Ćwiczenia 9 - Rozkłady Choleskiego LLT , LDLT , LL i MDM
Transkrypt
Ćwiczenia 9 - Rozkłady Choleskiego LLT , LDLT , LL i MDM
Ćwiczenia 9 - Rozkłady Choleskiego LLT , LDLT , LL∗ i M DM ∗ 1. Stosując algorytm Choleskiego znajdź rozkład macierzy na czynniki LLT . 1 1 −2 3 1 4 −2 6 −1 −2 5 −8 1 −2 5 −5 a) A = 3 −8 17 −7 b = 3 b) A = 6 −5 26 1 1 −7 18 −4 W oparciu o te rozkłady wyznacz rozkład A = LDLT . Dla punktu a) rozwiąż układ równań Ax = b. 2. Stosując algorytm Choleskiego znajdź rozkład macierzy na czynniki LL∗ . 4 4i −6i 40 −6 − 36i a) A = −4i 6i −6 + 36i 81 b) A = 1 2 0 0 0 2 8 −6 2 0 0 −6 18 −9 3 0 2 −9 21 −2 − 8i 0 0 3 −2 + 8i 30 3. Stosując metodę Choleskiego LLT rozwiąż układ równań Ax = b, gdzie a) 2 4 −2 2 0 4 12 8 4 4 b= A= −2 8 40 2 4 2 4 2 11 −18 b) 1 1 A= 1 1 0 1 1 1 −4 5 5 5 b= −4 5 14 14 −20 5 14 30 4. Napisz funkcję w C++, która rozkłada macierz rzeczywistą A na LLT . 5. Znaleźć rozkład LL∗ macierzy A i na podstawie tego rozkładu wyznaczyć rozkład M DM ∗ 1 2 −1 −2 4 −4i 4i 2 2 13 1 5 4i 5 −2 3i a) A = , b) A = −1 1 6 3 −4i −2 17 9 −2 5 3 15 2 −3i 9 27 6. Stosując algorytm Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych znajdź rozkład macierzy 2 4 6 8 4 9 15 20 a) A = 6 15 28 40 b = 8 20 40 66 4 2 4 4 −4 4 9 10 10 −10 b) A = b= 18 4 10 13 −4 34 −4 −10 −4 26 4 12 , 6 4 a następnie w oparciu o ten rozkład rozwiąż układ równań Ax = b. 7. Stosując metodę Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych rozwiąż układ równań 2x1 + 4x2 − 4x3 = 6 4x1 + 10x2 − 4x3 = 4 −4x1 − 4x2 + 18x3 = −26