Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew

Równania różniczkowe. Lista nr 2.
Literatura:
N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, część II
1. Znaleźć ogólną postać rozwiązania równania:
a. x0 = cos 2t,
e. x0 = 4 xt ,
h. x0 =
b. x0 = (t + 1)2 ,
f. x0 =
2t
x
c. x0 = 2tet ,
d. x0 =
t
,
t+1
g. x0 = sin t(cos 2x − cos2 x),
+ x1 ,
t+1 2 1 1
.
x
t ln x
2. Rozwiązać zagadnienia:
a. x0 = sin t
c. x0 =
e−x +1
,
1+cos t
√
4t 1+x2
,
x
2
)
b. x0 = − t(1+4x
,
1+t4
x(0) = 0;
x(1) = 0;
x(0) = 1.
3. Znaleźć całkę pierwszą następujących równań:
a. x0 = (t + x + 1)2 ,
b. x0 = 1−t−x
,
c. x0 = sin(t + x),
t+x
√
d. x0 = 2 + x − 2t + 3,
e. x0 = 1 + ex−t+5 ,
f. x0 = x.
4. Znaleźć ogólną postać rozwiązania następujących równań:
b. x0 = − t+x
,
t
,
a. x0 = − t−x
t
c. x0 =
x2 +xt
,
t2
d. x0 =
2t2 x
.
3t3 +x3
5. Rozwiązać zagadnienia:
a. x0 =
x3 −t3
,
tx2
c. x0 =
x
t+xe t
x
te t
,
x(1) = 2;
b. x0 =
3tx+x2
,
2t2
x(1) = 0;
d. x0 =
−x
,
x cos xt −t
2
(x+t)
e. x0 = − 2tx+t
2 −1 ,
x(1) = −2;
x(0) = 2
t
e +x
f. x0 = − 2+t+xe
x,
x(1) = 1;
x(0) = 1.
6. Rozwiązać zagadnienia:
a. x0 + 2tx = sin t,
c. x0 −
t
x
1+t
0
=
t+t2
,
1+t
3t
x(0) = 1;
2t
e. x = 2x + t(e − e ),
0
g. x =
x
,
x−t
b. x0 + 4 xt = t3 − t,
x(0) = 1;
x(5) = 2;
d. x0 +
3t+1
x=
t
0
x = − xt
x(0) = 2;
f.
0
t
,
x2
h. x =
x
t
−
x(1) = 1;
e−3t ,
t
+e ,
x(1) = 1.
x(1) = 1;
x(1) = 2;
7. Rozwiązać równania jednorodne:
a. 2x + t − tx0 = 0,
b. tx0 = x − tex/t ,
c. tx0 = x cos log xt .
8. Czy równanie |x0 | + e2t + 1 = 0 ma rozwiązanie?
9. Znaleźć całkę ogólną (tzn. znaleźć rozwiązanie ogólne) równań liniowych mnożąc je przez odpowiedni czynnik całkujący:
a. x0 + x cos t = 0,
x0 + x = tet .
b. x0 + t2 x = t2 ,
c. x0 +
2t
x
1+t2
=
1
,
1+t2
d.
10. Rozwiązać następujące zagadnienia początkowe bez znajdowania rozwiązania ogólnego:
√
√
a. y 0 + 1 + t2 y = 0, y(0) = 5;
b. y 0 + ty = 1 + t, y(3/2) = 0.
11. Udowodnić, że dla równania x0 + a(t)x = f (t), gdzie a i f są funkcjami
ciągłymi, a(t) ≥ c > 0, oraz limt→∞ f (t) = 0, zachodzi limt→∞ x(t) = 0.
12. Udowodnić, że równanie Bernoulliego x0 + a(t)x = b(t)xm , m ∈ R,
sprowadza się przez zamianę zmiennych z(t) = x(t)1−m do równania
liniowego.
13. Rozwiązać równania: a. tx0 + x = x2 log t,
b. x0 = tx + t3 x2 .
