Algebra, Lista 13

Algebra, Lista 13
Zadania z gwiazdk¡ na tej li±cie nie s¡ wcale bardzo trudne (cho¢ niektóre mog¡ by¢ pracochªonne).
Dodaªem je gªównie po to, »eby zgodnie z obietnic¡ za zadania bez gwiazdki na tej li±cie byªo do zdobycia
10 punktów.
1. Zbadaj liczb¦ rozwi¡za« poni»szych ukªadów równa« (w ciele liczb rzeczywistych) w zale»no±ci
od parametru
p.
(a)


x1
2x1

4x1
+ x2
+ x2
+
x3
+ 3x3
+ 5x3
+ 2x4
+ 2x4
=
1
= 2p
=
p
(b)

 px1
x1

x1
+
+
+
px2
px2
x2
+ px3
+ px3
+ px3
= p
= p
= p
2. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania poni»szych ukªadów równa« u»ywaj¡c metody eliminacji Gaussa.
(a)

y
 −x −
2x + 3y

x + 2y
= 1
= 2
= 5
(b)

2x



y
3x



4x
+ y
+
z
−
+
z
2z
+ w
− w
− w
+ w
=
5
= −1
=
0
=
9
(c)




2x
x



x
3. Niech
b¦dzie macierz¡ przeksztaªcenia
baz¦:
4.
(1, 1), (1, −1).
4y
− 2y
+
y
3 1
−1 1
L : R2 → R2
+
+
+
−
z
z
z
z
=
=
=
=
20
0
5
10
w bazie standardowej
Jak wygl¡da macierz przeksztaªcenia
L
(1, 0), (0, 1).
We¹my now¡
w tej bazie?
(a) Poka», »e macierze podobne maj¡ takie same wyznaczniki.
(b)
‘ladem macierzy kwadratowej nazywamy sum¦ elementów na jej gªównej przek¡tnej.
Poka»,
»e macierze podobne maj¡ takie same ±lady.
5. Znajd¹ warto±ci wªasne i odpowiadaj¡ce im podprzestrzenie wektorów wªasnych poni»szych przeksztaªce« liniowych (przestrzeni
R2
(a)
L((x, y)) = (2x − y, 0)
(b)
L((x, y)) = (2x − y, x)
(c)
L((x, y, z)) = (2x − y, 0, y + z)
(d)
L((x, y, z)) = (0, 0, y)
lub
R3 ):
6. Poka», »e je±li
λ
jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy
7. ∗ Udowodnij, »e je±li
λ1 , . . . , λ k
A,
to
λk
jest warto±ci¡ wªasn¡
s¡ warto±ciami wªasnymi przeksztaªcenia
wiadaj¡cymi im wektorami wªasnymi, to
v1 , . . . , v n
L,
a
Ak .
v1 , . . . , v n
odpo-
s¡ liniowo niezale»ne.
Wskazówka: Udowodnij indukcyjnie po k , »e ka»dy k -elementowy podzbiór v1 , . . . , vn jest liniowo niezale»ny.
8. Wyprowad¹ wzór na
An
dla macierzy:
A=
2 −3
4 −5
Wskazówka: Znajd¹ diagonaln¡ macierz B podobn¡ do A.
The $25,000,000,000 Eigenvector: The Linear Algebra
Notatki do wykªadu ).
9. To i kolejne zadania pochodz¡ z artykuªu:
behind Google
(patrz
Rozwa»my sie¢ z rys. 1 z artykuªu (tj. sie¢ skªadaj¡c¡ si¦ z czterech stron: str. 1 wskazuje na
str. 2,3,4, str. 2 wskazuje na 3 i 4, str. 3 wskazuje na 1 oraz str. 4 wskazuje na 1 i 3). W tej
sieci wzór (1) z artykuªu uzna za najwa»niejsz¡ stron¦ 1, mimo, »e strona 3 jest wskazywana
przez wszystkie inne strony. Czy sytuacja zmieni si¦ je±li wªa±ciciele strony 3 utworz¡ stron¦ 5
i umieszcz¡ linki z 3 do 5 i z 5 do 3?
10. Rozwa»my sie¢ z rys. 2 z artykuªu (tj. sie¢ skªadaj¡c¡ si¦ z pi¦ciu stron: str. 1 wskazuje na 2, str. 2
wskazuje na 1, str. 3 wskazuje na 4, str. 4 wskazuje na 3 oraz str. 5 wskazuje na 3 i 4). Dodajmy
link ze strony 5 do strony 1. Je±li potraktujemy graf uzyskanej sieci jako graf nieskierowany,
to jest on spójny. Jaki jest wymiar przestrzeni wektorów wªasnych, odpowiadaj¡cych warto±ci
wªasnej
λ = 1,
macierzy tej sieci?
11. Przypomnijmy, »e macierz nazwywamy
kolumnowo-stochastyczn¡ je±li wszystkie jej elementy
1. Udowodnij, »e iloczyn dwóch
s¡ nieujemne, a suma elementów w ka»dej kolumnie wynosi
macierzy kolumnowo-stochatycznych jest macierz¡ kolumnowo-stochastyczn¡.
12. ∗ Niech
A b¦dzie macierz¡ sieci silnie spójnej (tj. takiej, »e z ka»dej strony mo»na doj±¢ do ka»dej
A,
odpowiadaj¡cych warto±ci wªasnej λ = 1, wynosi 1. Wskazówki w artykule (¢wiczenie 10).
innej po sko«czonej ±cie»ce linków). Udowodnij, »e wymiar przestrzeni wektorów wªasnych
13. ∗ Rozwa»my ponownie sie¢ z zadania 9, z dodan¡ stron¡
5
i linkami z
3
do
Wyznacz ranking stron w tej sieci znajduj¡c wektor wªasny (odpowiadaj¡cy
wspóªrz¦dnych równej
1,
macierzy
5 i z 5
λ = 1), o
do
3.
sumie
M = (1 − m)A + mS , gdzie A jest macierz¡ sieci, a S jest
1/n (w naszym przypadku 1/5). U»yj parametru
macierz¡ o wszystkich elementach równych
m = 0.15.
14. ∗ Rozszerzmy sie¢ z poprzedniego zadania o stron¦ 6, która wskazuje na wszystkie inne strony, ale
»adna strona nie pokazuje na ni¡. Wyznacz rankingi stron u»ywaj¡c macierzy
M.
Porównaj wyniki.
2
A
oraz macierzy