
• Na odwrót, jeżeli f (t), g(t) są bezwzględnie całkowalne na R oraz fˆ(ω) = ĝ(ω) dla
każdego ω, to f (t) = g(t) dla prawie wszystkich t.
Odwrotna transformata Fouriera.
Z twierdzenia całkowego Fouriera wynika, że jeżeli f (t) jest bezwzględnie całkowalna na R
i spełnia warunki Dirichleta na dowolnym odcinku ograniczonym, to dla dowolnego t
∞
1 Z ˆ
f (ω)eiωt dω.
f (t) =
2π
(2)
−∞
Po prawej stronie mamy tzw. odwrotną transformatę Fouriera funkcji fˆ(ω).
W ogólnym przypadku zachodzi
Twierdzenie.
Jeżeli f (t) i fˆ(ω) są bezwzględnie całkowalne na R, to równość (2) zachodzi dla prawie
wszystkich t.
Przykłady do zad. 2.3, 2.4
5
Splot funkcji:
Definicja.
Załóżmy, że f 2 (t), g 2 (t) są bezwzględnie całkowalne na R.
Definiujemy nową funkcję - splot funkcji f i g:
Z∞
def
h(t) = (f ∗ g)(t) =
f (s)g(t − s)ds.
−∞
Uwaga.
Przy podanych założeniach splot f ∗ g jest dobrze określony dla wszystkich t.
(W ogólnym przypadku wystarczy, że f (t), g(t) są bezwzględnie całkowalne na R, i wtedy splot
jest dobrze określony dla prawie wszystkich t.)
Własności splotu funkcji:
(1) przemienność f ∗ g = g ∗ f
Dowód:


t−s=u




R∞
(f ∗ g)(t) =
f (s)g(t − s)ds =


−∞


−ds=du
s
−∞
∞
u
∞
−∞


−∞

Z
 1
=
f (t − u)g(u)(−du) = (g ∗ f )(t)
 a

∞


(2) łączność f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
(3) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
(cf ) ∗ g = c(f ∗ g), c ∈ R
Twierdzenie.
Jeżeli f (t) i g(t) są bezwzględnie całkowalne na R, to h(t) = (f ∗ g)(t) jest bezwzględnie
całkowalna na R oraz
ĥ(ω) = fˆ(ω) · ĝ(ω)
Szkic dowodu:
Całkowalność h wynika z twierdzenia
Fubiniego.
!
ĥ(ω) =
R∞
R∞
f (s)g(t − s)ds e−iωt dt
∞
tw.Fubiniego R
=
−∞ −∞
=
R∞
−∞
f (s)e−iωs
−∞
R∞
!
g(u)e−iωu dt
ds = fˆ(ω) · ĝ(ω)
−∞
Przykłady do zad. 2.5, 2.6
6
f (s)
R∞
−∞
!
g(t − s)e−iωt dt ds =
„Funkcja” delta Diraca δ(t)
Definicja (nieformalna):
Delta Diraca δ(t) to „funkcja” spełniająca warunki:



0 dla t 6= 0

∞ dla t = 0
• δ(t) = 
•
R∞
δ(t)dt = 1
−∞
Paul Dirac wprowadził nieformalnie taki obiekt w mechanice kwantowej w 1928 r. Ścisłą
i poprawną definicję podała teoria dystrybucji w latach 40-tych i 50-tych XX wieku.
Intuicje: δ(t) reprezentuje nieskończenie wielki impuls pojawiający się w chwili t = 0 i
trwający nieskończenie krótko, przy czym efekt działania tego impulsu (mierzony całką
po całej prostej) jest jednostkowy.
Inna interpretacja: δ(t) reprezentuje masę jednostkową skupioną w punkcie 0.
Konstrukcja delty Diraca:
Bierzemy ciąg impulsów prostokątnych pn (t) =



0 dla |t| >

 n
2
R∞
dla |t| ¬
1
n
1
n
n 2
· = 1 dla każdego n.
2 n
−∞
Deltę Diraca definiujemy jako granicę δ(t) = lim pn (t).
Zauważmy, że
pn (t)dt =
Wtedy (nieformalnie) mamy
R∞
δ(t)dt = lim
n→∞
R∞
n→∞ −∞
−∞
pn (t)dt = 1.
50
pn(t)
n=1
n=2
n=10
n=100
n/2
pole=1
0
−1/n
0
1/n
0
0
7
Własności delty Diraca:
R∞
(1) Jeśli f (t) jest ciagła w punkcie t = 0, to
f (t)δ(t)dt = f (0).
−∞
(Jest to jedna z alternatywnych definicji delty Diraca.)
(2) f (t)δ(t − a) = f (a)δ(t − a) dla dowolnego a ∈ R
R∞
(3) Jeśli f (t) jest ciagła w punkcie t = a, to
f (t)δ(t − a)dt = f (a).
−∞
(4) f (t) ∗ δ(t − a) =
R∞
f (s)δ(t − a − s)ds = f (t − a)
−∞
(5)
Rt
δ(s − a)ds = χ(t − a),
−∞



0 dla t ¬ 0

1 dla t > 0
gdzie χ(t) = 
1
(funkcja Heavyside’a).
0
0
1
b
(6) δ(at + b) =
δ t+
|a|
a
!
funkcja Heavyside’a χ(t)
dla dowolnych a 6= 0, b ∈ R
Uwaga:
aδ(t), a ∈ R, to „funkcja” spełniająca warunki:
aδ(t) =





0 dla t 6= 0
R∞
oraz
∞ dla t = 0
aδ(t)dt = a.
−∞
Transformata Fouriera delty Diraca:
• Z własności (1) mamy δ̂(ω) = e−iω·0 ≡ 1.
1
n
(Zauważmy, że p̂n (ω) = 2
2
Zn
0
sin ωn
sin(ωt) t= n1
cos(ωt)dt = n
=
dla ω 6= 0, a p̂n (0) = 1
ω
t=0
ω
n
Stąd lim p̂n (ω) = 1 = δ̂(ω) dla każdego ω.)
n→∞
• Dla f (t) ≡ 1 mamy zatem fˆ(ω) = 2πδ(ω) (z transformaty odwrotnej).
8
Tabela: Transformaty Fouriera podstawowych funkcji
fˆ(ω)
f (t)





e−t dla t ­ 0




0 dla t < 0
1
1 + iω
2
1 + ω2
e−|t|
√
2
e−t


















πe−
ω2
4
1 dla |t| ¬ 1





2 sin(ω)
dla ω 6= 0
ω
0 dla |t| > 1




2
dla ω = 0
1 dla 0 ¬ t ¬ 1





−i(1 − e−iω )
dla ω 6= 0
ω
0 dla pozostałych t




1
dla ω = 0
1
2πδ(ω)
δ(t)
1
9