Czym są równania różniczkowe?

Czym są równania różniczkowe?
Są to równania w których niewiadomą jest funkcja
y=ƒ(x).
Równanie różniczkowe przedstawia zależność
pomiędzy tą funkcją i jej pochodnymi oraz
zmiennymi, np.:
y′′+y′⋅x−y=0
Funkcję y będącą rozwiązaniem nazywamy całką
równania różniczkowego.
Najprostszym możliwym równaniem jest równanie
typu y′=ƒ(x), w którym ,aby otrzymać funkcję y
wystarczy raz scałkować funkcję ƒ(x).
Równanie różniczkowe postaci 𝒚′ = 𝒇(𝒙)
Niech dane będzie równanie:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥 ),
gdzie f jest funkcją ciągłą w przedziale (a, b).
Całkując względem zmiennej x mamy:
𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥,
skąd
𝑦 = 𝐹 (𝑥 ) + 𝐶,
gdzie C jest stałą dowolną.
Stała C oznacza , że rozwiązaniem jest rodzina
krzywych. Aby otrzymać konkretną funkcję ,
potrzebujemy dodatkowych warunków tzn. jaką
wartość ma rozwiązanie dla danego x.
Całkę y=F( x) +C nazywamy całką ogólną
lub rozwiązaniem ogólnym równania:
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥 )
𝑑𝑥
Nadając stałej C wartości liczbową, np. C = 3,
otrzymujemy całkę szczególną
y=F( x) +3
Przykład:
Znaleźć całkę szczególną równania y ’= sinx
π
spełniającą warunek początkowy y ( ) = 0.
4
Rozwiązanie
Rozważmy równanie
𝑑𝑦
= 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑑𝑥
Po scałkowaniu otrzymujemy
𝒚 = ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙
𝒚 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑪
gdzie C jest stałą dowolną. Otrzymane rozwiązanie
jest całką ogólną.
Uwzględniając warunek początkowy mamy
𝜋
𝜋
𝑦 ( ) = −𝑐𝑜𝑠 + 𝐶
4
4
√2
0=−
+𝐶
2
Skąd 𝐶 =
√2
2
Funkcja 𝐲 = 𝐜𝐨𝐬𝐱 +
√𝟐
𝟐
jest szukaną całką
szczególną danego równania.
Równanie różniczkowe postaci y’= g(y)
Gdy równanie różniczkowe ma postać
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 (𝑦 ) ,
to przekształcamy go do postaci:
𝑑𝑥
1
=
𝑑𝑦 𝑔(𝑦)
i rozwiązujemy podobnie, jak równanie postaci
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥 )
𝑑𝑥
Przykład:
Znaleźć całkę szczególną równania 𝑦 ′ = √𝑎2 − 𝑦 2 ,
spełniającą warunek początkowy y(0) = a.
Rozwiązanie
Równanie to możemy napisać w postaci:
𝑑𝑦
= √𝑎2 − 𝑦 2 ,
𝑑𝑥
𝑑𝑥
skąd:
𝑑𝑦
=
1
√𝑎2 −𝑦 2
Całkując, mamy:
𝑥=∫
Tzn.
𝑦
𝑑𝑦
√𝑎2 − 𝑦 2
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
𝑎
𝑦
𝑎
= sin⁡(𝑥 − 𝐶)
Z warunku początkowego mamy:
𝑦(0)
= sin⁡(0 − 𝐶)
𝑎
tzn.
1 = sin(−𝐶 ),
skąd
𝐶=−
stąd rozwiązanie:
𝜋
2
y=acosx