1) W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka

1) W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego
dzieli ten kąt w stosunku 1:2. Wyznacz kąty ostre tego trójkąta.
2) Wierzchołki trójkąt ABC należą do okręgu o środku O. Oblicz miary kątów
tego trójkąta, wiedząc, że |<ACB |=100°, |<ACO|=30°.
3) Przez wierzchołek A trójkąta ABC poprowadzono prostą l, dzielącą środkową
CD w stosunku 2:3 licząc od wierzchołka C. W jakim stosunku prosta l dzieli
bok BC tego trójkąta?
4) Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych CA i CB. W trójkącie
tym poprowadzono wysokość CH i środkową AM. Wiedząc, że |CA|=
|CB|=
i
, oblicz pole trójkąta MBH.
5) Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a=5cm i b=12cm. Oblicz
promień okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz okręgu opisanego na tym
trójkącie.
6) Dany jest równoległobok o bokach a i b. Oblicz sinus kąta ostrego tego
równoległoboku, wiedząc, że prosta prostopadła do dwóch jego boków
równoległych dzieli go na dwa trapezy, w które można wpisać okręgi.
7) W równoległoboku o kącie ostrym równym 60° krótsza przekątna ma długość
cm. Oblicz długości boków równoległoboku, wiedząc, że jeden z nich jest
o 2cm dłuższy od drugiego.
8) Niech H będzie punktem przecięcia wysokości trójkąta ostrokątnego ABC.
Znajdź kąty tego trójkąta, wiedząc, że |<BAH|=α i |<ABH|=β.
9) W trójkącie ABC dane są |AB|=8m |AC|=6 i |BC|=
. Oblicz miarę kąta
11)
12)
13)
14)
dwusiecznej w stosunku
, licząc od wierzchołka kąta prostego.
17) Na boku AB trójkąta ABC obrano M i N tak, że |AM|:|MN|:|NB|=1:2:3. Przez
punkty Mi N poprowadzono proste równoległe do boku AC, przecinające bok
BC odpowiednio w punktach M’ i N’. Oblicz pole czworokąta MNN’M’, jeśli
pole trójkąta ABC wynosi S.
18) W trójkąt wpisano okrąg o promieniu 3cm. Oblicz pole trójkąta, jeżeli punkt
styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długościach 3cm i 4cm.
19) W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 6 i 15, a przekątna
zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego trapezu. Oblicz pole i obwód trapezu.
20) W trójkącie prostokątnym ABC zachodzą własności:
oraz
.
Oblicz miary kątów.
21) W trójkącie ABC poprowadzono środkową z wierzchołka C, która przecina bok
AB w punkcie D. Przez środek środkowej CD poprowadzono prostą równoległą
do boku AC, która przecina boki AB i CB odpowiednio w punktach E i F.
Wiedząc, że |CF|=5, znajdź długość odcinka BF.
22) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, gdzie długość ramion AC i BC wynosi
. Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta jest równa odcinkowi
BAC.
10) W trójkącie ABC dane są |CB|=
15) W okrąg wpisani dwa trójkąty o wspólnej podstawie. Stosunek długości ramion
tych trójkątów wynosi 1:3. Oblicz stosunek długości wysokości opuszczonych
na wspólny bok.
16) W trójkącie prostokątnym poprowadzono dwusieczną kąta prostego. Oblicz
kąty ostre trójkąta, wiedząc, że środek okręgu wpisanego dzieli odcinek
i |<BAC|=60°. Oblicz długości
pozostałych boków trójkąta, wiedząc, że jeden z nich jest dwa razy dłuższy od
drugiego.
W trójkącie prostokątnym ABC (|<BCA|=90°) z wierzchołka C poprowadzono
wysokość CD. Punkty M i N są środkami odcinków AD i DB. Wiedząc, że pole
trójkąta ABC jest równe S, oblicz pole trójkąta MNC.
W równoległoboku przekątne o długościach 12 i 10 tworzą kat o mierze 60°.
Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.
W trapezie długości podstaw są równe 15cm i 2cm, a długości ramion – 5cm i
12 cm. Oblicz pole trapezu.
Na trójkącie ABC, w którym |BC|=a, |<ABC|=α i |<BCA|=β, opisano okrąg.
Dwusieczna kąta przy wierzchołku A przecina okrąg w punkcie K. Oblicz
długość odcinka AK.
łączącemu środek podstawy ze środkiem ramienia.
a. Oblicz różnicę między długością promienia opisanego na trójkącie
ABC i długością promienia wpisanego w dany trójkąt ABC.
b. Do okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono styczną
równoległą do podstawy, przecinającą ramiona trójkąta w punktach M i
N. Znajdź długość odcinka MN.
23) W trapezie równoramiennym ABCD, gdzie AB || CD, kąty ostre mają miarę
30°. Stosunek dłuższej podstawy do krótszej wynosi 5:3. Przekątne trapezu
tworzą z jego ramionami kąt 135°.
a. Oblicz pole i obwód trapezu, jeżeli długość ramienia BC wynosi 2.
b. Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie ABD do
promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD.