14. Równanie postaci x0 + a(t)x = b(t)x2 + f (t), gdzie a, b, f są danymi
funkcjami, nazywa się równaniem Riccatiego. Nie istnieje ogólny sposób całkowania tego równania. Udowodnić, że jeżeli znamy jedno jego
rozwiązanie x1 (t), to funkcja u(t) = x(t) − x1 (t) spełnia równanie Bernoulliego.
15. Znaleźć rozwiązania szczególne następujących równań Riccatiego, zredukować je do równań typu Bernoulliego i scałkować:
a. t2 x0 +tx+t2 x2 = 4,
b. x0 +2xet −x2 = e2t +et ,
d. x0 = 1−t−x+tx2 ,
e. x0 = − t42 − xt +x2 ,
c. x0 = −2−x+x2 ,
f. x0 = e2t +(1+2et )x+x2 .
16. Niech Ω ⊂ R2 będzie obszarem jednospójnym i niech M (x, y), N (x, y)
będą funkcjami klasy C 1 określonymi na Ω, dla których spełniony jest
warunek ∂M
= ∂N
. Wykazać, że istnieje wówczas funkcja U : Ω → R
∂y
∂x
taka, że
∂U
∂U
(x, y) = M (x, y),
(x, y) = N (x, y).
∂x
∂y
R
Wskazówka: U (x, y) = Γ (M (x, y) dx + N (x, y) dy), gdzie Γ jest krzywą zawartą w Ω i łączącą dowolnie ustalony punkt (x0 , y0 ) ∈ Ω z punktem (x, y). Wykazać, że całka ta nie zależy od drogi całkowania (wzór
Greena).
17. W podanych równaniach dobrać stałą a tak, aby było ono zupełne, a
następnie rozwiązać je:
a. t + ye2ty + ate2ty y 0 = 0,
b.
1
t2
+
1
y2
+
(at+1) 0
y
y3
= 0.
18. Znaleźć współczynnik f = f (t) w równaniu f (t)x0 + t2 + x = 0, jeżeli
wiadomo, że ma ono czynnik całkujący postaci u(t) = t.
19. Rozwiązać równania w postaci różniczek zupełnych:
a. 2tx dt + (t2 − x2 ) dx = 0,
b. e−x dt − (2x + te−x ) dx = 0.
20. Sprawdzić, że podana funkcja µ(x, t) jest czynnikiem całkującym danego równania. Rozwiązać równania:
a. 6xy dx + (4y + 9x2 ) dy = 0,
µ(x, y) = y 2 ;
b. −y 2 dx + (x2 + xy) dy = 0,
µ(x, y) = 1/(x2 y);
c. y(x + y + 1) dx + (x + 2y) dy = 0,
µ(x, y) = ex .
21. Równanie różniczkowe może mieć więcej niż jeden czynnik całkujący.
Udowodnić, że µ1 (x, y) = 1/(xy), µ2 (x, y) = 1/y 2 , µ3 (x, y) = 1/(x2 +
y 2 ) są czynnikami całkującymi równania y dx − x dy = 0. Uzasadnić,
że otrzymane przy pomocy tych czynników całkujących rozwiązania są
równe.
22. Scałkować równania metodą czynnika całkującego:
b. (x2 + y)dx − xdy = 0,
a. xy + 1 dx + xy − 1 dy = 0,
c. (y + x2 )dy + (x − xy)dx = 0.
23. Obliczyć pierwsze dwie iteracje Picarda dla zagadnienia y 0 = t2 + y 2 ,
y(0) = 1.
24. Obliczyć pierwsze trzy iteracje Picarda dla zagadnienia y 0 = et + y 2 ,
y(0) = 0.
25. Wyprowadzić wzór na n-tą iterację Picarda yn (x) i obliczyć jej granicę,
gdy n → ∞ dla podanych zagadnień Cauchy’ego:
a. y 0 = −y,
y(0) = 1;
b. y 0 = x + y,
c. y 0 = 2xy,
y(0) = 1;
d. y 0 + y 2 = 0,
y(0) = 1.
y(0) = 0.
