Wykład 2.14

D⊂
D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, ϕ( x) ≤ y ≤ ψ ( x)}
!
ϕ ψ
"
f
"
ϕ( x) ≤ ψ ( x)
[ a, b ]
x ∈ [ a , b] #
Fakt.
$
!
D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, ϕ( x) ≤ y ≤ ψ ( x)}
ψ( x)
b
f ( x, y ) dx dy =
D
dx
f ( x, y ) dy
ϕ( x )
a
( x 2 y + 4 xy + y 2 x) dx dy , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = 2 x , y = x 2 − 2 x .
Przykład 4. Obliczymy
D
D: 0 ≤ x ≤ 4 , x 2 − 2 x ≤ y ≤ 2 x
4
( x 2 y + 4 xy + xy 2 ) dx dy =
D
2x
0
4
( x 2 y + 4 xy + xy 2 ) dy =
dx
2
x −2x
[
1
2
x 2 y 2 + 2 xy 2 + 13 xy 3
]
y =2x
y = x2 − 2 x
dy =
0
4
(− 13 x 7 +
=
3
2
x6 − 4x5 +
40
3
x 4 ) dx =
16384
21
= 780,19 04 761
0
dx dy , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = 2x 2 , y = x 2 + 1 .
Przykład 5. Obliczymy
D
D: −1 ≤ x ≤ 1 , 2 x 2 ≤ y ≤ x 2 + 1
x2 +1
1
|D| =
dx dy =
D
−1
1
2 x2
[y ] yy == 2x x+1 dx =
1
2
dy =
dx
(1 − x 2 )dx =
2
−1
4
3
−1
#
%#
&
( x 2 + y )dxdy
"
D
"
A = (−1,2)
B = (2,−1)
C = (5,2) #
D
'#
&
( x − y )dxdy
"
D
"
A = (1,2)
B = (3,4) C = (5,2) #
D
1
(#
&
x
"
D
)#
&
y2
dxdy
D
D
(2 x + 3 y )dxdy
"
y=x
y= x
y =1− x
x=2
x=4#
y = −1 #
D
*#
&
"
2 ydxdy
D
y = cos( π2 x)
y
dxdy
x
D
y = ln x
x+ y =0
x − y =1#
D
+#
&
"
D
y =1
y = x x + y =1 #
Pier cie kołowy D : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4
∆ : 0 ≤ ϕ < 2π, 1 ≤ r ≤ 2
Fragment pier cienia kołowego D : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0 .
∆ : − π ≤ ϕ ≤ π, 1 ≤ r ≤ 2
Fragment pier cienia kołowego D : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9, y ≤ 0 .
∆ : π ≤ ϕ < 2π, 1 ≤ r ≤ 3
2
Fragment koła D : x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 1 .
∆ : − 13 π ≤ ϕ < 13 π,
1
≤r≤2
cos ϕ
Twierdzenie o zmianie zmiennych:
f ( x, y ) dx dy =
f [ x(u , v), y (u , v)] J (u , v) du dv
∆
D
Przypadek szczególny – w układzie biegunowym ( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ )
f ( x, y ) dx dy =
R2 − x2
R
Przykład 1.
f [r cos ϕ, r sin ϕ] r dϕ dr
∆
D
ln(1 + x 2 + y 2 ) dy
dx
0
0
0≤ x≤ R
0 ≤ y ≤ R2 − x2
D:
Obszar D jest wiartk koła x 2 + y 2 ≤ R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 .
Przechodzimy do współrz dnych biegunowych: ( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ).
0 ≤ ϕ ≤ 12 π
0≤r≤R
∆:
1
π
2
R2 − x2
R
2
0
Przykład 2.
arctan
D
1
π
2
R
2
ln(1 + x + y ) dy =
dx
0
2
0
0
y
2
2
dxdy , gdzie D : 1 ≤ x + y ≤ 9 ,
x
0
1
3
R
dϕ ⋅ [ln(1 + r 2 ) ⋅ r ] dr =
dϕ ln(1 + r ) ⋅ r dr =
1
2
π ⋅ 12 [( R 2 + 1) ln( R 2 + 1) − R 2 ]
0
x ≤ y ≤ 3x .
Przechodzimy do współrz dnych biegunowych: ( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ).
3
∆:
D
1
6
π ≤ ϕ ≤ 13 π
1≤ r ≤ 3
y
arctan dxdy =
x
D⊂
,
1
π
3
3
1
π
6
1
r sin ϕ
arctan
⋅ r ⋅ dϕdr = ( ϕdϕ) ⋅ ( rdr ) =
r cos ϕ
∆
'
D =
dxdy #
D
" V
&
D⊂
"
z = g ( x, y )
V =
'
z = d ( x, y )
"
[ g ( x, y ) − d ( x, y )]dxdy #
D
,
"
Σ
z = f ( x, y )
!
( x, y ) ∈ D
1 + ( f x ) 2 + ( f y ) 2 dxdy
Σ =
D
%# Obliczymy pole obszaru ograniczonego krzywymi: x 2 + ( y − 2) 2 = 4 , y = x .
D:
2
D =
dxdy =
D
'# Obliczymy obj to
2
x
dy = = [ x − 2 + 4 − x 2 ] dx = π − 2
dx
0
0≤ x≤2
2 − 4 − x2 ≤ y ≤ x
0
2 − 4− x 2
obszaru ograniczonego powierzchniami: z =
1
2
x +y
2
, z = 0 , x2 + y2 = 1 , x2 + y 2 = 9 .
Obszar D jest pier cieniem kołowym.
V =
1
[ g ( x, y ) − d ( x, y )]dxdy =
D
D
x2 + y2
− 0 dxdy =
∆
1
− 0 ⋅ rdϕdr =
r
2π
3
dϕ ⋅
0
dr = 4π
1
( # Obliczymy pole obszaru ograniczonego powierzchniami: z = x 2 + y 2 , z = 1 , z = 2 .
1 + ( f x ) 2 + ( f y ) 2 dxdy , gdzie D jest pier cieniem kołowym 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 .
Σ =
D
4
Σ =
1+ (
D
x
x2 + y 2
)2 + (
y
x2 + y 2
) 2 dxdy =
2 dxdy =
2 ⋅ D = 2 ⋅π
D
#
%#
,
"
D
x2 + y2 ≥ 1
'#
,
"
D
x2 + y2 ≥ 2 y
2
x 2 + ( y − 1) 2 ≤ 1
y≥
x2 + y2 ≤ 4 y
y≤x#
2
(#
,
"
D
y = 2x + 1
)#
,
"
D
y = x2 + x −1 x − y + 3 = 0 #
*#
&
V
z=3
+#
&
V
z = x2 + y2
-#
&
V
z = y2
.#
&
/#
&
"
9 = x2 + y2 + z2
%0 # &
"
"
z = xy
%'# &
"
y2 + z2 = x2
%( # &
"
2
x=0
z = 6− x
z =1
x=3#
z=0 #
z =9 #
z≥ 5 #
4 = x2 + y2 #
&
%%#
z = 6 − x2 + y2 #
y−z =0
16 = x + y
z = x2 + y2
y = −6 x + 9 #
z = 25 − x 2 − y 2 #
2
V
3x #
2
z = 1− x − y
1 = x2 + y2 #
2
3 = x2 + y2 #
5