24) W trójkącie ABC wysokość |CD|=4, bok |BC|=8, |<BAC|=60°. Punkty M, N, P
są środkami boków trójkąta ABC. Oblicz długości boków i pole trójkąta MNP.
a.
Na bokach AB, BC i CA trójkąta ABC dane są odpowiednio punkty M,
N i P takie, że
MNP jest równe
. Wyznacz k, jeśli pole trójkąta
a. Oblicz pole i obwód trapezu, jeżeli długość ramienia |BC|=2.
b. Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie ABD do
promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD.
pola trójkąta ABC.
25) Dany jest trójkąt ABC, w którym miara kąta BCA wynosi 90°, a kąt CAB jest
dwa razy mniejszy od kąta ABC. Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt
. Prosta przechodząca przez wierzchołek C tworzy z krótszą
wynosi
przyprostokątną kąt o mierze 30° i przecina przeciw prostokątną AB i punkcie
D.
a. Oblicz pole koła opisanego na trójkącie oraz wyznacz stosunek
długości odcina DB do długości odcinka DA.
b. Oblicz odległość punktu D od środka okręgu wpisanego w trójkąt
ABC.
26) W trapezie równoramiennym dane są długości podstaw a i b ( a > b ) i kąt ostry
α=60°. Środki sąsiednich boków trapezu połączono odcinkami. Oblicz pole
czworokąta, którego bokami są te odcinki oraz wyznacz stosunek pola trapezu
do pola powstałego czworokąta.
27) W trapezie równoramiennym ABCD ( AB || CD ), w którym kąt ostry jest
równy 45°, przekątna AC długości 2 tworzy z podstawą AB kąt 30°.
a. Oblicz pole i obwód trapezu.
b. Wykaż, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i
ACD są równe długości ramienia trapezu.
28) W równoległoboku ABCD dale są długości boków |AB|=5, |AD|=3 oraz miara
kąta ostrego DAB równa 60°. Punkty E i F są odpowiedni środkami boków BC
i DC.
a. Oblicz długości przekątnych równoległoboku oraz pole czworokąta
BEFD.
b. Wyznacz sumę kwadratów sinusów katów wewnętrznych trójkąta
ABD.
29) W trójkącie równobocznym ABC o polu
31) W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=
, |AC|=10 oraz
.
a. Oblicz odległość wierzchołka A od prostej BC.
b. Oblicz sumę długości promieni okręgu opisanego na trójkącie ABC i
okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
32) Udowodnij, że pole trójkąta wyraża się wzorem:
.
33) Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC wynosi 3. Wiedząc, że
sin γ =
2
2
oraz sin α = , oblicz długości boków BC i BA.
4
3
34) W trójkącie równoramiennym ABC kąt między ramionami wynosi α. Oblicz
stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC do długości
promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC.
35) Długości podstaw trapezu ABCD wynoszą a i c. Znajdź miary kątów i długości
przekątnych tego trapezu.
na boku BC obrano punkt M
tak, że |BM|= |MC|.
Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w
trójkąt MAB.
b. Jakie długości mają odcinki, na które symetralna AM dzieli bok AB?
30) W trapezie równoramiennym ABCD (gdzie AB || CD ) kąty ostre mają miarę
30°. Stosunek długości dłuższej podstawy do krótszej wynosi 5:3. Przekątne
trapezu tworzą z jego ramionami kąt 135°.
Podstawa
a.
36) Różnica pól dwóch kwadratów jest równa 36. Oblicz wartość bezwzględną
różnicy pól kół opisanych na tych kwadratach.
37) Różnica pól dwóch trójkątów równobocznych jest równa
bezwzględną różnicy pól kół wpisanych w te trójkąty.
. Oblicz wartość
38) Pole prostokąta, w którym jeden z boków jest o 4 cm dłuższy od drugiego, jest
równe 96 cm2. Oblicz pole koła opisanego na tym prostokącie. Wynik podaj w
mm2 z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.
39) Bok rombu ma długość 20 cm, a jego kąt ostry miarę 80°, Oblicz długość
dłuższej przekątnej tego rombu. Wyniki podaj w mm z zaokrągleniem do
pierwszego miejsca po przecinku.
40) W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki Ad i DB takie, że
. Miara kąta ABC jest równa 30°. Uzasadnij, ze trójkąt ABC jest
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
trójkątem prostokątnym.
Przekątne równoległoboku ABCD mają długości 18 cm i 22 cm. Środki boków
tego równoległoboku są wierzchołkami czworokąta KLMN. Oblicz obwód
czworokąta KLMN.
W trapezie równoramiennym ABCD, w którym AB || CD oraz |AB|=20,
|CD|=12, |AD|=|BC|=8, przedłużono boki AD i BC do przecięcia w punkcie E.
Oblicz:
a. długość odcinka AE,
b. odległość punktu E od prostej AB.