26. Obliczyć kolejne iteracje Picarda dla zagadnienia Cauchy’ego y 0 =
2t(y + 1), y(0) = 0 i udowodnić, że zbiegają one do rozwiązania y(t) =
2
et − 1.
27. Dla podanych niżej zagadnień Cauchy’ego udowodnić, że rozwiązanie
y = y(t) istnieje na zadanym przedziale. Czy jest to jedyne rozwiązanie?
a. y 0 = y 2 + cos t2 , y(0) = 0, 0 ≤ t ≤ 1/2;
b. y 0 = 1 + y + y 2 cos t y(0) = 0, 0 ≤ t ≤ 1/3;
c. y 0 = t + y 2 , y(0) = 0, 0 ≤ t ≤ (1/2)2/3 ;
2
d. y 0 = e−t + y 2 , y(0) = 0; 0 ≤ t ≤ 1/2;
√
2
e. y 0 = e−t + y 2 , y(1) = 0, 1 ≤ t ≤ 1 + e/2;
f. y 0 = y + e−y + e−t , y(0) = 0, 0 ≤ t ≤ 1.
28. Udowodnić, że y(t) = −1 jest jedynym rozwiązaniem zagadnienia y 0 =
t(1 + y), y(0) = −1.
29. Uzasadnić, że zagadnienie x0 = 1 + x2 , x(0) = 0 nie ma rozwiązania
określonego na całej prostej.
30. Czy wykresy dwóch różnych rozwiązań danego równania mogą się przecinać w pewnym punkcie (t0 , x0 ), jeżeli równaniem tym jest:
a. x0 = x2 + t,
b. x0 = x1/2 + t.
√
31. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia x0 = t 1 − x2 , x(0) = 1, różne od
rozwiązania x(t) ≡ 1. Które z założeń Twierdzenia Picarda-Lindelöfa
nie jest spełnione?
32. Wyznaczyć nieskończenie wiele rozwiązań równania x0 = 2x1/2 z warunkiem początkowym x(0) = 0. Które z założeń Twierdzenia PicardaLindelöfa nie jest spełnione?
33. Inny dowód uproszczonej wersji Lematu Gronwalla. Niech w(t) będzie
nieujemną ciągłą funkcją spełniającą
Z t
w(t) ≤ L
w(s) ds
t0
na odcinku t0 ≤ t ≤ t0 + α. Ponieważ w jest ciągła, istnieje taka stała
A,
że 0 ≤ w(t) ≤ A dla wszystkich t0 ≤ t ≤ t0 + α.
a. Udowodnić, że w(t) ≤ LA(t − t0 ).
b. Użyć tego oszacowania do dowodu, że w(t) ≤ AL2 (t − t0 )2 /2.
c. Wykazać indukcyjnie, że w(t) ≤ ALn (t − t0 )n /n!.
d. Udowodnić, że w(t) = 0 dla t0 ≤ t ≤ t0 + α.
34. Dla jakich α zagadnienie x0 = x2/3 , x(0) = −1 ma nieskończenie wiele
rozwiązań określonych na odcinku [0, α].
35. f, g : R → R są funkcjami ciągłymi, funkcja f spełnia warunek Lipschitza. Wykazać, że zagadnienie
x01 = f (x1 ),
x02 = g(x1 )x2 ,
x1 (t0 ) = x01
x2 (t0 ) = x02
ma jednoznaczne rozwiązanie.
36. Rozpatrujemy równanie (∗) x0 = f (x), x ∈ R. Wykazać, że:
a. Jeśli f jest funkcją ograniczoną, to każde rozwiązanie równania (∗)
jest określone na całej prostej.
b. Równanie (∗) nie ma rozwiązań okresowych.
37. Udowodnić, że układ równań x0 =gradg(x), x ∈ Rn , g : Rn → R,
g ∈ C 2 (Rn ) nie ma rozwiązań okresowych.
38. Zakładamy, że x(t) jest rozwiązaniem układu równań x0 = f (x), x ∈ Rn
i zbiór {x(t) : t ∈ R} jest zwarty. Wykazać, że x(t) jest funkcją stałą
lub rozwiązaniem okresowym.