W trójkącie równoramiennym, w którym ramiona mają długość 10 cm i sinus
kąta przy podstawie jest równy 0,(6), połączono środki ramion, dzieląc w ten
sposób trójkąt wyjściowy na trójkąt i czworokąt. Oblicz obwód czworokąta.
Wynik podaj w cm z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.
W trójkącie ABC, w którym |AB|=10 cm, |BC|=8 cm, cos|<ABC|=0,(3), na boku
BC wybrano punkt D taki, że |BD|=2 cm. Prosta równoległa do prostej AB
przechodząca przez punkt D przecina bok AC w punkcie E. Oblicz pole
czworokąta ABDE. Wynik podaj w mm2 z zaokrągleniem do drugiego miejsca
po przecinku.
W trójkącie równoramiennym ABC : |AB|=24 i |AC|=|BC|= 13 . W trójkąt ten
wpisano kwadrat DEFG tak, że bok DE zawarty jest w podstawie trójkąta, a
wierzchołki F i G należą do ramion trójkąta. Oblicz długość boku tego
kwadratu.
W trójkącie równoramiennym ABC : |AB|=16 i |AC|=|BC|=10. W trójkąt ten
wpisano prostokąt DEFG tak, że bok DE jest zawarty w podstawie trójkąta, a
wierzchołki F i G należą do ramion trójkąta. W tym prostokącie |DE|:|EF|=6:1.
Oblicz długości boków tego prostokąta.
W trójkąt ostrokątny ABC, w którym |AB|=8 oraz wysokość |CH|=6, wpisano
kwadrat DEFG tak, że bok DE jest zawarty w boku AB, a wierzchołki F i G
należą do boków AC i BC. Oblicz pole tego kwadratu.
48) W trapezie ABCD, w którym AB || CD i |AB|=2|CD|, punkt O jest punktem
wspólnym przekątnych trapezu. Oblicz stosunek pola trójkąta ABO do pola
trapezu.
49) W trójkącie prostokątnym kotangens jednego z kątów ostrych jest równy 2.
Oblicz stosunek promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do promienia
okręgu wpisanego w ten trójkąt.
50) Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o obwodzie 40 cm jest równy
4 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
51) W koło w pisano kwadrat, a następnie w ten kwadrat wpisano koło. Wartość
bezwzględna różnicy pól tych kół jest równa 8π cm2. Oblicz pole kwadratu.
52) W trójkącie równoramiennym ramię o długości 30 cm jest nachylone do
podstawy pod kątem, którego sinus jest równy 0,6. Oblicz odległość od środka
koła wpisanego w ten trójkąt od wierzchołków podstawy.
53) W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego
dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach 24 cm i 48 cm. Oblicz
promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
54) W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 27 cm i 18 cm, a ramię
tworzy z dłuższą podstawą kąt, którego cosinus jest równy 0,6. Oblicz
odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od podstaw.
55) Podstawy trapezu mają długości 13 cm i 11 cm. Odcinek łączący środki ramion
trapezu dzieli ten trapez na dwa czworokąty. Oblicz stosunek pól tych
czworokątów.
56) W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, przekątna o
długości 10 cm jest nachylona do podstawy pod kątem, którego tangens jest
równy 0,5. Oblicz pole tego trapezu.
57) W trapezie równoramiennym ABCD, w którym AB || CD, przekątna AC ma
długość 80 cm. Punkt O jest środkiem koła opisanego na tym trapezie i
|<BOC|=80°. Oblicz pole tego trapezu. Wynik podaj w cm2 z zaokrągleniem do
drugiego miejsca po przecinku.
58) Trapez równoramienny jest opisany na kole o promieniu 10 cm. Ramię tego
trapezu tworzy z dłuższą podstawą kąt, którego cosinus jest równy 0,(2). Oblicz
pole tego trapezu. Wynik podaj w cm2 z zaokrągleniem do drugiego miejsca po
przecinku.
59) Dany jest zbiór wszystkich równoległoboków o obwodzie równym 80 cm i
kącie ostrym o mierze 48°. Oblicz pole równoległoboku należącego do tego
zbioru, który ma największe pole. Wynik podaj w cm2 z zaokrągleniem do
drugiego miejsca po przecinku.
60) W trójkąt prostokątny ABC, w którym |<ACB|=90°, sin|<CAB|=
i |AB|=34
cm, wpisujemy prostokąt CDEF tak, że punkt D należy do boku AC, punkt E
należy do boku AB punkt F należy do boku BC. Oblicz wymiary prostokąta o
największym polu.
61) W trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|=12 i cos |<ABC|=0,(3),
wpisujemy prostokąty tak, że jeden bok prostokąta zawarty jest w podstawie
AB a dwa pozostałe wierzchołki należą do ramion trójkąta. Oblicz wymiary
prostokąta o największym polu.
62) Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB || CD, a przekątna AC o długości 26
cm tworzy z dłuższym bokiem kąt, którego sinus jest równy
. Punkt E należy
do boku AB, punkt F należy do boku BC, punkt G należy do boku CD, punkt H
należy do boku AD i |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=x. Oblicz wartość x, dla której
czworokąt EFGH ma najmniejsze pole.